1 2014 Kierunek ELEKTROTECHNIKAObwody elektryczne 2014 Kierunek ELEKTROTECHNIKA
2 Kontakt: Dr inż. Marek Ossowski [email protected]Zakład Ukaładów i Sysytemów Nieliniowych Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej Al.Politechniki 11 pok.14 Ip (C3) Tel.(42) Tel tylko w sprawach niezwykle ważnych!!!! OE1 2014
3 Program wykładów Obwody elektryczne -wstęp Podstawy topologiiPrawa Kirchhoffa Twierdzenie Tellegena Elementy obwodów Oporniki liniowe Łączenie oporników Rezystywność i konduktywność Oporniki nieliniowe Charakterystyki wypadkowe połączeń Źródła niezależne idealne i rzeczywiste Źródła sterowane OE1 2014
4 Program wykładów (cd) Obliczanie prostych obwodów DC Obwody równoważneMetoda praw Kirchhoffa Zasada superozycji Twierdzenie Thevenina-Nortona Metoda potencjałów węzłowych Zasada wzajemności Twierdzenie o kompensacji Podstawowe pojęcia dotyczące analizy AC (prądy sinusoidalnie zmienne) OE1 2014
5 Teoria Obwodów cz.I – M.Tadeusiewicz Literatura Teoria Obwodów cz.I – M.Tadeusiewicz Teoria Obwodów. Zadania – praca zbiorowa po redakcją M.Tadeusiewicza OE1 2014
6 Zaliczenie przedmiotuObecność na wszystkich zajęciach Zaliczenie dwóch sprawdzianów pisemnych przewidzianych terminach (7 i 12 tydzień zajęć) Forma sprawdzianu pisemnego: Krótkie pytania (możliwość testu) Pytania problemowe Proste zadania obliczeniowe OE1 2014
7 POJĘCIA PODSTAWOWE Urządzenie elektryczne = obiekt fizyczny taki jak tranzystor, wzmacniacz operacyjny Obwód elektryczny połączone przewodami urządzenia elektryczne Urządzenia elektryczne reprezentowane są przez modele składające się z podstawowych elementów obwodów (oporników, źródeł, kondensatorów, cewek) Modele przybliżony opis fizycznych urządzeń To samo urządzenie może mieć różne modele OE1 2014
8 Kierunki odniesienia:Rozpatrywane są napięcia między węzłami i prądy płynące w gałęziach łączących węzły. Zwyczajowo przyjmuje się za dodatni kierunek przepływu ładunków dodatnich (napięcie od + do -) Ze względu na możliwe zmiany w czasie kierunku ruchu ładunków trudno określić aktualny kierunek prądu i zwrot napięcia przyjmuje się pewne kierunki odniesienia, które wraz z wartością (za znakiem) są jednoznaczną informacją o prądzie i napięciu OE1 2014
9 Kierunki odniesienia (interpretacja)OE1 2014
10 OBWÓD PRZYKŁADOWY OE1 2014
11 POJĘCIA PODSTAWOWE (cd)WĘZEŁ miejsce połączenia końcówek elementów oznaczane na schematach kropką. GAŁĄŹ odcinek obwodu między węzłami (zawiera zwykle jeden element lub urządzenie wraz z przewodami) ŚCIEŻKA ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w węźle końcowym PĘTLA zamknięty ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w tym samym węźle początkowym (inaczej: ścieżka o wspólnym początku i końcu) OE1 2014
12 POJĘCIA PODSTAWOWE (cd)GRAF graficzne odwzorowanie obwodu zawierające jedynie informację o lokalizacji elementów i ich połączeniach otrzymujemy go przez zastąpienie wszystkich elementów obwodu gałęziami GRAF ZORIENTOWANY graf zawierający dodatkowo informację o kierunku odniesienia sygnałów gałęziowych (może być zorientowany prądowo, napięciowo lub w sposób uniwersalny) OE1 2014
13 Tworzenie grafu 1 2 1 2 1 2 Element obwodu między węzłami 1 i 21-sza gałąź grafu niezorientowanego między węzłami 1 i 2 1 2 1-sza gałąź grafu zorientowanego między węzłami 1 i 2 OE1 2014
14 OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANYOE1 2014
15 OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANYOBWÓD - GRAF ZORIENTOWANY OE1 2014
16 kolejne gałęzie mają wspólny węzeł, DROGA Drogą między węzłami j i k nazywamy zbiór gałęzi grafu utworzony w ten sposób, że kolejne gałęzie mają wspólny węzeł, w żadnym węźle nie łączą się więcej niż dwie gałęzie zbioru, z węzłem j oraz z węzłem k łączy się dokładnie jedna gałąź zbioru. OE1 2014
