1 3. Fonones: Vibraciones CristalinasBibliografía: Kittel, cap. 4. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

2 Desplazamiento AtómicoLas posiciones de los átomos en una red de Bravais están dadas por: Por simplicidad sólo consideraremos 1 átomo por celda y supondremos un sistema de coordenadas ortogonal. Por conveniencia, ni=(hi,ki,li) denota al átomo I-ésimo que tiene posición R. El desplazamiento del átomo i se puede escribir como Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

3 Desplazamiento AtómicoCuando onda plana se propaga por el cristal, los planos atómicos se mueven en fase paralelos o transversales a la dirección de propagación. Problema se vuelva 1D: para cada k (vestor de onda) hay 3 modos de vibración: 1 de polarización longitudinal 2 de polarizaciones transversales Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

4 Energía y Fuerza debido a los DesplazamientosLa energía del cristal cambia si los átomos son desplazados. El cambio de energía puede escribirse en función de la posición de todos los átomos: E=E(R1,R2,R3,... RN) El orden más bajo de los desplazamientos es cuadrático: ley de Hooke (límite armónico). (No hay términos lineales si se expande en torno a las posiciones de equilibrio.) Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

5 Energía y Fuerza debido a los DesplazamientosLa expresión general para la fuerza sobre el átomo s es: De la expresión armónica se puede expresar la fuerza como Cs: constantes de fuerza - razón entre la fuerza sobre el átomo s y el desplazamiento del átomo j (es generalización de la constante de fuerza de un resorte). Nota: En posiciones de equlibrio F=0 y términos son lineales en los desplazamientos. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

6 Cap. 3 Fonones - Vibraciones CristalinasFuerzas Centrales Las fuerzas centrales resultan si la energía sólo es función de las distancia entre átomos. (Este es el caso de las fuerzas electrostáticas y de van der Waals.) Entonces, la energía por átomo es: donde i son todos los vecinos del átomo s (factor 1/2 es para evitar contar 2 veces). Expandiendo hasta órden armónico: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

7 Cap. 3 Fonones - Vibraciones CristalinasCadena Lineal Consideremos una línea de átomos. Entonces, la energía por átomo es: y la fuerza es: Considerando sólo las interacciones con vecinos cercanos: i’’= 1’’ y Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

8 Oscilaciones de una Cadena LinealLey de Newton (ecuación de movimiento): Dependencia temporal: luego aparece una ecuación de diferencias en los desplazamientos: ¿Cómo resolver esta ecuación con un número infinito de osciladores acoplados? Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

9 Oscilaciones de una Cadena LinealComo la ecuación es la misma para cada s, la solución debe tener la misma forma para cada s, difiriendo sólo en un factor de fase (onda estacionaria): Luego: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

10 Oscilaciones de una Cadena LinealUna forma más conveniente es: Finalmente: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

11 Oscilaciones de una Cadena LinealSe ha resuelto el conjunto infinito de osciladores acoplados. La solución para cada oscilador con vector de onda k y frecuencia Relación de k en función de k se llama relación de dispersión. Aproximación en el continuo: k<<1/a (i.e. >>a) k Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

12 Primera Zona de Brillouink La solución de k sobre el espacio recíproco (de fases) es periódica. Toda la información está en la primera zona de Brillouin. La pendiente de k es 0 en los bordes de la ZB: G = /a El resto se repite con periodicidad 2/a, i.e. k = k+G ! (G es cualquier vector de la red recíproca; G = n(2/a) ¿Qué significado tiene este hecho? Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

13 Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíprocok El movimiento atómico con el vector de onda k es idéntico de k+G. Todas las vibraciones independientes se pueden describir por k dentro de la 1a zona de Brillouin (1ZB). Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

14 Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíprocok La 1ZB es el rango físicamente significativo para las ondas elásticas. El cuociente de desplazamiento de 2 planos sucesivos es: El rango (-,) para la fase ka cubre todos los valores independientes: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

15 Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíprocok vk=vsonido Vk=0 en borde de ZB (esperable en una onda estacionaria) La onda us = u exp(iksa-it) es una onda plana. La velocidad del paquete de ondas (velocidad de grupo) es vk=dk/dk (i.e. es pendiente de k vs. k) Significado físico de vk: velocidad de transporte de energía en el medio Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

16 Significado de vk=0 en frontera de zona de BrillouinVk=0 en borde de ZB (esperable en una onda estacionaria) Como k es periódico, debe tener dk/dk =0 en algún valor. Ocurre en el límite de la ZB porque debe ser simétrica c/r a los puntos de límite. Toda onda (vibraciones u otras ondas) son difractadas si k está en el borde de la ZB. Esto es equivalente a la reflexión de Bragg de rayos x: cuando se cumple la condición de Bragg (kmax=/a ), la onda estacionaria no puede desplazarse por la red sino que a través de sucesivas reflexiones y se establece una onda estacionaria. Ello lleva a una onda estacionaria con velocidad de grupo = 0. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

17 Significado de la Periodicidad en el Espacio RecíprocoEste es un resultado general válido para todos los cristales en todas las dimensiones. Las vibraciones son un ejemplo de excitaciones. Los átomos no están en su posición de mínima energía mientras vibran. Las excitaciones se denominan con un vector de onda k y son funciones periódicas de k en el espacio recíproco. Todas las excitaciones se cuentan si los k considerados están dentro de la 1a zona de Brillouin (ZB). Las excitaciones fuera de la ZB son idénticas a aquellas dentro de ella y no son excitaciones independientes. Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

18 Velocidad de Grupo: límite de longitud de onda largok vk=vsonido Vk=0 en borde de ZB ska<<1  cos(ska)  1 - 1/2(ska)2 Resultado:  es directamente proporcional al vertor de onda, i.e. velocidad del sonido es independiente de la frecuencia en el límite de longitudes de onda largas:  = vk (mecánica del continuo). Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

19 Cap. 3 Fonones - Vibraciones CristalinasDispersión en Cu Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

20 Recordemos: Difracción y la Zona de Brillouink’ k Zona de Brillouin La zona de Brillouin está formada por las bisectrices perpendiculares a los vectores G. Consecuencia: No hay difracción para todo k dentro de la primera zona de Brillouin. Este es el rol especial de la primera zona de Brillouin c/r a otra celdas Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

21 Cap. 3 Fonones - Vibraciones CristalinasRed Biatómica 1D M m un un+1 vn C Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

22 Cap. 3 Fonones - Vibraciones CristalinasRed Biatómica 1D m M C C C un vn un+1 Resultado: Ecuación se puede resolver para 2, pero es más simple examinar casos límite: ka << 1 : cos(ka)  1 - ½ (ka) ka =  (borde 1ZB) Para ka << 1: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

23 Cap. 3 Fonones - Vibraciones CristalinasPara ka << 1: Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

24 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

25 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

26 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

27 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

28 Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

29 Cap. 3 Fonones - Vibraciones CristalinasDispersión en KBr Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas