1 5 Semejanzas Las transformaciones que mantienen la forma y las proporciones se llaman semejanzas. LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD

2 Construcción de figuras semejantesLa forma más sencilla es el método de la proyección. Fijamos un punto O. Trazamos rectas que pasen por O y por los vértices de la figura original. Los vértices de la nueva figura están alineados con O y con los vértices de la original, y sus lados serán paralelos a los de la figura original. SIGUIENTE

3 Teorema de Thales Teorema de ThalesComparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como teorema de Thales. Si tres o más rectas paralelas a, b y c son intersecadas por dos transversales r y s, y los segmentos de las rectas transversales determinados por las paralelas son proporcionales. SIGUIENTE

4 Teorema de Thales Ejemplo: Calcular la medida del segmento x.Ordenamos los datos en la proporción, según el teorema de Thales. SIGUIENTE

5 Semejanza de triángulosDos triángulos son semejantes cuando verifican las siguientes condiciones: Sus lados son proporcionales: Sus ángulos son iguales: SIGUIENTE

6 Criterios de semejanza de triángulosLos criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. SIGUIENTE

7 Criterios de semejanza de triángulosLos criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. SIGUIENTE

8 Criterios de semejanza de triángulosLos criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales. SIGUIENTE

9 Criterios de semejanza de triángulosLos criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales. TERCER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. SIGUIENTE

10 Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulosHallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm 3 cm SIGUIENTE

11 Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulosHallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm 3 cm Por Pitágoras: SIGUIENTE

12 Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulosHallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm 3 cm Por Pitágoras: Aplicando el teorema del cateto: cm 8 , 1 5 9 3 2 16 4    n a b m c SIGUIENTE

13 Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulosHallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm 3 cm Por Pitágoras: Aplicando el teorema del cateto: cm 8 , 1 5 9 3 2 16 4    n a b m c Aplicando el teorema de la altura: SIGUIENTE

14 Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulosCalcular la altura de la torre. Los triángulos siguientes son semejantes por ser triángulos rectángulos y tener un ángulo común. Por lo tanto, la altura de la torre es 8,12 metros.

15 Semejanza de áreas y volúmenesSi dos figuras planas son semejantes, con razón de semejanza r, sus áreas serán proporcionales y la razón de la proporción es r2. SIGUIENTE

16 Semejanza de áreas y volúmenesSi dos cuerpos son semejantes, con razón de semejanza r, sus volúmenes serán proporcionales y la razón de la proporción es r3.