1 7 – 9 N OVIEMBRE, 2012 – U NIVERSIDAD N ACIONAL DE C OSTA R ICA - H EREDIA I NICIACIÓN AL E STUDIO DEL Á LGEBRA E SCOLAR EN S ECUNDARIA Trabajo realizado en el marco del proyecto ED-2927 IREM-SJ-UCR: Investigación y Formación Continua en Enseñanza de la Matemática, de la Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica. H ELEN A LFARO V ÍQUEZ, Escuela de Matemática UCR. B ORIS B ALLET, Liceo Franco Costarricense. A LEJANDRO C ERDAS Z ÚÑIGA, CTP Cedes Don Bosco. A DRIANA V ENEGAS H ERNÁNDEZ, CTP Cedes Don Bosco.

2 E LEMENTOS DEL M ARCO T EÓRICO E LEMENTOS DEL M ARCO M ETODOLÓGICO R ESULTADOS C ONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES     Álgebra escolar Algunas orientaciones desde la TSD Procedimientos del diseño de la lección de estudio Estrategias de análisis de la información Diseño de la lección Análisis de la implementación

3 1. E LEMENTOS DEL M ARCO T EÓRICO Iniciar a los estudiantes al Álgebra escolar GENERALIZACIÓNvía Alberti (2011); Sessa (2005); Alonso, Barbero, Fuentes, Azcárate, Dozagarat, Gutiérrez et al. (1993); Soccas, Camacho, Palarea y Hernández (1996)

4 V ENTAJAS  Unificar y reconocer tipos de objetos y de problemas  Mecanismo de validación de conjeturas  La posibilidad de   llegar a la solución de un problema por medio de diferentes procedimientos   que la respuesta a un problema sea una fórmula   que un problema arroje dos soluciones ‘diferentes’ (Sessa, 2005) 1. E LEMENTOS DEL M ARCO T EÓRICO Iniciar a los estudiantes al Álgebra escolar GENERALIZACIÓNvía M OMENTOS VER VER: hallar lo que se conserva DESCRIBIR DESCRIBIR: regularidades en lenguaje natural ESCRIBIR ESCRIBIR: representación simbólica (Alonso et al., 2003)

5 1. E LEMENTOS DEL M ARCO T EÓRICO ALGUNAS ORIENTACIONES DESDE LA TSD las relaciones que pueden establecerse entre estudiantes en torno a una situación problemática y el docente con sus estudiantes sobre esa situación. Guy Brousseau Sadonsky (2005) E NSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA un proceso centrado en la producción de los conocimientos matemáticos desde el ámbito escolar.

6 1. E LEMENTOS DEL M ARCO T EÓRICO ALGUNAS ORIENTACIONES DESDE LA TSD Guy Brousseau T i p o s d e i n t e r a c c i o n e s Entre estudiantes sobre una problemática Entre estudiantes y docentes respecto a una problemática  La interacción del alumno con una problemática que ofrece resistencias y retroacción que operan sobre los conocimientos matemáticos puestos en juego. Situación adidáctica (contrato potencialmente adidácticos) Condiciones inherentes a una situación adidáctica a) que el sujeto pueda elegir entre varias estrategias entendiendo que cuando se elige una opción, rechaza en simultáneo otras alternativas. b) que la situación tenga finalidad, identificándose independientemente del conocimiento a producir.

7 1. E LEMENTOS DEL M ARCO T EÓRICO ALGUNAS ORIENTACIONES DESDE LA TSD Guy Brousseau T i p o s d e i n t e r a c c i o n e s Entre estudiantes sobre una problemática Entre estudiantes y docentes respecto a una problemática Son las relaciones que sostienen el docente y el (los) alumno(s) a propósito del objeto matemático, donde el docente va comunicando, explícitamente, implícitamente, a través de palabras, gestos, actitudes, aspectos vinculados al trabajo en clase con respecto a cierto objeto matemático, donde se sugieren o se infieren modos de hacer, se comunican o se interpretan normas matemáticas, lo que se conoce como el contrato didáctico CONTRATO DIDÁCTICO

