1  1 0, 11111111111111111111111111... - 3241 a + b i 3,567

2 SPIS TREŚCI Liczby pierwsze Liczby pierwsze Jak szukamy liczb pierwszych?Jak szukamy liczb pierwszych? Liczby względnie pierwszeLiczby względnie pierwsze Liczby bliźniaczeLiczby bliźniacze Liczby lustrzaneLiczby lustrzane Zbiór liczb rzeczywistychZbiór liczb rzeczywistych Liczby wymierneLiczby wymierne Liczby palindromiczneLiczby palindromiczne Liczba Liczba  Czy liczba może mieć swoje święto? Czy liczba może mieć swoje święto? Liczby Fibonacciego Liczby Fibonacciego Liczby zaprzyjaźnioneLiczby zaprzyjaźnione Liczba trójkątnaLiczba trójkątna Liczba ΦLiczba Φ Złoty podziałZłoty podział Złota proporcjaZłota proporcja Złoty prostokątZłoty prostokąt Złoty trójkątZłoty trójkąt Złoty pięciokątZłoty pięciokąt Złoty w przyrodzieZłoty w przyrodzie Złoty podział w ciele człowiekaZłoty podział w ciele człowieka Złoty podział w sztuceZłoty podział w sztuce Złoty podział w logo firmZłoty podział w logo firm

3 Liczby pierwsze Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną n większą od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 oraz n. Początkowe liczby pierwsze to : 2,3,5,7,11,13,17,19,... Już grecki matematyk Euklides wykazał, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Posłużył się w tym celu tzw. dowodem „nie wprost” Eukalides udowodnił, że: „Każdą liczbę naturalną n > 1 można w jeden tylko sposób przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych (z dokładnością do kolejności ich występowania w tym rozkładzie).” Pobity został kolejny rekord poszukiwań liczb pierwszy ch.

4 Jak szukamy liczb pierwszych? Przepis, obecnie nazywany sitem Eratostenesa, stosowano już w starożytności i tak naprawdę to do dziś praktycznie nie wymyślono nic szybszego i bardziej skutecznego. Metoda jest bardzo prosta: wypisujemy kolejne liczby naturalne, począwszy od dwójki (dopóty, dopóki nam starczy cierpliwości). Następnie skreślamy wszystkie liczby podzielne przez dwa, oprócz niej samej. Potem wybieramy pierwszą nie skreśloną liczbę (będzie to oczywiście 3) i skreślamy wszystkie większe liczby przez nią podzielne i tak dalej. Sito Eratostenesa "przesiewa" wszystkie liczby naturalne mniejsze od pewnej ustalonej liczby i pozostawia tylko liczby pierwsze, choć to przesiewanie jest dosyć żmudne.

5 Liczby względnie pierwsze Jeżeli dwie liczby całkowite a i b spełniają warunek (a, b)=1, czyli nie mają żadnego naturalnego dzielnika oprócz 1, to liczby takie nazywamy liczbami względnie pierwszymi. Rozkłady na czynniki pierwsze liczb względnie pierwszych wyróżniają się brakiem czynników wspólnych dla wszystkich liczb. Przykład 15=3 ⋅ 5 28=2 ⋅ 2 ⋅ 7 wspólne czynniki: brak (15,28)=1 Liczby 15 i 28 są względnie pierwsze.

6 Liczby bliźniacze Liczba 5 jest bliźniacza zarówno z 3, jak i z 7, Największe znane dziś liczby bliźniacze, każda składająca się z 200 700 cyfr. Ostatnimi cyframi liczb bliźniaczych mogą być: 1 i 3 (przykład 11 i 13), 7 i 9 (przykład 17 i 19) oraz 9 i 1 (na przykład 29 i 31). Do dzisiaj nie wiadomo czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele, jak sugeruje hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych.

