1 1. La integral Gustavo Rocha

2 Objetivo del capítulo Distinguir a la diferencial como una función de dos variables, a la integral indefinida como una familia de funciones antiderivadas, a la integral definida como un número, resultado del límite de una suma infinita de términos y a la función integral como un proceso de acumulación; las cuatro vinculadas a través del teorema fundamental del cálculo, que explica por qué la integral definida requiere del cálculo de antiderivadas y por qué el problema de la recta tangente es el inverso del problema del área, y se resuelven por medio de procesos inversos, la derivación y la integración; realizar procedimientos diversos de ajuste del integrando para calcular su primitiva; y evaluar integrales definidas aplicando la regla de Barrow.

3 Contenido del capítuloLa integral indefinida Introducción a ecuaciones diferenciales El problema del área La integral definida Teorema fundamental del cálculo La diferencial Cálculo de primitivas directas y evaluación de integrales

4 1.1 La integral indefinidaGustavo Rocha

5 Objetivos del tema Distinción de la integral indefinida como una familia de funciones antiderivadas. Reconocimiento de las reglas básicas de derivación como reglas básicas de integración. Reconocimiento de la diferencial de la función como integrando. Cálculo de integrales de funciones polinómicas y trigonométricas.

6 Contenido del tema Antiderivadas o primitivas. Funciones con la misma derivada. Antiderivada general. Antiderivada particular. Integral indefinida. Definiciones de integral indefinida. Derivación e integración como operaciones inversas. Elementos de la integral indefinida. Propiedades de linealidad de la integral indefinida. Las reglas básicas de derivación como reglas básicas de integración. Regla de las potencias. Regla generalizada de las potencias. Reglas de integración de funciones trigonométricas. La diferencial de la función como integrando. Cálculo de integrales de funciones polinómicas y trigonométricas.

7 Adivinanza

8 Adición - sustracción

9 Multiplicación - división

10 Potenciación – radicación

11 Operaciones matemáticas inversasDe la misma manera que la sustracción es la operación inversa de la adición, la división es la operación inversa de la multiplicación y la extracción de raíces es la operación inversa de la exponenciación, así la operación antiderivación es la operación inversa de la derivación.

12 Operaciones matemáticas inversasAdición Multiplicación Potenciación Integración Sustracción División Radicación Derivación

13 Primitiva

14 Antiderivadas o primitivasSi la derivada de F es igual a f en el intervalo I: entonces F es una antiderivada o primitiva de f en el intervalo I : Por ejemplo: y se dice que es una antiderivada o primitiva de en todo el dominio de x.

15 Antiderivadas o primitivasEncontrar una primitiva para las siguientes funciones: .

16 Función primitiva – función derivada

17 Función primitiva – función derivada

18 Función primitiva – función derivada

19 Función primitiva – función derivada

20 Derivada en un punto genérico

21 Derivada de una funciónEncontrar la derivada de las siguientes funciones: .

22 Funciones con la misma derivadaSi dos funciones F y G tienen la misma derivada: entonces las funciones F y G difieren en una constante: Por ejemplo: F y G difieren en 2, que es una constante.

23 Funciones con la misma derivada

24 Antiderivada general Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas, que se diferencian entre sí en una constante. La antiderivada general es la familia constituida por un número infinito de primitivas.

25 Antiderivada general

26 Antiderivada general Encontrar la antiderivada general de las siguientes funciones: .

27 Antiderivar = Integrar= Calcular primitivas

28 Familia de antiderivadasIntegral indefinida Una función f tiene una familia de funciones antiderivadas, denominada antiderivada general o integral indefinida, y cada miembro de esta familia se obtiene de cualquiera de ellos sumándole una constante adecuada. En notación de Leibniz: Las gráficas de cualesquiera antiderivadas de f son traslación vertical una de la otra. Familia de antiderivadas

29 Integral indefinida

30 Integral indefinida Obtener las siguientes integrales indefinidas: .

31 Antiderivada particularUna función antiderivada particular no es una integral indefinida, sino un solo miembro de la familia, aquella cuya gráfica tiene ordenada 5. Por ejemplo: x y 5

32 Definiciones de integral indefinida

33 Definiciones de integral indefinidaEn notación de derivadas: En notación de diferenciales: En notación de integrales: La operación de hallar todas las soluciones de la ecuación diferencial se denomina integración indefinida o antiderivación.

34 Derivación e integración como operaciones inversasLa integración es la inversa de la derivación: La derivación es la inversa de la integración: Para establecer cualquier resultado de la forma: basta demostrar que

35 Elementos de la integral indefinida5. Primitiva general 3. Diferencial 1. Integral 4. Variable de integración 6. Constante de integración 2. Integrando

36 Elementos de la integral indefinida8. Diferencial de F(x) 7. Operador integral

37 Reglas de derivación – reglas de integraciónA cada regla de derivación le corresponde una regla de integración.

38 Propiedades de linealidad de la integral indefinidaEl operador integral es lineal. La integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. La integral de la suma es la suma de las integrales La integral de la diferencia es la diferencia de las integrales

39 Reglas de derivación – reglas de integraciónIntegración por partes Integración por partes Integración por sustitución

40 Reglas de derivación – reglas de integración

41 La regla de las potenciasCon relación a la regla de las potencias ¿Por qué no funciona para ¿Acaso funciona para ¿Qué sucede cuando ¿Cuál es la condición cuando

42 La regla de las potenciasqueda pendiente para el tema 2 porque la función no está definida para

43 Integrando funciones polinómicas

44 Regla generalizada de las potenciasLa fórmula generalizada es muy similar a la fórmula simple pero su diferencia no es trivial, porque u es función de x: Definición de integral indefinida en lenguaje de diferenciales Cálculo de la diferencial de la función Regla de la cadena

45 Regla generalizada de las potenciasEjemplos: No se puede aplicar directamente la regla generalizada de las potencia, porque falta la diferencial. Aquí sería necesario desarrollar el cubo del binomio, y después integrar.

46 Regla generalizada de las potenciasUtilizando la regla de las potencias, calcule: .

47 Reglas de integración de funciones trigonométricasNotación de diferenciales Notación de integrales

48 Reglas de integración de funciones trigonométricasEjemplos: No se puede aplicar directamente la regla del seno, porque falta la diferencial. Esta primitiva existe, pero no es una función elemental. No se puede aplicar directamente la regla del seno, porque falta la diferencial. Esta primitiva tampoco es función elemental.

49 Integrando funciones trigonométricas

50 Reglas de integración de funciones trigonométricasUtilizando reglas básicas de integración, calcule: .

51 Distinción obvia Para todos debe quedar muy claro quees la aplicación de la función seno al cuadrado de la variable x. es el cuadrado de la función seno de x.

52 La regla generalizada de las potencias aplicada a funciones trigonométricasLa regla de las potencias no solo es aplicable a funciones algebraicas y polinomios. Su uso se extiende a cualquier función, si está presente su correspondiente diferencial. Ejemplos: Dos resultados aparentemente diferentes para una integral

53 Integrando funciones trigonométricas con potencias

54 Proceso de integraciónIntegral original Reescribirla Conforme a una regla de integración Verificar la correspondencia del integrando con la diferencial Integrar: lo que se integra es el integrando Simplificar Utilizar todos los recursos del álgebra Considerar solo una constante de integración Verificar: Siempre es posible comprobar por derivación

55 La regla generalizada de las potencias aplicada a funciones trigonométricasUtilizando la regla generalizada de las potencias, calcule: .

56 Cálculo de primitivas mediante reglas básicas de integraciónObtener las siguientes integrales indefinidas, usando reglas básicas de integración: .