8  Que el maestro plante situaciones en las que los alumnos evoque, formulen, racionalicen y justifiquen sus proposiciones.  Que el Profesor asigne a los alumnos una gran parte de la responsabilidad del conocimiento  Que los estudiantes aceptan el compromiso de responder a las preguntas y traten de realizar las tareas asignadas por el profesor. 1. E LEMENTOS DEL M ARCO T EÓRICO ALGUNAS ORIENTACIONES DESDE LA TSD Guy Brousseau T i p o s d e i n t e r a c c i o n e s Entre estudiantes sobre una problemática Entre estudiantes y docentes respecto a una problemática CLÁUSULAS DE CONTRATOS POTENCIALMENTE ADIDÁCTICOS

9 1. E LEMENTOS DEL M ARCO T EÓRICO ALGUNAS ORIENTACIONES DESDE LA TSD Guy Brousseau T i p o s d e i n t e r a c c i o n e s Entre estudiantes sobre una problemática Entre estudiantes y docentes respecto a una problemática  La interacción del alumno con una problemática que ofrece resistencias y retroacción que operan sobre los conocimientos matemáticos puestos en juego. Situación adidáctica (contrato potencialmente adidácticos) Condiciones inherentes a una situación adidáctica a) que el sujeto pueda elegir entre varias estrategias entendiendo que cuando se elige una opción, rechaza en simultáneo otras alternativas. b) que la situación tenga finalidad, identificándose independientemente del conocimiento a producir.

10 2. E LEMENTOS DEL M ARCO M ETODOLÓGICO Procedimientos del diseño de la lección de estudio Identificar conocimientos nuevos y habilidades a promover Establecer conexiones entre conocimientos previos – nuevos – posteriores Indagar bibliografía sobre el tema Analizar y seleccionar sugerencias de la literatura Enunciar y analizar errores frecuentes (experiencia docente) E TAPA 4 E TAPA 3 E TAPA 2 E TAPA 1 E TAPA 5 Construir la situación problema que permita Construir el diseño de la lección

11 2. E LEMENTOS DEL M ARCO M ETODOLÓGICO Procedimientos del diseño de la lección de estudio Identificar conocimientos nuevos y habilidades a promover Establecer conexiones entre conocimientos previos – nuevos – posteriores Enunciar y analizar errores frecuentes (experiencia docente) E TAPA 4 E TAPA 3 E TAPA 2 E TAPA 1 E TAPA 5 Construir la situación problema que permita Construir el diseño de la lección Indagar bibliografía sobre el tema Analizar y seleccionar sugerencias de la literatura

12 2. E LEMENTOS DEL M ARCO M ETODOLÓGICO Procedimientos del diseño de la lección de estudio Identificar conocimientos nuevos y habilidades a promover Establecer conexiones entre conocimientos previos – nuevos – posteriores Enunciar y analizar errores frecuentes (experiencia docente) E TAPA 4 E TAPA 3 E TAPA 2 E TAPA 1 E TAPA 5 Construir la situación problema que permita Construir el diseño de la lección Variables Expresiones algebraicas Operatoria con expresiones algebraicas Indagar bibliografía sobre el tema Analizar y seleccionar sugerencias de la literatura

13 2. E LEMENTOS DEL M ARCO M ETODOLÓGICO Procedimientos del diseño de la lección de estudio Identificar conocimientos nuevos y habilidades a promover Establecer conexiones entre conocimientos previos – nuevos – posteriores Enunciar y analizar errores frecuentes (experiencia docente) E TAPA 4 E TAPA 3 E TAPA 2 E TAPA 1 E TAPA 5 Construir la situación problema que permita Construir el diseño de la lección Elegir entre distintos procedimientos Validar las elecciones Comunicar los resultados Indagar bibliografía sobre el tema Analizar y seleccionar sugerencias de la literatura

14 2. E LEMENTOS DEL M ARCO M ETODOLÓGICO Procedimientos del diseño de la lección de estudio Identificar conocimientos nuevos y habilidades a promover Establecer conexiones entre conocimientos previos – nuevos – posteriores Enunciar y analizar errores frecuentes (experiencia docente) E TAPA 4 E TAPA 3 E TAPA 2 E TAPA 1 E TAPA 5 Construir la situación problema que permita Construir el diseño de la lección Considerar el contexto de la clase Indagar bibliografía sobre el tema Analizar y seleccionar sugerencias de la literatura

15 2. E LEMENTOS DEL M ARCO M ETODOLÓGICO Análisis de la Información Basado en tres criterios de idoneidad didáctica propuestos por Godino (2011) Grado de implementación de los significados institucionalizados respecto a uno de referencia. Se evidencia en I NTERACCIONAL E PISTÉMICO  Nivel en que las maneras de interacción permiten identificar y resolver conflictos de significado  Fomenta la autonomía y la evaluación formativa Disponibilidad y pertinencia de los recursos materiales y temporales Situaciones problema-lenguaje- definiciones-conceptos-procedimientos- argumentos - relaciones M EDIACIONAL

16 2. E LEMENTOS DEL M ARCO M ETODOLÓGICO Análisis de la Información Basado en tres criterios de idoneidad didáctica propuestos por Godino (2011) Grado de implementación de los significados institucionalizados respecto a uno de referencia. Se evidencia en I NTERACCIONAL E PISTÉMICO  Nivel en que la maneras de interacción permiten identificar y resolver conflictos de significado  Fomenta la autonomía y la evaluación formativa Disponibilidad y pertinencia de los recursos materiales y temporales Situaciones problema-lenguaje- definiciones-conceptos-procedimientos- argumentos - relaciones M EDIACIONAL

17 2. E LEMENTOS DEL M ARCO M ETODOLÓGICO Análisis de la Información Basado en tres criterios de idoneidad didáctica propuestos por Godino (2011) Grado de implementación de los significados institucionalizados respecto a uno de referencia. Se evidencia en I NTERACCIONAL E PISTÉMICO  Nivel en que la maneras de interacción permiten identificar y resolver conflictos de significado  Fomenta la autonomía y la evaluación formativa Disponibilidad y pertinencia de los recursos materiales y temporales Situaciones problema-lenguaje- definiciones-conceptos-procedimientos- argumentos - relaciones M EDIACIONAL

18 3. R ESULTADOS -D ISEÑO  Presentación de la actividad y bloques del mural Se necesita construir un muro de contención en uno de los terrenos del colegio, ya que ahí se edificarán otras instalaciones. Cada nivel del colegio, decorará ese muro con imágenes de Don Bosco. A los sétimos les corresponde el primer nivel, Episodio 1Episodio 2Episodio 3Episodio 4

19 Se necesita construir un muro de contención en uno de los terrenos del colegio, ya que ahí se edificarán otras instalaciones. Cada nivel del colegio, decorará ese muro con imágenes de Don Bosco. A los sétimos les corresponde el primer nivel, a los octavos el segundo, etc. 4  Presentación de la actividad y bloques del mural Episodio 1Episodio 2Episodio 3Episodio 4 3. R ESULTADOS -D ISEÑO

20  Modificaciones al diseño original del mural Si el largo del rectángulo oscuro tiene seis imágenes ¿cuántas imágenes claras se necesitan para completar el nivel correspondiente? Episodio 1Episodio 2Episodio 3Episodio 4 Los estudiantes deben generar procedimientos y soluciones para responder las preguntas. 3. R ESULTADOS -D ISEÑO Escriba una frase que explique la forma en que se calculan el número de imágenes claras que se requieren para cada nivel. Se genera la necesidad de comunicar la información de forma escrita utilizando lenguaje natural.

21  Forma en mensaje de texto ¿Cuál es el mensaje más corto que se puede enviar? Episodio 3Episodio 1Episodio 2Episodio 3Episodio 4 Surge la necesidad de emplear el algún tipo de simbología para expresar la generalización de la forma. 3. R ESULTADOS -D ISEÑO

22  Cierre de la actividad Se explicita el patrón que mostraban las secuencias de la figuras, evidenciando los aspectos que se utilizaron para plantear la parte simbólica. Episodio 3Episodio 1Episodio 2Episodio 3Episodio 4 Se resalta la utilidad de la simbología para abreviar información y la importancia de acordar el significado de los símbolos. Se presenta el álgebra como la rama de las matemáticas que estudia las cantidades y algunos métodos para la resolución de problemas. 3. R ESULTADOS -D ISEÑO

