1 AE-249 AEROELASTICIDADE IRoberto GIL Annes da Silva R: ITA/IEA-A

2 Conceitos Introdutórios sobre Dinâmica de EstruturasDinâmica das Estruturas: Estudo da física associada ao equilibro de forças de inércia, amortecimento e de rigidez presentes em um sistema dinâmico; Equações de movimento relacionam forças proporcionais à acelerações, amortecimento e rigidez dependentes de acelerações, velocidade e deslocamentos respectivamente; Exemplo simplificado: sistema dinâmico com dois graus de liberdade – seção de asa conhecida como “seção típica”; Derivação da equações de movimento Equação de equilíbrio dinâmico Modos e freqüências naturais de vibração

3 Modelo dinâmico do seção típica com 2 GDLDerivação das equações de movimento empregando métodos de energia (Equações de Lagrange) É um modelo clássico para dar início a compreensão dos fenômenos aeroelásticos. Assume-se que as molas são lineares e continuamos assumindo pequenas perturbações.

4 Seção típica com 2 GDL a) Convenção de sinais por conveniência:O “plunge” é positivo para baixo. b) O sistema de referência possui origem no centro elástico (Xce = 0) h(t) = grau de liberdade em “plunge” (flexão) q(t) = grau de liberdade em “pitch” (torção) Medidos a partir da posição de equilíbrio estático

5 Expressões de energia Equações de Lagrangez(t) é o deslocamento para baixo em uma posição x localizada após ao centro elástico Energia cinética Energia potencial Equações de Lagrange

6 Iq momento de inércia da seção típica, composto por:Energia Cinética Xq =XCG posição do centro de massa com relação ao sistema de coordenadas da seção. No caso representa um desbalanceamento com relação ao eixo elástico Sq é o momento estático, ou desbalanceamento estático m é a massa total da seção típica Iq momento de inércia da seção típica, composto por:

7 Equações do movimento Equações de movimento na forma matricial. Note que o acoplamento ocorre devido a excentricidade xq

8 Parâmetros dinâmicos Definições: Raio de giração com relação ao cg

9 Solução elementar Substituímos no sistema acoplado: Divide-se pelotermo exponencial

10 Determinante da matriz

11 Equação CaracterísticaPERGUNTA: O QUE ACONTECE QUANDO O CG COINCIDE COM O CE? Parâmetros de freqüência desacoplados :

12 Frequências naturais Finalmente, temos a expressão para s :Cuidado, as frequências naturais são diferentes das frequências associadas a cada grau de liberdade do sistema desacoplado!

13 Movimento Harmônico SimplesAssume-se MHS -> O que resulta em:

14 Equações do Movimento: Sistema LivreNote que o sistema a dois graus de liberdade é um sistema acoplado dinamicamente, ou seja nas diagonais da matriz de massa temos os momentos estáticos; No domínio da frequência, assumindo MHS:

15 Modos de Movimento Um sistema de múltiplos graus de liberdade possui múltiplos modos de movimento ou modos naturais. Modo de movimento (naturais) está associada a uma frequência natural (ou ressonante) com forma modal bem definida. Autovetores – outra denominação para os modos de forma – fornece informação sobre os pontos nodais ou linhas nodais; A partir de experimentos é possível obter-se linhas nodais bem como as correspondentes frequências naturais para se comparar com as análises Problema de autovalor associado: autovalores – frequências naturais; autovetores – modos naturais de vibração.

16 Excitação harmônica próxima a uma frequência naturalAssumindo a resposta Harmônica tem-se:

17 Excitação harmônica próxima a uma frequência naturalPróximo ou mesmo na frequência de ressonância, a amplitude do movimento tende ao infinito (D = 0), na condição onde não há amortecimento

18 Padrão de movimento na ressonânciaDo problema de autovalor, obtêm-se as frequências naturais e os modos de vibração, os quais na realidade, são padrões de movimento que a seção típica executa quando excitada em uma com força externa harmônica de frequência coincidente a uma frequência natural do sistema (1) (2) autovalores autovetores

19 Modos de forma do sistemaQuanto q é unitário, quanto é h?

20 Exemplo

21 Exemplo referência flexão referência torção

22 Modo de vibrar fazendo h/b=1 obtêm-se o quanto em arfagem q aparece no modo predominante de flexão 1 unidade de desloc.

23 Frequência e modo de vibração em torção1 radiano Ponto nodal

24 O que é o ponto nodal? Ponto na estrutura onde não há deslocamento, velocidade ou aceleração quando a estrutura está vibrando em uma frequência natural. x

25 Os pontos nodais dependem dos autovetoresx Dividindo por b Primeiro modo:

26 Ponto nodal para a segunda frequência

27 Introdução à Aeroelasticidade DinâmicaJunkers Ju-90 Incidente de flutter em 1938 – várias lições aprendidas

28 Introdução a Aeroelasticidade DinâmicaPrimeiro exemplo de fenômeno aeroelástico dinâmico a ser abordado: Flutter é uma auto-excitação de dois ou mais modos de vibração de um sistema, devidamente alterada e realimentada pelo escoamento de um fluido. Pode vir a causar oscilações de amplitude que crescem exponencialmente levando a estrutura a uma falha dinâmica Modelo de estudo simplificado Seção típica com 2 graus de liberdade Aerodinâmica simplificada Compreensão do fenômeno

29 Seção Típica com 2 GDL a) Convenção de sinais por conveniência:O “plunge” é positivo para baixo. b) O sistema de referência possui origem no centro elástico (Xce = 0) h(t) = grau de liberdade em “plunge” (flexão) q(t) = grau de liberdade em “pitch” (torção) Medidos a partir da posição de equilíbrio estático

30 Aprox. Aerodinâmica Quase-EstacionáriaA proposta é estudar o problema da seção típica com dois graus de liberdade, considerando a teoria aerodinâmica quase-estacionária; Esta teoria pressupõem que as cargas aerodinâmicas são proporcionais aos deslocamentos, velocidades e acelerações associadas a condições de contorno estabelecidas sobre o corpo sujeito a um escoamento.