17 Przykład 1 drogi między węzłami 1 i 2Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drogi OE1 2014
18 Przykład 2 drogi między węzłami 1 i 2Zbiór gałęzi e-f-g-c-h-i-j nie spełnia warunku (2) definicji drogi OE1 2014
19 Przykład 3 drogi między węzłami 1 i 2Zbiór gałęzi e-g-c-d nie spełnia warunku (1) definicji drogi OE1 2014
20 Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu spełniający następujące warunki Pętla Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu spełniający następujące warunki podgraf jest spójny, w każdym węźle podgrafu łączą się dwie i tylko dwie gałęzie. OE1 2014
21 Zbiór gałęzi e-f-g-c-d-a spełnia warunki definicji pętliPrzykład 1 pętla Zbiór gałęzi e-f-g-c-d-a spełnia warunki definicji pętli OE1 2014
22 Zbiór gałęzi e-j-a-g-c-h nie spełnia warunku 1 definicji pętliPrzykład 2 nie-pętla Zbiór gałęzi e-j-a-g-c-h nie spełnia warunku 1 definicji pętli OE1 2014
23 Zbiór gałęzi e-i-f-j-a nie spełnia warunku 2 definicji pętliPrzykład 3 nie-pętla Zbiór gałęzi e-i-f-j-a nie spełnia warunku 2 definicji pętli OE1 2014
24 Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo (DOPEŁNIENIE)Drzewem grafu spójnego nazywamy spójny podgraf obejmujący wszystkie węzły i nie zawierający żadnej pętli. Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo (DOPEŁNIENIE) OE1 2014
25 Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drzewaPrzykład 1 DRZEWO Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drzewa OE1 2014
26 Zbiór gałęzi e-f-g-h-j spełnia warunki definicji drzewaPrzykład 2 DRZEWO Zbiór gałęzi e-f-g-h-j spełnia warunki definicji drzewa OE1 2014
27 Drzewo grafu spójnego o węzłach i b gałęziach zawiera - 1 gałęzi.Twierdzenie Drzewo grafu spójnego o węzłach i b gałęziach zawiera - 1 gałęzi. Dowód (indukcyjny): Dla n=2, b=1 (n= ) twierdzenie prawdziwe OE1 2014
28 Cd. Dowód (indukcyjny)cz.2:Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla grafu n-węzłowego. Rozpatrzmy graf o n+1 węzłach, utwórzmy drzewo i wyodrębnijmy ten węzeł, w którym zbiega się tylko jedna gałąź drzewa. Graf o n węzłach OE1 2014
29 Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem n węzłach Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem z drzewa grafu n-węzłowego oraz gałęzi dk. Uwzględniając założenie indukcyjne otrzymamy: (n-1)+1=n WNIOSEK: Dopełnienie grafu spójnego węzłach i b gałęziach zawiera b - + 1 gałęzi. OE1 2014
30 Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór PRZEKRÓJ Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór gałęzi spełniający następujące warunki (1) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju bez węzłów końcowych powoduje podział grafu na dwa podgrafy (2) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju poza jedną nie narusza spójności grafu. OE1 2014
31 Zbiór gałęzi b-f-i-d spełnia warunki definicji przekrojuPrzykład 1 przekrój Zbiór gałęzi b-f-i-d spełnia warunki definicji przekroju OE1 2014
32 Przykład 2 nie- przekrójZbiór gałęzi b-f-i-d-j nie spełnia warunków (2) definicji przekroju OE1 2014
33 PRZEKRÓJ FUNDAMENTALNYPrzekrojem grafu spójnego nazywamy fundamentalnym jeżeli jest utworzony z dokładnie jednej gałęzi drzewa i gałęzi dopełnienia. Jest ich w grafie - 1 OE1 2014
34 (1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) djaDRZEWO grafu i przekroje fundamentalne Przekroje fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja OE1 2014
35 Pętla FUNDAMENTALNA Pętlę nazywamy fundamentalną jeżeli jest utworzona z dokładnie jednej gałęzi dopełnienia i gałęzi drzewa. Jest ich w grafie b - + 1 OE1 2014
