1  Introducción  Modelo factorial ortogonal  Construcción del modelo factorial: método de componentes principales  Construcción del modelo factorial: método de máxima verosimilitud  Análisis factorial y componentes principales 1 4. ANÁLISIS FACTORIAL

2 ANÁLISIS FACTORIAL Introducción 2 Las variables dependen de factores inobservables. Los factores latentes explican comportamientos visibles en las variables. El objetivo es analizar si hay factores (menos que variables) que expliquen dichas variables.

3 Modelo factorial ortogonal Sea Factores comunes: 3 Factores específicos o errores: Matriz de cargas: ANÁLISIS FACTORIAL Nota: l ij =carga de X i sobre F j

4 Modelo factorial ortogonal Matricialmente, el modelo factorial es: 4 ANÁLISIS FACTORIAL Escribiéndolo de forma desarrollada, quedaría

5 Modelo factorial ortogonal 5 ANÁLISIS FACTORIAL Si se cumplen estas tres condiciones se dice que el modelo es factorial ortogonal. Requisitos:

6 Modelo factorial ortogonal 6 ANÁLISIS FACTORIAL Observaciones: La variabilidad de la variable i se descompone en parte común (se puede medir) y específica (no se puede medir). Comunalidad (h i 2 ) Especificidad

7 Modelo factorial ortogonal 7 ANÁLISIS FACTORIAL Ejemplo (i)Número de variables y de factores. (ii)Descomponer VX en comunalidad y especificidad. (iii)cov(X 3,X 2 ). (iv)cov(X 3,F 2 ).

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9 Modelo factorial ortogonal 9 ANÁLISIS FACTORIAL (iii) No siempre existe un modelo factorial ortogonal. (iv)Si existe modelo factorial no siempre es único (si tiene más de un factor, no es único).

10 Modelo factorial ortogonal 10 ANÁLISIS FACTORIAL Ejemplo Analizar si existe un modelo unifactorial para explicar estas tres variables:

11 Construcción del modelo factorial: método de componentes principales 11 ANÁLISIS FACTORIAL Si  tiene los siguientes autovalores y autovectores, Sea la descomposición exacta de  es

12 Construcción del modelo factorial: método de componentes principales 12 ANÁLISIS FACTORIAL Si  tiene los siguientes autovalores y autovectores La descomposición exacta de  tiene p factores; se puede utilizar la matriz  para disminuir el número de factores.

13 Construcción del modelo factorial: método de componentes principales 13 ANÁLISIS FACTORIAL la descomposición de  es donde Entonces

14 Construcción del modelo factorial: método de componentes principales 14 ANÁLISIS FACTORIAL con y S Entonces Modelo factorial muestral

15 Construcción del modelo factorial: método de componentes principales 15 ANÁLISIS FACTORIAL donde los autovalores y autovectores son y la matriz de cargas Además, Nota: Análogamente para R

16 Construcción del modelo factorial: método de máxima verosimilitud 16 ANÁLISIS FACTORIAL Sea donde Y sea Sean que maximizan

17 Construcción del modelo factorial: método de máxima verosimilitud 17 ANÁLISIS FACTORIAL Propiedades  No hay óptimo único: se requiere  La solución se obtiene computacionalmente.  Las comunalidades son

18 Construcción del modelo factorial: método de máxima verosimilitud 18 ANÁLISIS FACTORIAL  No se obtiene el mismo resultado por el método de máxima verosimilitud que por componentes principales.  La proporción de varianza explicada por el factor j-ésimo calculada por máxima verosimilitud es: Varianza total Nota: Análogamente para R

19 Análisis factorial y componentes principales 19 ANÁLISIS FACTORIAL El análisis factorial y el análisis de componentes principales están muy relacionados entre sí, pero existen varias diferencias:  Mientras que el análisis de componentes principales busca hallar combinaciones lineales de las variables originales que expliquen la mayor parte de la varianza total, el análisis factorial pretende hallar un nuevo conjunto de variables no observables, menor en número que las variables originales, que exprese la mayor parte de la varianza común.

20 Análisis factorial y componentes principales 20 ANÁLISIS FACTORIAL  El análisis factorial supone que existen factores comunes subyacentes a todas las variables, mientras que el análisis de componentes principales, no.

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