31 Flutter Quase-EstacionárioFlutter é uma instabilidade dinâmica de natureza oscilatória e auto excitada que ocorre devido a interação entre dois modos de movimento distintos e um fornecimento de energia externo (carregamento aerodinâmico). Aerodinâmica quase-estacionária desconsidera efeitos associados à influência do campo de escoamento aerodinâmico no entorno do aerofólio que é perturbado pelo movimento do corpo, e pode interagir com este; Ou seja, o carregamento neste primeiro modelo é função exclusivamente de deslocamentos e velocidades; Ângulos de ataque do corpo (ou seção típica)  primeira aproximação assume que a sustentação e o momento é função de uma ângulo de ataque associado a variação em q mais a velocidade de translação (dh/dt) dividida pela velocidade do escoamento não perturbado V.

32 (ref. Centro aerodinâmico)Sustentação e Momento e = distância entre o ponto a ¼ da corda e o centro elástico CE (ref. Centro aerodinâmico) V L (ref. eixo elástico)

33 Sistema homogêneo A inclusão do carregamento aerodinâmico é feita adicionando ao lado direito a sustentação L e o momento L.e

34 Inclusão do carregamento aerodinâmicoO sinal de L é trocado pois uma sustentação positiva age para cima enquanto que h é positivo para baixo Dividimos por m, massa do aerofólio: , rq = raio de giração =

35 Substituindo o carregamentoTemos: Equação de vibração livre o aerofólio sujeito a um escoamento.

36 Problema estático: Derivadas temporais nulas:Recuperamos o problema estático de onde podemos calcular a velocidade de divergência -> verificar!

37 Adimensionalizando...

38 Carregamento AerodinâmicoFazemos a substituição das relações para a sustentação e o momento, como função dos desloca- mentos apenas. Aproximação de Pines

39 Teoria de Pines (1958) É uma maneira de chegarmos a solução do problema de estabilidade aeroelástica, através da solução de um sistema de equação homogêneo com variação da rigidez aerodinâmica somente. Ou seja, desconsidera-se os efeitos aerodinâmicos associados às velocidades de translação e rotação do aerofólio, uma vez que a sua inclusão implicaria em um amortecimento aerodinâmico o qual impediria tratar os sistema como um problema de vibração livre não amortecida. É uma forma conveniente e bastante simplificada para identificar a condição de flutter com ferramenta aerodinâmica simplificada.

40 Vibração livre com escoamento

41 Solução assumindo MHS Dividindo por eiwt

42 Associando a parâmetros de similaridade….

43 Definindo novos parâmetrosm = “massa aparente” bw=[velocidade] Velocidade reduzida

44 Parâmetros adimensionaisEstes parâmetros são úteis para caracterizarmos o fenômeno Velocidade Reduzida

45 Adimensionalizando por b

46 Para surgir a massa aparente:

47 Sistema aeroelástico No domínio da frequência:E para estudar a estabilidade deste sistema, posso usar um critério de estabilidade.

48 Cálculo do DeterminantePara calcularmos a estabilidade, ou seja o flutter, busca-se a Equação característica para obter as suas raízes. 2b Distância adimensional entre o ca e o cg. cg ca Centro elástico

49 Equação Quártica: Onde os coeficientes A, B e C são dados por:-> Raio de giração ref. cg A solução para a eq. característica possui a forma:

50 Ocorrência de flutter Com o acréscimo na velocidade reduzida, o termos dentro do radical decresce, torna-se negativo implicando em raízes complexas conjugadas; Raízes complexas, indicam que o exponencial onde s é positivo indica um movimento divergente! Na situação quando B2 = 4AC, temos a velocidade reduzida correspondente a condição de flutter.

51 Condições nominais Exemplo de um aerofólio com as seguintes características: Xq = 0.10 , e = 0.30, R =0.30 ,wq = 25 rad/s, m = 20.0

52 Efeitos dos parâmetros no flutterVariação de posição do CG, CE e CA. A posição do CG em relação ao CE é dada por xq . A posição do CA em relação ao CE é dada por “e”. E a posição do CA ao CG é denotada por “d”. Pode-se analisar a dinâmica da seção típica sujeita à variações paramétricas descritas em termos de posição do CA e do CG com relação ao CE. Programa em MATLAB (pines2gdl.m) ->