23 La manera de presentar el problema favoreció la motivación de los estudiantes. Episodio 3 El debate realizado benefició la comunicación, la interacción y la confrontación de ideas. Las actividades requirieron más tiempo del previsto. 3. R ESULTADOS -A NÁLISIS  Presentación de la actividad y bloques del mural

24 3. R ESULTADOS -A NÁLISIS  Modificaciones al diseño original del mural Si el largo del rectángulo oscuro tiene seis imágenes ¿cuántas imágenes claras se necesitan para completar el nivel correspondiente?

25 3. R ESULTADOS -A NÁLISIS  Modificaciones al diseño original del mural Si el largo del rectángulo oscuro tiene seis imágenes ¿cuántas imágenes claras se necesitan para completar el nivel correspondiente?

26 3. R ESULTADOS -A NÁLISIS  Modificaciones al diseño original del mural Escriba una frase que explique la forma en que se calculan el número de imágenes claras que se requieren para cada nivel.

27 La herramienta gráfica sigue siendo el apoyo para responder las preguntas. Episodio 3 Algunos estudiantes no tenían claro el concepto de largo y ancho, incluso construían cuadrados. 3. R ESULTADOS -A NÁLISIS  Modificaciones al diseño original del mural El docente le validó la respuesta a un grupo, los estudiantes cercanos escucharon, y solo repitieron ante el cuestionamiento del profesor. La mayoría de estudiantes asumieron la responsabilidad de resolver el problema. Se mencionó varias veces que debían buscar un patrón, sin embargo, no tenían claro qué era lo que debían encontrar. Las discusiones favorecieron el diálogo y la argumentación.

28 3. R ESULTADOS -A NÁLISIS  Forma en mensaje de texto La situación tenía diferentes interpretaciones correctas Utilizaron el cálculo de perímetros. Además utilizaron diferentes abreviaciones para referirse a la variable. Descubrieron que habían varios caminos para llegar a las respuestas. Los estudiantes debieron utilizar abreviaciones para los nombres de los lados y construir una especie de fórmula empleando un lenguaje simbólico.

29 Las formas dadas por los estudiantes se acercan mucho a los resultados esperados. Episodio 3 3. R ESULTADOS -A NÁLISIS  Cierre de la Actividad No se hizo la referencia del uso de las letras para representar cantidades desconocidas, por motivos de tiempo. Tampoco se resaltó la utilidad de las fórmulas para modelar situaciones de la vida cotidiana.

30 4. C ONCLUSIONES Y R ECOMENDACIONES  Se logro que algunos estudiantes tomaran a cargo un problema matemático y comunicaran oralmente sus explicaciones sobre un procedimiento o un resultado.  Se abordó intuitivamente el concepto de variable: se evidenciaron las fases de evolución a través de la historia.  Se promueve el trabajo en equipo, debido a que se trabajó con un grupo numeroso  Al entregarse el material para trabajar fue entregado uno por grupo, algunos estudiantes asumirán la responsabilidad del problema, mientras que otros observarán o prestarán atención a otra cosa lo cual causó que el estudiante líder de cada subgrupo se apropiara de éste e impidiera que todos pudieran observar y trabajar.  Debido a que ni el docente ni los estudiantes están acostumbrados a este tipo de actividades, la clase no tuvo la fluidez requerida, por lo que no se pudieron hacer las conclusiones correspondientes y en algunas ocasiones, el nivel de devolución esperado. CONCLUSIONES

31 4. C ONCLUSIONES Y R ECOMENDACIONES  Debido a que ni el docente ni los estudiantes están acostumbrados a este tipo de actividades, la clase no tuvo la fluidez requerida, por lo que no se pudieron hacer las conclusiones correspondientes y en algunas ocasiones, el nivel de devolución esperado.  En futuras aplicaciones sería recomendable entregar un material a cada estudiante. se recomienda variar las preguntas, ya que al trabajar con más grupos de menos integrantes y distribuirlos en la clase, los que estén cercanos no tengan el mismo problema a cargo. RECOMENDACIONES