36 (1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcdDRZEWO grafu i pętle fundamentalne Pętle fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcd OE1 2014
37 Twierdzenia dotyczące PRAW KIRCHHOFFA(1) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z PPK wynosi -1. Równania te można napisać stosując PPK do -1 fundamentalnych przekrojów. (2) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z NPK wynosi b - +1 . Równania te można napisać stosując PPK do b - +1 fundamentalnych pętli. OE1 2014
38 DEFINICJA GRAFU PLANARNEGO: Graf planarny to taki graf, który może być narysowany na płaszczyźnie tak aby gałęzie przecinały się tylko w węzłach. DEFINICJA OCZKA: Oczkiem grafu planarnego nazywamy pętlę nie zawierająca wewnątrz żadnych gałęzi. TWIERDZENIE Graf planarny zawiera b - +1 oczek. Równania NPK napisane dla b - +1 są liniowo niezależne. OE1 2014
39 Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK)Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma napięć gałęziowych wzdłuż dowolnej pętli wynosi zero Liczba gałęzi i-tej pętli OE1 2014
40 OBWÓD PRZYKŁADOWY OE1 2014
41 Prądowe Prawo Kirchhoffa (PPK)Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma prądów w dowolnym węźle wynosi zero Liczba gałęzi zbiegających się w i-tym węźle OE1 2014
42 OBWÓD PRZYKŁADOWY OE1 2014
43 Prądowe Prawo Kirchhoffa (ogólniej)Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma prądów przenikających dowolną gaussowską powierzchnię zamkniętą wynosi zero. Liczba gałęzi przecinających powierzchnię zamkniętą Si OE1 2014
44 PRZYKŁAD: OE1 2014
45 Zasady pisania równań KirchhoffaDla obwodu o n węzłach i b gałęziach można napisać: n-1 liniowo niezależnych równań z PPK (dla n-1 dowolnie wybranych węzłów) b-n+1 liniowo niezależnych równań z NPK (dla b-n+1 odpowiednio wybranych pętli) Ogólna liczba liniowo niezależnych równań jakie można napisać dla obwodu o n węzłach i b gałęziach wynosi: OE1 2014
46 Twierdzenie TellegenaOE1 2014
47 OE1 2014
48 STOSUJEMY DO KAŻDEGO SKŁADNIKA SUMY POGRUPUJEMY SKŁADNIKI ZAWIERAJĄCEK-TE POTENCJAŁY OE1 2014
49 PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE Liczba gałęzi w k-tym węźle PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE W SUMIE DLA K-TEGO WĘZŁA WYPŁYWAJĄ Z NIEGO, NA PODSTAWIE PPK: CZYLI: OE1 2014
50 SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI OBWODU JEST RÓWNA ZERU.WNIOSEK 1 SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI OBWODU JEST RÓWNA ZERU. WNIOSEK 2 NAPIĘCIA uk ORAZ PRĄDY ik NIE MUSZĄ DOTYCZYĆ TEGO SAMEGO OBWODU, A JEDYNIE OBWODÓW O TEJ SAMEJ TOPOLOGII, tzn. POSIADAJĄCYCH TEN SAM GRAF. OE1 2014
51 Ilustracja twierdzenia TellegenaWNIOSEK 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 OE1 2014
52 Ilustracja twierdzenia TellegenaWNIOSEK 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 OE1 2014
53 Elementy obwodów Oporniki liniowe nieliniowe Źródła niezależnenapięciowe prądowe Źródła sterowane (zależne) OE1 2014
54 Uwaga: Wartości chwilowe wielkości obwodowych,np.prądów i napięć (funkcje czasu) oznaczamy zawsze małymi literami np. u(t), i(t), p(t), w(t) OE1 2014
55 Jednostki Stosujemy jednostki podstawowe układu SI: Jednostka napięciaJednostka natężenia prądu: Jednostka oporu (rezystancji): Jednostka mocy: Jednostka energii: OE1 2014
56 Będziemy rozważać elementy SLS:skupione (S) liniowe (L) stacjonarne (S) OE1 2014
57 Moc i energia i u Moc chwilowa Energia Związek między mocą i energią:OE1 2014
58 Opornik liniowy Równania Symbole JednostkiCharakterystyka prądowo-napięciowa OE1 2014
59 Opornik liniowy Obliczanie rezystancji Długość przewodukonduktywność przewodność rezystywność oporność właściwa pole powierzchni poprzecznej przewodu OE1 2014
60 Rezystywność i konduktywność przewodnikówMateriał Rezstywność Konduktywność m mm2/m S/m m/(mm2) SREBRO 1.6210-8 0.0162 62.5106 62.5 MIEDŹ 1.7510-8 0.0175 57 106 57 ALUMINIUM 2.8310-8 0.0283 35.3 106 35.3 CYNA 1210-8 0.12 8.33 106 8.33 PLATYNA 11.1 10-8 0.111 9 106 9 MANGANIN 44 10-8 0.44 2.3 106 2.3 KONSTANTAN 48 10-8 0.48 2.1 106 2.1 CHROMONIKIELINA 110 10-8 1.1 0.91 106 0.91 CYNK 6.3 10-8 0.63 15.9 106 15.9 OE1 2014
61 Parametry rezystorów Rezystancja znamionowa wskaźnik wartości rezystancji. Podawana z największym dopuszczalnym odchyleniem rezystancji rzeczywistej od rezystancji znamionowej. (Dopuszczalne odchyłki zawarte w przedziale 0,1 – 20 %) Moc znamionowa największa dopuszczalna moc możliwa do wydzielenia w rezystorze. Moc ta jest zależna od powierzchni rezystora, sposobu odprowadzenia ciepła, maksymalnej dopuszczalnej temperatury pracy i temperatury otoczenia. Napięcie znamionowe największe dopuszczalnym napięciem, które może być przyłożone do rezystora bez zmiany jego właściwości (bez jego uszkodzenia). Typowe wartości znamionowe: od kilkudziesięciu do kilkuset woltów. OE1 2014
62 Rodzaje rezystorów OE1 2014
63 Rezystory (cd) Drutowe: z przewodu cylindrycznego lub taśmowego nawiniętego na korpusie ceramicznym Warstwowe: elementem oporowym jest cienka warstwa przewodząca (węglowa lub metalowa) nałożona na nieprzewodzącą część konstrukcyjną Objętościowe (masowe): przewodzą prąd całym przekrojem. OE1 2014
64 Przykład: 4K74700 (węglowy)Pasek 1, pole # Pasek 2, pole # Pasek 4, tolerancja w % Pasek 3, mnożnik (ile zer?) PASEK 1: żółty PASEK 2: fiolet PASEK 3: czerwony PASEK 4: złoty 5%(tol.) 4700 OE1 2014
65 Przykład kodu wartości1-szy pasek: pomarańczowy = 3 2-gi pasek: pomarańczowy = 3 3-i pasek: czerwony = 2 ( 102) 4-ty pasek: czerwony = 2% 33 x 102 = 3300 = 3.3 k OE1 2014
66 Oporniki nieliniowe: rezystancja statycznaProporcjonalna do tangensa nachylenia siecznej w danym punkcie OE1 2014
67 Oporniki nieliniowe: rezystancja dynamicznaProporcjonalna do tangensa nachylenia stycznej w danym punkcie OE1 2014
68 Oporniki nieliniowe uzależnione napięciowo i prądowoOpornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i(-;+ ) nazywamy uzależnionym prądowo. Opornik, dla którego i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u(-;+ ) nazywamy uzależnionym napięciowo. termistor Dioda tunelowa OE1 2014
69 Oporniki nieliniowe nieuzależnioneOpornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i(-;+ ) oraz dla i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u(-;+ ) nazywamy nieuzależnionym. Żarówka z włóknem wolframowym OE1 2014
70 Charakterystyki elementów nieliniowych:OE1 2014
71 L Cewka i u i indukcyjność Strumień magnetycznyprzenikający przez uzwojenie jest proporcjonalny do prądu gdy charakterystyka strumieniowo-prądowa cewki liniowej jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. i OE1 2014
72 L - indukcyjność cewki Dla cewki, która ma z zwojów wprowadzamy pojęcie „strumień skojarzony” z uzwojeniem: OE1 2014
73 Kondensator i u C q u pojemność Ładunek elektrycznyna okładkach kondensatora jest proporcjonalny do napięcia gdy q charakterystyka napięciowo-ładunkowa kondensatora liniowego jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. u OE1 2014
74 C - pojemność kondensatoraOE1 2014
75 Elementy pasywne i aktywne obwodówElement pasywny pobiera energię Element aktywny dostarcza ją do obwodu pasywny aktywny OE1 2014
76 Źródła napięciowe Źródłem napięciowym jest dwukońcówkowy element posiadający na swoich zaciskach zadane napięcie uz(t) niezależne od wartości prądu płynącego przez źródło. Symbole: OE1 2014