53 Método de Pines codificado:close all clear all % % 2 dof system % xth ; x _ theta % rth2 ; ( r _theta)^2 % R2 ; (omega h /omega alpha)^2 % e -> distncia do CE ao CA - negativa atras do CE, positiva a frente do CE b=3.0; S = 1.0; wth=25.0; xth =0.10; e= 0.30; cla=2*pi; d=e+xth; R2 =(0.3)^2; rth2=(0.5)^2; mu =20.0 ; %mu =30.0 ; %mu =50.0 ; for kk=1:400; vel(:,kk)=kk*0.01; % A=rth2-xth^2; B=rth2*(1+R2)-(vel(:,kk)^2)*(d*cla)/(pi*mu); C=R2*(rth2-(vel(:,kk)^2)*(e*cla)/(pi*mu)); rst1(:,kk)=sqrt((B+sqrt(B^2-4*A*C))/(2*A)); rst2(:,kk)=sqrt((B-sqrt(B^2-4*A*C))/(2*A)); end figure(1); plot(vel(1,:),real(rst1(1,:)),'.r',vel(1,:), real(rst2(1,:)),'.b'), axis([ ]),xlabel('Reduced Velocity'), ylabel('Frequency Ratio (Real)'),grid; figure(2); plot(vel(1,:),imag(rst1(1,:)),'.r',vel(1,:), imag(rst2(1,:)),'.b'), axis([ ]),xlabel('Reduced Velocity'), ylabel('Frequency Ratio (Imag)'),grid;

54 A causa do flutter O flutter clássico somente ocorre quando a interação de dois modos; Vamos supor que existam dois movimentos tais como os associados aos graus de liberdade da seção típica: h e a (ou q como preferir). Ambos obedecem a um movimento harmônico simples, porém apresentam uma defasagem de um ângulo f. Defasagem entre movimentos significa que em um determinado instante de tempo um deles atinge o seu máximo enquanto o outro não. Esta diferença de fase é essencial para o flutter.

55 O mecanismo do flutter Assume-se que os movimentos de arfagem e vertical são formados de forma que tenham amplitude e fase constantes Cálculo do trabalho realizado pelos esforços aerodinâmicos agindo no CA, durante um ciclo de duração Tp. Lembre que: O trabalho realizado pelo escoamento é representado pela força que que gera um carregamento (sustentação) a qual é aplicada no CA. O deslocamento resultante neste ponto é dado por:

56 Entendendo o Mecanismo de FlutterAssume-se um movimento defasado como: Vamos calcular o trabalho realizado pelo aerofólio em um ciclo de movimento:

57 Trabalho realizado O trabalho realizado é representado pela seguinte relação: Como: e e

58 Trabalho por ciclo: Temos:

59 Trabalho por ciclo Se 0 < f < 180o , Waero < 0  o aerofólio transfere energia para o escoamento ! Se -180o < f < 0, sin f < 0, o aerofólio absorve energia do escoamento, Waero > 0, a tendência é aumentar a amplitude do movimento  Flutter ! Quando f = 180o tem-se o ponto de estabilidade neutra, associado ao limite da condição onde o aerofólio começa a extrair energia do escoamento.

60 Acoplamento dos modos Os movimentos de “pitch” e “plunge” estão defasados em 180o, o que é representado na solução de flutter pelo par de raízes complexas conjugadas que surgem na condição de flutter, onde ocorre o acoplamento destes dois graus de liberdade. Observe que esta interpretação é válida apenas para o caso onde a defasagem do carregamento com relação ao movimento se dá através da rigidez aerodinâmica. Esta é a idealização imposta por Pines.

61 Defasagem entre os movimentosFisicamente o que ocorre no caso de um modelo quase-estacionário onde se considera a contribuição da velocidade de flexão do aerofólio, este ângulo de defasagem pode ser no máximo f = -90º. velocidade vel. em plunge plunge V + Waero +Waero velocidade velocidade f negativo indica flutter! em plunge em plunge

62 Entendendo o movimento ...Analisando o movimento na amplitude mais negativa do movimento em plunge, o ângulo de arfagem é nulo (defasagem). A medida que a velocidade em plunge aumenta, o ângulo em arfagem decresce e a sustentação age na direção do movimento em plunge que aumenta. Quando o deslocamento em plunge é nulo, o ângulo em pitch é mais negativo. Aumentando o plunge, o pitch decresce porém sendo ainda negativo, a sustentação continua agindo na direção do movimento em plunge. Ao atingir o máximo deslocamento, a velocidade é nula, mas a partir deste ponto o ângulo de pitch aumenta (fica mais positivo) promovendo uma sustentação na direção do movimento restaurador em plunge, ou seja, trabalho positivo é realizado durante todo o ciclo, na condição em que a defasagem do movimento é em um ângulo onde sin f < 0.

63 Aerodinâmica Não Estacionária em Aeroelasticidade

64 Aerodinâmica não linear12/18/98 Aerodinâmica não linear Navier-Stokes instável q Euler estável Potencial Completo transonic flutter “dip” Transônica peq. Perturbações. TSD Linearizada 1.0 Mach TSD clássica (alta frequência) “Lifting Surface” (Linear, sub-, supersônico) Tipicamente são necessários termos não lineares para determinar transonic flutter “dip”. 61

65 AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIADas equações de Navier-Stokes para a equação potencial linearizada: Escoamentos aerodinâmicos não estacionários são aqueles que ocorrem ao redor de corpos que se movem no tempo, induzindo também um movimento do fluido. Estes movimentos podem ser decompostos como em uma parcela estacionária e uma não estacionaria. A primeira ocorre em torno da forma aerodinâmica do corpo, enquanto que a segunda podem ser consideradas como pequenos movimentos ao redor da condição de estado estacionário, ex., um aerofólio com a corda alinhada com um escoamento não perturbado, oscilando a pequenos movimentos em arfagem.