7 Liczby lustrzane Liczby lustrzane to takie dwie liczby, kt ó re są lustrzanym odbiciem, np. 23 – 32

8 Zbiór liczb rzeczywistych Uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne.

9 Liczby wymierne Liczbę nazywamy wymierną, jeżeli można przedstawić ją w postaci ułamka zwykłego, którego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi i mianownik jest różny od zera. Przykłady liczb wymiernych:

10 Liczby palindromiczne To takie liczby naturalne, które od początku i od końca czyta się tak samo np. 525, 7887, 908809

11 Liczba π W królestwie liczb nie ma równości. Prym wiodą arystokratki, z których najbardziej znana jest liczba  zwana też liczbą Archimedesa. Czym zasłużyła sobie na te honory? Cóż, potrafi znaleźć się w każdej sytuacji i ma nadzwyczajną moc opisywania świata.

12 Symbol  został spopularyzowany w połowie XVIII w. przez matematyka i fizyka szwajcarskiego Leonarda Eulera Dopiero w 1767 roku matematyk, fizyk, astronom i filozof szwajcarski, Johann Heinrich Lambert, udowodnił, że :  jest liczbą niewymierną!

13 Poszukiwania coraz dokładniejszych rozwinięć dziesiętnych liczby  nadal trwają. Liczba  jest też,,bohaterką" wiersza laureatki Nagrody Nobla Wisławy Szymborskiej

14 Czy liczba może mieć swoje święto? Albert Einstein (1879 – 1955) Okazuje się, że tak. Święto liczby  przypada 14 marca, bo pisząc tę datę po angielsku otrzymujemy 3,14, a więc  z dokładnością do dw ó ch cyfr po przecinku. Przypadkiem 14 marca jest r ó wnież dniem urodzin Alberta Einsteina.

15 Liczby Fibonacciego Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz jest sumą dwóch poprzednich nazywa się ciągiem Fibonacciego. Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich Leonardo z Pizy (Fibonacci)

16 Ciąg Fibonacciego Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody np. róże tego smakowitego kalafiora, poczynając od czubka, układają się spiralnie. Jeśli policzymy liczbę lewo – i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to wyrazy ciągu Fibonacciego. Podobną liczbę spiral tworzą ziarna słonecznika i łuski szyszki.

17

18 Liczby zaprzyjaźnione Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników).

19 Liczba trójkątna Liczba obiektów, które ustawione w regularnej trójkątnej siatce mogą utworzyć kształt wypełnionego trójkąta równobocznego, w którego boku stoi n obiektów.

20 Liczba Ф Liczba Fi ma to do siebie, że jeżeli podniesiemy ją do kwadratu, otrzymamy liczbę dokładnie o jeden większą. Liczbę Fi możemy wyliczyć z każdego trójkąta prostokątnego, którego jedna przyprostokątna jest o połowę krótsza od drugiej przyprostokątnej.

21 Złoty podział

22 Starożytni Grecy uważali, że wśród możliwych podziałów odcinka na dwie części jest taki, w którym otrzymane części mają wyjątkowo piękne proporcje. Ten podział, zwany złotym podziałem, powinien być dobrany tak, aby stosunek długości dłuższej części do krótszej był taki sam. Jak stosunek długości całego odcinka do dłuższej części. Wielki astronom Kepler powiedział: Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny.

23 Niezależnie od długości odcinka stosunek a:b jest zawsze jednakowy. Liczba równa temu stosunkowi nazywana jest złotą liczbą i oznaczana grecką literą fi. Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze. Obecnie złoty podział jest też często stosowany np. wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału. Liczba złota ma ciekawe własności: 1.Aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę. 2.Aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć od niej jedynkę.

24 Złota proporcja

25 Złoty prostokąt

26 Złoty trójkąt

27 Złoty pięciokąt

28 Złoty podział w przyrodzie

29

30

31 Złoty podział w ciele człowieka

32

33 Złoty podział w sztuce

34

35

36

37

38 Złoty podział w logo firm

39

40 Opracowali: Kacper Szumierz Kamila Laska Natalia Hajnosz Dominika Kopeć Pod opieką: mgr Lidii Wyskiel