1 (5-6) Dynamika, grawitacjazasady dynamiki Newtona, całkowanie równań ruchu, praca, moc, energia, `zasada zachowania energii, grawitacja, pole grawitacyjne. zasada zachowania pędu, siły pozorne w układach nieinercjalnych

2 Pierwsza zasada dynamiki Newtona powtórzenieNa ciało, na które nie działa żadna siła, ma prędkość stałą. jest to zdanie Galileusza postulat istnienia układu inercjalnego

3 Druga zasada dynamiki Newtona powtórzeniemasa (bezwładna) jest wielkością addytywną, doświadczenie Galileusza (g=const)  masa ciężka jest równa masie bezwładnej, definiujemy pęd

4 Druga zasada dynamiki Newtona Siła jest przyczyną zmiany prędkości (przyspieszenia) podstawa determinizmu Równanie ruchu: równania różniczkowe, rozwiązaniami równania różniczkowego (całka) są funkcje: Równanie prędkości: Równanie drogi:

5 Rzut ukośny v0 v0 sin a v0 a g v0 cos a a h z xokreślamy układ odniesienia wypisujemy równanie ruchu ustalamy parametry i warunki początkowe(stałe całkowania) rozwiązujemy (dwukrotnie całkujemy równanie ruchu). z v0 v0 v0 sin a a g v0 cos a h a x

6 Rzut ukośny równanie prędkościrównanie ruchu warunki początkowe Całka (nieoznaczona, ogólna) równania ruchu warunki początkowe wyznaczają stałe całkowania z v0 v0 =50 m/s v0 sin a a=36.87 g=10 m/s2 v0 cos a a h x

7 Równoważny zapis całkowania całka oznaczonarównanie ruchu warunki początkowe Całka (nieoznaczona, ogólna) równania ruchu warunki początkowe wyznaczają stałe całkowania Równoważny zapis całkowania całka oznaczona

8 Rzut ukośny, równanie położeniaRównanie (definicja v) warunki początkowe Całka (nieoznaczona, ogólna) równania ruchu warunki początkowe wyznaczają stałe całkowania

9 Rzut ukośny – inne wielkości

10 Rzut ukośny Tor, z(x)

11 Rzut ukośny przyspieszenie styczne i normalne,kierunek ruchu (prędkość). krzywizna toru

12 Energia Zasada zachowania energiiPoszukujemy wielkości fizycznych, które się zachowują (są stałe w jakimś procesie)

13 Energia kinetyczna i potencjalnaRuch ciała w polu grawitacyjnym (rzuty) Wprowadzamy pojęcie energii potencjalnej (pola grawitacyjnego) i energii kinetycznej. Całkowita energia jest stałą ruchu (zachowuje się).

14 Dwa podejścia ciało + Ziemia Ciało Praca całkowita energia jest stałaenergia (kinetyczna) ciała się zmienia, bo siła grawitacyjna Ziemi wykonuje pracę nad ciałem Praca Zmiana energii równa pracy wykonanej nad ciałem

15 Iloczyn skalarny wektorówB A B cos(A,B) rzut wektora B na wektor A

16 Warunek ortogonalności: wektory są prostopadłe gdy:Obliczanie cosinusa kąta pomiędzy dwoma wektorami z A Warunek ortogonalności: wektory są prostopadłe gdy: Az qz Ay y Kosinusy kierunkowe Ax x Długość wektora, współrzędne, jedynka trygonometryczna

17 Praca i moc Praca wykonana przez silę F na odcinku drogiMoc dostarczana do układu. Siła F przyłożona co ciała poruszającego się z prędkością v

18 Praca w polu grawitacyjnymswobodny spadek powolne unoszenie wkładamy pracę unoszenie h h F=P=mg h P=mg P=mg kula ma potencjalną zdolność wykonania pracy obniżanie Siła zewnętrzna wykonuje pracę nad kulą W=mgh Siła grawitacji wykonuje pracę nad kulą W=mgh

19 Energia potencjalna Dr=[Dr sinq, 0, Dr cosq]siła zewnętrzna, F, wykonuje pracę nad układem kula+Ziemia F=P=mg=[0,0,-mg] Dr=[Dr sinq, 0, Dr cosq] Dr cosq Dr sinq P=mg wkład pracy zależy jedynie od zmiany wysokości !!!

20 Energia potencjalna hB hAF=P=mg hA wkład pracy zależy jedynie od zmiany wysokości !!!

21 Pole potencjalne Pole grawitacyjne jest polem potencjalnymPraca, WAB, w polu grawitacyjnym nie zależy od toru, zależy jedynie od miejsca rozpoczęcia,rA, i zakończenia, rB. Każdemu punktowi w przestrzeni można tak przypisać energię potencjalną, Ep(r), żeby: WAB = Ep(rB)- Ep(rA). Jedynie różnica energii potencjalnej ma sens fizyczny. Energia potencjalna określona jest z „dokładnością do stałej addytywnej”. Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym

22 Pole grawitacyjne Siła, natężenie pola, potencjałSiła = gradient potencjału

23 Pole grawitacyjne Prawo grawitacji Newtona

24 Zasada zachowania pędu

25 Zasada zachowania pęduII zasada dynamiki pęd całkowity: siły wewnętrzne nie zmieniają pędu układu brak sił zewnętrznych – pęd stały

26 Środek masy pęd całkowity, to pęd środka masypęd całkowity względem środka masy = 0 bardzo wygodny układ odniesienia