66 O modelo matemático geralO modelo matemático que descreve o escoamento de um fluido contínuo, considerando a viscosidade, compressibilidade e admitindo condução de calor, em um contexto não estacionário é representado pelas as equações de Navier-Stokes. Estas equações representam o comportamento de um fluido a através da derivada substancial das grandezas que caracterizam o escoamento, tais como da massa, velocidade e sua energia. A derivada substancial representa a variação de uma determinada propriedade de um elemento de fluido no tempo simultaneamente com a variação de sua posição no espaço. A derivada substancial é fisicamente diferente da derivada da propriedade no tempo na forma convencional, pois esta última derivada não leva em conta mudança de posição dos elementos de fluido no espaço. As equações de Navier-Stokes são apresentadas a seguir:

67 Relações constitutivasDesta forma faz-se necessário usar relações constitutivas para resolver o problema. Estas relações constitutivas são para a pressão: onde, ei é a energia interna, T a temperatura e Cv a calor específico volume constante. A entalpia é relacionada a estas grandezas por: As tensões viscosas e o fluxo de calor são dados por:

68 Equações de Euler Prandtl em 1904 concluiu que para número de Reynolds suficientemente grandes, os efeitos importantes relacionados à viscosidade permaneciam confinados em uma camada fina junto ao corpo, ou seja, na camada limite. Esta hipótese é válida para casos onde o comprimento característico dos corpo é bem maior que a espessura desta camada. Desta forma as equações da Navier-Stokes podem ser representadas por uma forma mais simples, onde os efeitos de viscosidade podem ser desconsiderados: Esta forma é conhecida como as equações de Euler. Os termos de tensões viscosas e de fluxo de calor foram desconsiderados, uma vez que a condutividade térmica é uma função da viscosidade.

69 Modelo Isentrópico Assumindo a hipótese que o escoamento é isentrópico, isto é reversível e adiabático, pode-se resolver o sistema de equações que representa este tipo de escoamento apenas considerando as conservação da massa e da quantidade de movimento, mas uma relação entre a pressão e a densidade dada pela cadeia isentrópica: onde p0 e r0 são valores de referência para a pressão e densidade respectivamente. Fluido pode ser considerado barotrópico (densidade é função apenas da pressão ou de uma constante), e o sistema de equações agora possui cinco equações escalares e cinco incógnitas, que são as três componentes de velocidade u, v, w, a densidade e a pressão.

70 Escoamento Potencial Assume que o escoamento é irrotacional (Teorema de Crocco) Escoamento irrotacional é aquele onde as partículas do fluido não rotacionam em torno de um eixo. A relação matemática -> rotacional do campo de velocidades. Ou seja : Para uma determinada função escalar f, tem-se, que a igualdade: é verdadeira. conclui-se portanto que existe esta função escalar, cujo gradiente representa um campo de velocidades, ou seja, E esta função é conhecida como o potencial de velocidades. Ver Karamcheti, p 244

71 Potencial de velocidadesO potencial de velocidades f é uma função das coordenadas espaciais, onde cada uma das componentes de velocidade do vetor velocidade total são as derivadas do potencial em cada uma das direções do sistemas de coordenadas: Com a definição do potencial de velocidade pode-se reduzir ainda mais o problema de cinco equações a cinco incógnitas para três equações e três incógnitas.

72 Equação de Kelvin Conhecida também como Bernoulli não estacionária.É empregada na dedução de uma equação função do potencial de velocidades. Momentum na forma vetorial: substituindo : temos:

73 Equação do Potencial CompletoPara se obter uma equação única em termos do potencial de velocidade, vamos recorrer também a uma transformação da equação da continuidade: mais o que se obtém da equação de Kelvin e a relação isentrópica que define a velocidade do som: para finalmente obter:

74 Linearização da Equação do Potencial Completo IProcesso de linearização: assume-se que existe uma solução de estado estacionário assumindo que as derivadas temporais são nulas. O potencial de velocidade, assim como as pressões e densidade podem ser representados em um contexto de pequenas perturbações em torno de um escoamento não perturbado alinhado com a direção x como:

75 Linearização da Equação do Potencial Completo IIA linearização é realizada com relação às condições de contorno de escoamento não perturbado. Substituindo na equação do potencial completo o potencial de perturbação: e assumindo uma condição de velocidade do som constante, tem-se em termos do potencial de perturbação , a equação do potencial completo:

76 Equação do Potencial Aerodinâmico LinearizadoExcluindo os termos não lineares em termos do potencial de perturbação, a equação do potencial completo é reescrita como: Esta equação é conhecida como a equação do potencial linearizado a pequenas perturbações. velocidade do som local -> velocidade do som do escoamento não perturbado. (O Mach também o será) Escrevendo esta equação em termos do número de Mach do escoamento não perturbado, tem-se

77 Condições de contorno linearizadasUma relação matemática que permite estabelecer uma condição de contorno também pode ser linearizada da mesma maneira que foi linearizada a equação do potencial completo. Ou seja admite-se que a linearização é feita a partir de uma condição de escoamento não perturbando. Cabe lembrar que esta restrição limita a aplicação a corpos esbeltos ou superfícies de sustentação finas. Para o caso de uma superfície de sustentação fina, assume-se que a superfície da asa pode ser descrita por uma função dada por: Esta função pode ser decomposta em duas parcelas independentes, a espessura ht e a deformação do plano médio da superfície hm, normalmente designado como plano z=0.