77 Źródła napięciowe (idealne): charakterystykiOE1 2014
78 Rzeczywiste źródło napięcioweSymbole: OE1 2014
79 Stany pracy źródła napięciowegoObciążenie: obciążenie OE1 2014
80 Charakterystyka napięciowo-prądowa źródła napięciowego (rzeczywistego)Stan jałowy Stan zwarcia OE1 2014
81 Stany pracy źródła napięciowego (cd)Stan jałowy(rozwarcie) Zwarcie OE1 2014
82 Dopasowanie odbiornika do źródłaPrąd w obwodzie: Moc odbiornika: OE1 2014
83 Dopasowanie odbiornika do źródła (cd)Warunek dopasowania odbiornika do źródła OE1 2014
84 Przykładowy wykres mocy odbiornika:OE1 2014
85 Sprawność ukladu odbiornikźródło0.5 dopasowanie OE1 2014
86 Źródła prądowe Źródłem prądowym jest dwukońcówkowy element przez którego zaciski płynie zadany prąd iz(t) niezależnie od wartości napięcia panującego na jego zaciskach. Symbole: oznaczenia DC: OE1 2014
87 Źródła prądowe (idealne): charakterystykiOE1 2014
88 Rzeczywiste źródło prądu (model praktyczny)OE1 2014
89 Rzeczywiste źródło prądu (stan zwarcia)OE1 2014
90 Rzeczywiste źródło prądu (obciążenie)OE1 2014
91 Charakterystyka u-i źródła prądowegoStan zwarcia Stan jałowy OE1 2014
92 Źródła zależne (sterowane)Źródło napięcia sterowane prądem Prąd sterujący Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2014
93 Źródła zależne (sterowane)Źródło napięcia sterowane napięciem napięcie sterujące Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2014
94 Źródła zależne (sterowane)Źródło prądu sterowane prądem Prąd sterujący Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2014
95 Źródła zależne (sterowane)Źródło prądu sterowane napięciem napięcie sterujące Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2014
96 Wzmacniacz operacyjnyOE1 2014
97 Wzmacniacz operacyjnyOE1 2014
98 OE1 2014
99 OE1 2014
100 Przykład 1 OE1 2014
101 Układy równoważne (definicja)OE1 2014
102 Układy P i Q nazywamy równoważnymi, jeżeli ich opis matematyczny jest taki sam.Opis obwodu P Opis obwodu Q OE1 2014
103 Przykład 1 OE1 2014
104 Przykład 2 (gwiazda) 1 2 3 OE1 2014
105 Przykład 2 (trójkąt) 1 2 3 OE1 2014
106 trójkąt gwiazda Porównując równania opisujące oba układy otrzymuje się zależności: OE1 2014
107 Gwiazda trójkąt Podobnie, rozwiązując poprzednie zależności względem R12,R23,R31 otrzymamy: OE1 2014
108 Obliczanie prostych obwodówPołączenie szeregowe oporników liniowych Połączenie szeregowe elementów nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) Połączenie równoległe oporników liniowych. Połączenie równoległe oporników nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) Dzielnik prądu Dzielnik napięcia; układy z potencjometrem Układanie i rozwiązywanie równań napisanych na podstawie PPK i NPK OE1 2014
109 Połączenie szeregowe oporników liniowychOE1 2014
110 Połączenie szeregowe oporników nieliniowychZadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia szeregowego tych elementów. OE1 2014
111 Charakterystyki u-i oporników5 1 -4 3 -1 OE1 2014
112 Dodawanie napięć (punkt i=-1)5 1 -5 -4 3 Dla i=-1 -1 OE1 2014
113 Dodawanie napięć (punkt i=1 oraz i=2)5 2 1 3 -1 OE1 2014
114 Charakterystyka wypadkowa5 2 1 3 -1 3 OE1 2014
115 Podsumowanie Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych szeregowo należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości prądu dodać wartości napięć elementów składowych. W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE1 2014
116 Połączenie równoległe oporników liniowychOE1 2014
117 Połączenie równoległe oporników nieliniowychZadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia równoległego tych elementów. OE1 2014
118 Połączenie równoległe oporników nieliniowych:OE1 2014
119 Podsumowanie Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych równolegle należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości napięcia dodać wartości prądów elementów składowych. W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE1 2014
120 Dzielnik prądu Wyznaczyć prądy połączonych równolegle oporników jeśli znamy ich wartości oraz prąd dopływający do połączenia: OE1 2014
121 Dzielnik napięcia OE1 2014
122 Potencjometr 1 2 3 R 1 2 3 R OE1 2014
123 1 2 3 R OE1 2014
124 OE1 2014
125 Rozwiązywanie układów rozgałęzionych: algorytm pisania równań PPK i NPKLiczba węzłów: n=5 Liczba gałęzi: b=8 Niewiadome: OE1 2014
126 Jak ułożyć komplet równań liniowo niezależnych ?Ustalamy zmienne obwodowe: prądy gałęziowe (elementów rezystancyjnych i źródeł napięciowych) oraz napięcia idealnych źródeł prądowych Piszemy równania PPK dla n-1 spośród n węzłów obwodu Piszemy równania NPK dla b-n+1 pętli obwodu: Piszemy równanie dla dowolnej (pierwszej) pętli Piszemy równania dla kolejnych (nowych) pętli w taki sposób aby nowa pętla zawierała co najmniej jedną zmienną dotychczas niewykorzystaną Powtarzamy ten etap tak aby liczba równań wynosiła maksymalnie b-n+1 UWAGA: można napisać b-n+1 równań liniowo niezależnych dla oczek (pętli nie zawierających żadnych gałęzi wewnętrznych) OE1 2014
127 n-1 (4) równań na podstawie PPK:2 4 3 OE1 2014
128 Równania napięciowe, pierwsza pętla:1 OE1 2014
129 Równania napięciowe, druga pętla:Nowe gałęzie: 3,5 2 OE1 2014
130 Równania napięciowe, pętla trzecia:Nowe gałęzie: 6,8 3 OE1 2014
131 Równania napięciowe, pętla czwarta i ostatnia:Nowa gałąź: 7 4 OE1 2014
132 Przykład prostego obwodu z rozwiązaniemOblicz prądy gałęziowe w układzie z powyższego rysunku. Przyjmując, że opornik R2 jest jedynym odbiornikiem, wyznacz sprawność układu. Potwierdź słuszność twierdzenia Tellegena. OE1 2014
133 1 2 3 OE1 2014
134 + + OE1 2014
135 OE1 2014
136 Weryfikacja Twierdzenia TellegenaOE1 2014
137 Zasada superpozycji Odpowiedź układu liniowego na sumę wymuszeńdziałających jednocześnie jest równa algebraicznej sumie odpowiedzi układu na poszczególne wymuszenia działające osobno. Zasada ta stanowi, że odpowiedź obwodu liniowego (tzn. prąd, napięcie) na wszystkie niezależne źródła działające jednocześnie w obwodzie, jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne źródła działające osobno (tzn. przy przyrównaniu pozostałych do zera). OE1 2014
138 Usunięcie źródła prądowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej czyli rozwarciu jego zacisków: OE1 2014
139 Usunięcie źródła napięciowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej 0 czyli zwarciu jego zacisków: OE1 2014
140 Przykład 1 (ogólny) OE1 2014
141 i = i’ + i” OE1 2014
142 OE1 2014
143 Thev OE1 2014
144 Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub prądu
145 Obwód z wyodrębnioną k-tą gałęzią OE1 2014
146 OE1 2014
147 Jeśli e = uk uAC = 0 Gałąź obwodu, na której występuje napięcie uk można zastąpić idealnym źródłem napięcia o napięciu źródłowym e = uk OE1 2014
148 Dla wyodrębnionej gałęzi z prądem ik:OE1 2014
149 Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prąduJeśli j = ik ik-j+j j Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu j = ik OE1 2014
150 Włączanie i przenoszenie źródełTwierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł
151 Jeżeli we wszystkich gałęziach zbiegających się w dowolnym węźle umieścimy źródła napięcia o tym samym napięciu źródłowym i takiej orientacji względem węzła to rozpływ prądów w układzie nie ulegnie zmianie. NPK nie ulega zmianie!!! OE1 2014
