1 2.6 Un Método Numérico Uso de la Recta Tangente Suponga que y’ = f(x, y), y(x0) = y0 (1) posee una solución. por ejemplo, la gráfica resultante está representada en Fig

2 Fig

3 Método de Euler Se utiliza linealización de la solución desconocida y(x) de (1) en x0, L(x) = f(x0, y0)(x - x0) + y0 (2) Al sustituir x por x1 = x0 + h, tenemos L(x1) = f(x0, y0)(x0 + h - x0) + y0 o y1 = y0 + h f(x0, y0) y yn+1 = yn + h f(xn, yn) (3) donde xn = x0 + nh. (Fig. 2.32)

4 Fig

5 Ejemplo 1 Considere Utilice el método de Euler para obtener y(2.5) usando h = 0.1 y después h = 0.05. Solución: Sea En las Tablas 2.1 y 2.2 están mostrados los resultados paso a paso.

6 Tabla 2.1 Tabla 2.2 Tabla 2.1 h = 0.1 xn yn 2.00 4.0000 2.10 4.18002.20 4.3768 2.30 4.5914 2.40 4.8244 2.50 5.0768 Tabla h = 0.05 xn yn 2.00 4.0000 2.05 4.0900 2.10 4.1842 2.15 4.2826 2.20 4.3854 2.25 4.4927 2.30 4.6045 2.35 4.7210 2.40 4.8423 2.45 4.9686 2.50 5.0997

7 Ejemplo 2 Considere y’ = 0.2xy, y(1) = 1. Utilice el método de Euler para obtener y(1.5) usando h = 0.1 y después h = 0.05. Solución: Tenemos f(x, y) = 0.2xy. En las tablas 2.3 y 2.4 están mostrados los resultados paso a paso.

8 Tabla 2.3 Tabla 2.3 h = 0.1 xn yn Valor real Error Absoluto Error, %1.00 1.0000 0.0000 0.00 1.10 1.0200 1.0212 0.0012 0.12 1.20 1.0424 1.0450 0.0025 0.24 1.30 1.0675 1.0714 0.0040 0.37 1.40 1.0952 1.1008 0.0055 0.50 1.50 1.1259 1.1331 0.0073 0.64 CH2_8

9 Table 2.4 Tabla 2.4 h = 0.05 xn yn Valor real Error Absoluto Error, %1.00 1.0000 0.0000 0.00 1.05 1.0100 1.0103 0.0003 0.03 1.10 1.0206 1.0212 0.0006 0.06 1.15 1.0318 1.0328 0.0009 0.09 1.20 1.0437 1.0450 0.0013 0.12 1.25 1.0562 1.0579 0.0016 0.16 1.30 1.0694 1.0714 0.0020 0.19 1.35 1.0833 1.0857 0.0024 0.22 1.40 1.0980 1.1008 0.0028 0.25 1.45 1.1133 1.1166 0.0032 0.29 1.50 1.1295 1.1331 0.0037 0.32

10 Programas de Solución NuméricaObserve la Fig para comparar los métodos numéricos. Fig. 2.33

11 Cómo Usar un Programa de Solución NuméricaCuando un programa de solución numérica tiene dificultades, como podemos ver en la Fig. 2.34, podemos disminuir el tamaño de paso, usar otro método numérico, u otro programa de solución numérica. Fig. 2.34