27 Rozpad nie zmienia ruchu środka masy.Pęd względem środka masy pozostaje zerowy

28 Zderzenie osiowe dwu kulZderzenie dokładnie osiowe (przypadek jednowymiarowy) Pomijamy rotację kul Zderzenie sprężyste – z zachowaniem energii y M1 v1 m2 v1’ x v2’ W układzie (x,y,z) przed zderzeniem pęd: energia: po zderzeniu pęd: energia:

29 Zderzenie osiowe dwu kulZderzenie dokładnie osiowe (przypadek jednowymiarowy) Pomijamy rotację kul y v1=v0-vs v2=-vs vs v1’ M1 m2 vs v2’ x v0 W układzie środka masy przed zderzeniem pęd: energia: po zderzeniu pęd: energia: Wartość Ekin zależy od układu odniesienia, ale prawo zachowania energii pozostaje niezmienne

30 Zderzenie nieosiowe Pomijamy rotację kul v2’ v1=v0-vs v2=-vs vs vs v0x v0 m2 v1’

31 Zasada zachowania pęduZderzenia (elastyczne i nie elastyczne) pęd zawsze zachowany, w nieelastycznych straty energii. rozpady (cząstek elementarnych, pocisków, etc) czy można podnieść się za włosy? „odrzut” karabinu, wyskakiwaliście z lekkiej łódki? wiele innych.

32 Zderzenia nieelastyczne (ze stratą energii i zachowanym pędem)

33 Przekaz pędu jest skutkiem sił wewnętrznych.

34 Nie elastyczne zderzenia i rozpady cząstek:pęd zachowany energia kinetyczna nie zachowana.

35 Silnik odrzutowy: siła ciągu jest skutkiem wyrzucania masy gazu

36 Siły pozorne w układach nieinercjalnych (1)siła bezwładności przy przyspieszaniu, „nieważkość” przy swobodnym spadku, siła odśrodkowa (przyspieszenie dośrodkowe), siła Coriolisa, wahadło Foucault’a

37 Siły pozorne w układach nieinercjalnych (1)hamujący tramwaj (przyspieszenie liniowe) Na ciało o masie m musi działać realna siła, F=ma by mogło przyspieszać razem z tramwajem. pasażer nieświadomy faktu, ze tramwaj przyspiesza, jest przekonany, że działa na niego dodatkowa siła (bezwładności) Fb=-ma Uwaga na znak!!! a Fb =-ma F=ma

38 Siły pozorne w układach nieinercjalnych (2)winda przyspiesza (przyspieszenie liniowe) N=mg+ma Na ciało przyspieszające z, przyspieszeniem a musi działać realna siła wypadkowa F=ma. Na ciało w windzie przyspieszającej ku górze musi działać realna siła nacisku podłogi, N, która zrównoważy siłę ciężkości P=mg i dodatkowo spowoduje przyspieszenie ciała, tzn, pokona siłe F=ma. Dla pasażera nieświadomego przyspieszania windy siła bezwładności F=-ma jest siłą pozorną wynikającą z nieinercjalności układu obserwatora F=ma a Fb =-ma P=mg

39

40 Siły pozorne w układach nieinercjalnych (3)karuzela (przyspieszenie dośrodkowe) Fb =-ma Ciało w obracającym się układzie doznaje przyspieszenia dośrodkowego an=w2r. Aby ciało mogło przyspieszać musi działać na nie realna siła dośrodkowa Fn=man. Dla obserwatora związanego z obracającym się układem pojawia się odśrodkowa siła bezwładności F=-ma. an F=man

41

42 Co jest siłą realną co pozorną?Musi działać realna siła, fs, (Ziemia na opony), która zakrzywia tor samochodu. Kierowca też zakrzywia tor – fotel działa na niego siłą dośrodkową. Kierowca odczuwa działanie siły pozornej, która wciska go w fotel.

43 Jak liczyć siły pozorne?należy wybrać inercjalny układ odniesienia; zapisać w nim transformację, tzn.: ruch nowego, nieinercjalnego układu odniesienia, ruch ciała w tym nowym układzie; przyspieszenie w układzie inercjalnym określa siłę działającą na to ciało.

44 Transformacje (1) Galileusza - jednostajny ruch układów odniesienia)r’(t) z r(t) y’ R(t) x’ y Przyspieszenie nie zależy od wyboru inercjalnego układu odniesienia. x

45 Transformacje (2) ruch postępowy - przyspieszenie liniowe układu z’ zr’(t) z r(t) y’ R(t) x’ y obserwator w układzie primowanym obserwuje siłę bezwładności Fb= -mA. x

46 Transformacje w ruchu obrotowym (3)vrot =wr’ z’ r’(t) z r(t) y’ R(t) x’ y x

47 Transformacje (4) ruch obrotowy w vrot =wr’ z’ z y’ x’ y x r’(t) r(t)

48 Transformacje (5) ruch obrotowy zmiana predkości kątowej dw w a z’ y’r’(t) y’ x’

49 Transformacje (5) ruch obrotowy przyspieszenie Coriolisa w v’ a z’ y’poprzeczne do ruchu poprzeczne do w w v’ a z’ r’(t) y’ x’

50 Transformacje (5) ruch obrotowy przyspieszenie dośrodkowe w a z’ y’ x’poprzeczne do ruchu niezależne od prędkości w a z’ r’(t) y’ x’

51 Jaka jest prędkość?

52 Z zasady zachowania energii