152 Jeżeli w dowolnej pętli obwodu, równolegle do każdej gałęzi, włączymy między kolejne węzły źródła prądu o jednakowym zwrocie względem obiegu pętli i jednakowych wartościach to rozkład napięć w układzie nie ulegnie zmianie. OE1 2014
153 Przenoszenie źródeł (1)OE1 2014
154 Przenoszenie źródeł (2)OE1 2014
155 OE1 2014
156 Twierdzenie o kompensacji
157 Rozpatrujemy obwód liniowy:OE1 2014
158 OE1 2014
159 Po zastosowaniu twierdzenia o zastępowaniu gałęzi źródłem napięciowym:OE1 2014
160 Z SUPERPOZYCJI OE1 2014
161 PONIEWAŻ OE1 2014
162 Twierdzenie Thevenina-Nortona
163 L M OE1 2014
164 OE1 2014
165 Wyznaczanie parametrów iZ, GZNiech u=0, wówczas i=-iZ OE1 2014
166 Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło u, (tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M) OE1 2014
167 OE1 2014
168 L M OE1 2014
169 OE1 2014
170 Wyznaczanie parametrów uZ, RZNiech i=0, wówczas u=uZ OE1 2014
171 Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło i, (tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M) OE1 2014
172 Pomiarowe wyznaczanie parametrów źródeł zastępczychJeśli można pomierzyć napięcie uAB na zaciskach A-B oraz prąd zwarcia iZ=iAB płynący między zwartymi zaciskami A-B badanego układu to: OE1 2014
173 OE1 2014
174 Podsumowanie : zastępczy dwójnik NortonaKady liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego równoległego połączenia idealnego źródła prądu iZ i opornika RZ (GZ). Prąd zastępczego źródła jest równy prądowi jaki popłynie między zwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE1 2014
175 Podsumowanie : zastępczy dwójnik TheveninaKażdy liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia uZ i opornika RZ (GZ). Napięcie zastępczego źródła jest równe napięciu uAB jakie panuje między rozwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE1 2014
176 Metoda potencjałów węzłowych
177 Przykład 1 v1 v3 v2 OE1 2014
178 Równania prądowe v1 v3 v2 OE1 2014
179 Zależności gałęziowe v1 v3 v2 OE1 2014
180 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 1OE1 2014
181 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 2OE1 2014
182 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 3OE1 2014
183 Końcowy układ równań v1 v3 v2 OE1 2014
184 Przykład 2 v2 v1 v3 OE1 2014
185 Przykład 2 Równania OE1 2014
186 Przykład 2 równania końcowe spr.v3 v2 v1 OE1 2014
187 Przykład 2 Równania uproszczoneOE1 2014
188 Przykład 3 v2 v1 v3 OE1 2014
189 Przykład 3 Równania OE1 2014
190 Przykład 3 Równania pododaniu 1 i 3+ OE1 2014
191 Opis algorytmu Wybieramy (dowolnie) jeden z a węzłów jako węzeł odniesienia NIEWIADOME: Potencjały (a-1) węzłów niezależnych oraz prądy wszystkich idealnych źródeł napięciowych. Układamy dla (a-1) węzłów (oprócz węzła odniesienia!) równania na podstawie PPK. Prądy w gałęziach zawierających oporniki oraz napięcia sterujące i prądy sterujące (z gałęzi konduktancyjnych) uzależniamy od napięć węzłowych. Wstawiamy je do równań PPK z p.2 Komplet równań uzupełniamy poprzez uzależnienie od napięć węzłowych napięć źródeł niezależnych i sterowanych napięciowych OE1 2014
192 OE1 2014
193 OE1 2014
194 Przykład 4 u3 1 2 3 4 5 OE1 2014
195 Zasada wzajemności
196 OE1 2014
197 TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI OCZKOWEOE1 2014
198 Twierdzenie o wzajemności węzłoweOE1 2014
199 Twierdzenie o wzajemności hybrydoweOE1 2014
200 OE1 2014
201 Dowód DLA KAŻDEJ k-tej GAŁĘZI ZACHODZI: Czyli: Skąd: OE1 2014
202 Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności oczkowegoOE1 2014
203 Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności węzłowegoOE1 2014
204 Twierdzenie o wzajemności hybrydowe - dowódOE1 2014