78 Condições de contorno linearizadasConsiderando a linearização a partir do escoamento não perturbado o vetor velocidade é dado por: Denotando a soma da parcela referente a espessura com a deformação do plano médio da superfície de sustentação como h, tem-se, ao aplicar na relação da condição de contorno:

79 Condições de contorno linearizadasEliminando os termos não lineares da relação anterior, tem-se a forma final para a condição de contorno linearizada: Pode-se notar que as componentes de h podem ser tratadas independentemente. Este fato é importante quando se considera o problema de resposta dinâmica da superfície de sustentação. Assume-se que o efeito de espessura é independente to tempo (o perfil de uma asa normalmente não se deforma), ou seja:

80 Condições de contorno linearizadasCondição de contorno na esteira: Pelo princípio da sustentação estacionária, deve haver viscosidade para haver sustentação; Porém o modelo a ser empregado para a solução dos nossos problemas não estacionários é invíscido e irrotacional; Condição de Kutta: pressupões que não existe salto de pressão no bordo de fuga; Teorema Kelvin: “se as forças de campo derivam de um potencial, e o fluido for ideal e barotrópico, a circulação de velocidade em torno de um circuito fechado e arbitrário permanece constante ao longo do movimento do fluido” O teorema de Kelvin vale para os casos de escoamento compressível e incompressível.

81 Linearização da pressãoA solução do problema de valor de contorno, baseado na equação do potencial linearizado, resulta no potencial de velocidade dadas condições de contorno às quais este problema está sujeito. Porém , o que nos interessa é a pressão que age sobre uma superfície de sustentação. A forma de calcular esta pressão será baseada na equação de Kelvin, para que se possa derivar uma expressão linear para a pressão como uma função do potencial de perturbação A partir da relação isentrópica, pode-se relacionar pressão à densidade por uma função explícita: Levando a pressão linearizada dada por:

82 O Potencial de aceleração ILembrando que a pressão relaciona-se ao potencial a pequenas perturbações por uma relação linear: pode-se: transformar a equação para o potencial aerodinâmico linearizado: para:

83 O Potencial de aceleração IIA última relação foi obtida diferenciando adequadamente a equação do potencial aerodinâmico linearizado no espaço e no tempo. Assim, tem-se: uma equação para o potencial de pressão. Note que a pressão linearizada é dada por: que não deixa de ser a derivada substancial do potencial de velocidade:

84 O Potencial de aceleração IIIDefine-se o potencial de aceleração como: Vantagens de se empregar o potencial de pressão: simplifica a maneira de estabelecermos condições de contorno, uma vez que não seria mais necessário estabelecer condições de contorno na esteira, uma vez que não há salto de pressão.

85 Modelo Aerodinâmico em AeroelasticidadeCaso particular da equação do potencial aerodinâmico linearizado: Regime incompressível Mach = 0: ou Equação de Laplace

86 Modelos Clássicos: Escoamento IncompressívelPara um primeiro estudo da aerodinâmica não estacionária aplicada a aeroelasticidade, apresenta-se modelos clássicos tais como os modelos de: Theodorsen Wagner Küssner Sears Estes modelos são fundamentados em soluções elementares da equação para o potencial aerodinâmico linearizado, em regime de escoamento incompressível (Mach = 0), conhecida também como Equação de Laplace. Referência para estes tópicos: B.A.H., “Aeroelasticity”

87 Modelo de Theodorsen O modelo adequado para o estudo do problema de estabilidade aeroelástica foi desenvolvido por Theodorsen (NACA-Rept. 496) Theodorsen em 1934 apresenta um modelo aerodinâmico não estacionário de uma seção típica realizando movimento harmônico simples, e assumindo regime incompressível. Assumiu tratar o problema empregando singularidades tipo fonte, sumidouros e vórtices elementares, soluções da Equação de Laplace; O efeito de salto de velocidade através de uma placa plana que representa o aerofólio pode ser simulado assumindo uma distribuição de fontes e sumidouros no intradorso e no extradorso do aerofólio;

88 Singularidades Revisão das soluções elementares da Equação de Laplace bidimensional, supondo uma singularidade em x1, z1: Fonte Vórtice Dipolo

89 Singularidades distribuídasFontes e sumidouros dispostas sobre o extradorso e intradorso, respectivamente; E vórtices serão dispostos ao longo da corda e da esteira de forma a simular os efeitos de natureza circulatória, isto é, sustentação.

90 Seção típica com 2 GDL Adotamos um modelo de seção típica com dois graus de liberdade (originalmente Theodorsen adotou 3 GDL):

91 Forças aerodinâmicas não estacionáriasEmprego da teoria do aerofólio fino; Aproximação de Theodorsen: (Ref: T. Theodorsen, "General Theory of Aerodynamic Instability and the Mechanism of Flutter", NACA TR 496, 1934). Assume superfícies aerodinâmicas como placas planas que oscilam em torno do eixo elástico da seção típica que representa esta superfície de sustentação. Também assume que o escoamento é composto por duas componentes: Não circulatória onde o escoamento pode ser expresso através de fontes e sumidouros; Circulatória a qual está relacionada a vorticidade de uma esteira que se estende do bordo de fuga para o infinito. Para cada componente obteve-se os potenciais de velocidades e calculou-se a pressão através relação para pressão linearizada. E com as pressões os esforços aerodinâmicos.

92 Carregamento não circulatórioAtravés do emprego da expressão para a pressão linearizada, : pode-se calcular os esforços não circulatórios através da integração das pressões sobre a superfícies de aerofólio: Aplicando a relação acima ao potencial de natureza não circulatória tem-se os esforços integrados resultando em:

93 Parcela circulatória: Distribuição de vórticesPara satisfazer a condição de Kutta, Theodorsen assumiu uma distribuição de vórtices colado no aerofólio a uma correspondente esteira que parte do bordo de fuga para o infinito. A idéia, a partir deste ponto, parte de um artifício para escrever as forças e momentos devido a vorticidade, ou circulatórios, assumindo uma distribuição vórtices ligados ao aerofólio (bound vortex) e os correspondentes emitidos ao longo da esteira (shed vortex) Na figura, Y=Z xo

94 Esforços circulatóriosOs passos para obtenção das forças de origem circulatória são similares ao caso não circulatório, integra-se a pressão linearizada que está relacionada ao potencial de velocidades dos vórtices ligados e da esteira para obter os esforços sobre o aerofólio. Como resultado tem-se os esforços circulatórios:

95 Função de Theodorsen “C” é uma função de deficiência de sustentação, que modifica a circulação sobre o aerofólio pela ponderação da velocidade normal induzida Q. Provavelmente Theodorsen buscou esta forma de solução para associar estas integrais a funções especiais, tal como foi feito em estudos similares e anteriores aos de Theodorsen, nos quais se buscou soluções analíticas para problemas similares associando a funções de especiais.

96 Particularização para o MHSA forma imaginada para se resolver as integrais baseia-se na hipótese de movimento harmônico simples; Desta forma, a função de Theodorsen terá como argumento a frequência reduzida k: Onde J e Y são funções de Bessel, que também podem ser escritas como funções de Hankel.

97 Funções especiais de BesselCombinação de funções de Bessel de 1o e 2o tipo; ou também de funções de Hankel. Forma usualmente apresentada:

98 Mapeamento complexo Graficamente este função pode ser representada no plano complexo como:

99 Parte real e imagináriaParte real e imaginária da função de Theodorsen:

100 Aproximação de C(k) Pode-se aproximar a função de Theodorsen por:Esta aproximação fornece um resultado razoável, conforme se pode verificar no gráfico ao lado.

101 Modelo de Theodorsen (2 gdl)Agrupando os termos circulatórios e não circulatórios tem-se: caso estacionário; onde: c = 2b é a corda da seção típica, r é a densidade do fluido, e Cl é a derivada de sustentação da seção típica. No caso da placa plana este resultado deve ser 2p.

102 Downwash I Note que : representa uma velocidade normal induzida em um ponto do aerofólio de cota b/2, ou seja a 3/4 da corda. Esta relação pode ser verificada empregando a equação que descreve o movimento do aerofólio bem como a relação para o downwash. Note também que sentido é oposto ao do movimento induzido pelo aerofólio:

103 Adimensionalizando TheodorsenO passo seguinte será o preparo da solução de Theodorsen para resolvermos o problema de flutter, no domínio da frequência de forma que possamos resolver um problema de autovalor, de acordo com o critério de estabilidade de Euler; Adimensionalizando baseado na semi-corda de referência

104 Forma Matricial I Rearranjando os termos para se obteruma representação matricial ...

105 Forma Matricial II

106 Forma Matricial III [Mnc] é a matriz de massa aparente, de natureza não circulatória. Representa a inércia referente ao efeito de bombeamento do fluido ao redor do aerofólio. Independe a velocidade do escoamento Vo. [Bnc] é a matriz de amortecimento aerodinâmico de natureza não circulatória, depende de Vo e representa uma resistência ao movimento do aerofólio imerso no fluido.Promove um acoplamento desestabilizante associado à combinação entre a velocidade do escoamento não perturbado e a velocidade normal ao aerofólio.

107 Forma Matricial IV [Bc] é a matriz de amortecimento aerodinâmico de natureza circulatória. Quantifica os efeitos de atraso aerodinâmico induzidos pela circulação distribuída na esteira. Proporcional ao ângulo e ataque efetivo e ponderado pela função de Theodorsen. [Kc] é a matriz de rigidez aerodinâmica. A rigidez (entenda como a sustentação) é exclusivamente de natureza circulatória, e é proporcional aos deslocamentos. É ponderada pela função de Theodorsen que atrasa o carregamento devido a variação de circulação na esteira, induzida pelo próprio movimento do aerofólio.

108 Forma Matricial V O motivo de se colocar em evidência a razão entre a velocidade e a semi-corda deve-se ao fato que o sistema de equações, quando transformado para o domínio da frequência, poderá ser escrito apenas como função da frequência reduzida k. Os coeficientes das matrizes Mnc, Bnc, Bc, e Kc são função exclusivamente da geometria e do coeficiente de sustentação da placa plana ; O próximo passo será transformar as equações de Theodorsen para o domínio da frequência; Esta estratégia é importante quando se quer estudar problemas de estabilidade aeroelástica (flutter), pois pode-se resolver o problema de autovalor associado ao sistema aeroelástico.

109 Domínio da frequência Problema: Equações de Theodorsen definidas no domínio do tempo, sendo que a função de Theodorsen possui como argumento a frequência reduzida. Vamos reescrever a equação de Theodorsen para 2 gdl na forma matricial como:

110 Domínio da Frequência IAssume-se que o movimento é do tipo harmônico simples (MHS) e que os deslocamento lineares e angulares podem ser escritos na forma: Este tipo de movimento está de acordo com o que se assumiu para chegar a função de Theodorsen em termos de funções de Bessel. E também é de acordo com a condição de estabilidade neutra, associada ao limite de estabilidade aeroelástica dinâmica, ou seja, o flutter.

111 Domínio da Frequência IIUma vez que as equações para os esforços aerodinâmicos não estacionários é linear, pode-se escrever: Onde os termos com “barra” são as amplitudes complexas. Assim:

112 Coeficientes de InfluênciaA matriz na relação, é a matriz de coeficientes de influência da seção típica; Relaciona as "influências" entre os movimentos associados aos graus de liberdade e os esforços atuantes.

113 Aerodinâmica Aplicada à AeroelasticidadeA proposta é estudar o problema da seção típica com dois graus de liberdade, considerando a teoria aerodinâmica não-estacionária de Theodorsen; Este modelo inclui os efeitos não estacionários importantes, que tem papel fundamental da solução do problema de flutter.

114 Flutter do Aerofólio Vimos que a equação do sistema aeroelástico do domínio da frequência ere representada como: Note que já conhecemos as equações de movimento da seção típica (lado esquerdo) e os termos forçantes (lado direito) que podem ser Agrupados em uma equação homogênea (segunda equação) para assim estudar um problema de estabilidade sujeito a variação de parâmetros.

115 Análise de flutter A análise de flutter é uma técnica muito especializada que não possui relação com métodos convencionais como Root Locus, Nyquist, entre outros, normalmente empregados para estudar a estabilidade de sistemas dinâmicos. Dentre as técnicas de solução do problema de flutter podemos listar os métodos: Theodorsen (antigo) K P-k G A peculiaridade da solução deve-se a necessidade de se resolver um problema de autovalor, supondo movimento harmônico simples, embora em determinadas condições isto não ocorra.

116 Sistema com 2 GDL , rq = raio de giração =O sinal de L é trocado pois uma sustentação positiva age para cima enquanto que h é positivo para baixo Dividimos por m, massa do aerofólio: , rq = raio de giração =

117 Adimensionalizando... 1/b 1/b2Assumindo movimento harmônico simples temos: Mudamos a notação do grau de liberdade em arfagem de q para a !

118 Carregamento aerodinâmico: SustentaçãoUsando as relações dos carregamentos aerodinâmicos da formulação de Theodorsen: No domínio da frequência, e rearranjando alguns termos:

119 Carregamento aerodinâmico: MomentoE o momento: No domínio da frequência:

120 Nova notação Smilg e Wasserman (Application of three dimensional flutter theory to aircrfat structures – AAF Tech Rept 4798, 1942) introduziram a notação onde o carregamento aerodinâmico não estacionário, segundo a formulação de Theodorsen, é escrito com função de coeficientes La, Lh, Ma,e Mh. A formulação dos autores acima foi muito utilizada na indústria, e era encontrada na forma de tabelas de coeficientes em função da frequência reduzida. Esta forma de apresentar carregamento aerodinâmico também é apresentada no livro “Introdution to the Study of Aircraft Vibration and Flutter”, de Scanlan e Rosembaum, 1951.

121 Equações AeroelásticasIgualando o carregamento aerodinâmico às equações do movimento: Notação consistente com de Smilg e Wasserman. Com:

122 Associando a parâmetros de similaridade….

123 O Método V-g Referência: Computational Aids in Aeroservoelastic Analysis Using MATLAB O método V-g, também conhecido como método “k” é, por sua vez uma técnica mais elaborada de solução do problema da estabilidade aeroelástica. Neste caso, associa-se a equação homogênea: a uma forma diferente, que permite associa-la a uma problema de autovalor na forma clássica. Este problema de autovalor será função de um parâmetro, a frequência reduzida.

124 Método V-g (ou Método K)O método V-g é baseado na solução da mesma equação que representa o sistema aeroelástico apresentada anteriormente: Porém adotando a seguinte forma:

125 Método V-g Onde as matrizes Mij, Kij e Aij são as matrizes de massa, rigidez e aerodinâmica respectivamente, sendo a última, função da frequência reduzida. O método V-g assume que existe um amortecimento artificial g: necessário para se garantir um movimento harmônico simples. Note que a forma do sistema a ser resolvido é de um problema de autovalor similar a um sistema que representa um movimento harmônico simples:

126 Método V-g Entretanto, os coeficientes de Aij são complexos, o que resulta em um problema de autovalor complexo, portanto, os auto-valores serão números complexos, cuja parte real representa o amortecimento artificial e a parte imaginária a frequência associada. Quando se assume o amortecimento estrutural g, o sistema é representado por: para uma dada frequência reduzida k=wb/U. Autovalor

127 Autovalores aeroelásticosO processo de extração dos autovalores é realizado para um conjunto de frequências reduzidas tabeladas, do maior para o menor valor. A i-ésima frequência, ou seja associada à i-ésima frequência reduzida e o correspondente amortecimento artificial são obtidos de: Esta forma de se obter a frequência e o amortecimento a partir do autovalor é associada a hipótese de se assumir que existe um amortecimento artificial, necessário para atender a condição que os autovalores do sistema aeroelástico deverão ser complexos.

128 Curvas V-g E as curvas que representam a evolução da frequência e amortecimento são representadas graficamente como: onde a velocidade reduzida é obtida da relação para a frequência reduzida.

129 Exemplo – Aerofólio com 3 GDLVamos estudar o exemplo de um aerofólio com três graus de liberdade, empregando o método V-g (ou método K) para a solução do problema de flutter.

130 Movimento do AerofólioO movimento do aerofólio com superfície de controle é representado pela seguinte equação: Onde U(x-bc) é uma sinal de controle do tipo degrau unitário. O downwash, por sua vez terá termos adicionais:

131 Forças e momentos E de um desenvolvimento similar ao que foi visto para a seção típica com 2 GDL, pode-se obter as equações de Theodorsen para esta caso de três graus de liberdade: Com: o downwash induzido em um ponto a ¾ da corda do perfil

132 Funções “T” As funções “T” são definidas como:

133 Funções “T” (cont.) Mais funções “T”, para assim definirmos o modelo completo: para escrever as equações de Theodorsen para o caso de três graus de liberdade.

134 Modelo dinâmico Equações do movimento: (obtidas por Lagrange, por exemplo) Adimensionalizando de forma análoga ao caso de 2 GDL:

135 Modelo de Theodorsen As equações de Theodorsen para o caso do aerofólio com três graus de liberdade são modificadas com a inclusão da superfície de controle. Pode-se recorrer ao BAH ou mesmo ao NACA Report 496 de Theodorsen para se verificar os termos que compõem as matrizes, definidos anteriormente:

136 Modelo de Theodorsen E as matrizes que compõem a equação anterior:

137 Aplicação do método V-gPressupõem-se que nosso modelo aeroelástico possa ser escrito no domínio da frequência, assumindo um movimento harmônico simples:

138 Amortecimento ArtificialTambém se pode assumir um amortecimento estrutural artificial: Solução do problema de flutter – solução do problema de autovalor associado:

139 Codificando o método I:% 3 dof system wh=50.0; wa=100.0; wb=300.0; a=-0.4; c=0.6; b=1; xa=0.2; xb=0.0125; ra=sqrt(0.25); rb=sqrt( ); mu=40; nn=3;i=sqrt(-1);rho= ; mas=pi*rho*mu*b*b; damb=0.0; sqr=sqrt(1-c*c); arc=acos(c); %% % final version of t function generating the aero matrix t1=-(2+c*c)/3*sqr+c*arc; t3=-(1-c*c)/8*(5.*c*c+4)+.25*c*(7+2*c*c)*sqr*arc-(1./8.+c*c)*arc*arc; t4=c*sqr-arc; t5=-(1-c*c)-arc*arc+2*c*sqr*arc; t7=c*(7+2*c*c)/8*sqr-(1/8+c*c)*arc; t8=-1/3*(1+2*c*c)*sqr+c*arc; t9=.5*(sqr*(1-c*c)/3+a*t4); t10=sqr+arc; t11=(2-c)*sqr+(1-2*c)*arc; t12=(2+c)*sqr-(1+2*c)*arc; t13=-.5*(t7+(c-a)*t1); t15=t4+t10; t16=t1-t8-(c-a)*t4+0.5*t11; t17=-2*t9-t1+(a-.5)*t4; t18=t5-t4*t10; t19=-.5*t4*t11; % iden=zeros(nn,nn);ks=zeros(nn,nn);knc=zeros(nn,nn);bs=zeros(nn,nn); for ii=1:nn iden(ii,ii)=1.0; end % mass matrix ms(1,1)=1; ms(1,2)=xa; ms(1,3)=xb; ms(2,1)=xa; ms(2,2)=ra*ra; ms(2,3)=rb*rb+xb*(c-a); ms(3,1)=xb; ms(3,2)=rb*rb+xb*(c-a); ms(3,3)=rb*rb; %% mnc(1,1)=-pi; mnc(1,2)=pi*a; mnc(1,3)=t1; mnc(2,1)=pi*a; mnc(2,2)=-pi*(1./8.+a*a); mnc(2,3)=-2*t13; mnc(3,1)=t1; mnc(3,2)=-2*t13; mnc(3,3)=t3/pi; % % stiffness matrix ks(1,1)=wh*wh; ks(2,2)=ra*ra*wa*wa; ks(3,3)=rb*rb*wb*wb; knc(2,3)=-t15; knc(3,3)=-t18/pi; %%% bnc(1,1)=0; bnc(1,2)=-pi; bnc(1,3)=t4; bnc(2,1)=0; bnc(2,2)=pi*(a-.5); bnc(2,3)=-t16; bnc(3,1)=0; bnc(3,2)=-t17; bnc(3,3)=-t19/pi; r1=[ -2.*pi 2*pi*(a+0.5)-t12]; s1=[0 1 t10/pi]; s2=[1 (.5-a) t11/(2*pi)];

140 Codificando o método II:% v-g method m=200; rst1=zeros(3,m); rst2=zeros(3,m); vel=zeros(3,m); for kk=m:-1:1; rk=kk*0.02; [f,g]=faero(rk,b,mnc,bnc,knc,r1,s1,s2,mu); aero=f+i*g; ddd=eig(inv(ks)*(ms+aero)); rrr=abs(real(ddd)); iii= imag(ddd); rst1(:,kk)=sqrt(1./rrr); rst2(:,kk)=iii./rrr; vel(:,kk)=sqrt(1./rrr)*b/rk; end xxx=[vel(1,:); rst1(1,:); rst2(1,:); vel(2,:); rst1(2,:); rst2(2,:); vel(3,:); rst1(3,:); rst2(3,:)]'; figure(1); plot(vel(1,:),rst1(1,:),'*r',vel(2,:),rst1(2,:),'*r',vel(3,:),rst1(3,:),'*r'), axis([ ]),xlabel('Velocity'),ylabel('Frequency'),grid; figure(2); plot(vel(1,:),rst2(1,:),'*r',vel(2,:),rst2(2,:),'*r',vel(3,:),rst2(3,:),'*r'), axis([ ]),xlabel('Velocity'),ylabel('g'),grid; Caso de estudo : seção típica com 3 GDL, e as características dinâmicas e geométricas apresentadas abaixo

141 Resultados para o exemploCurvas V-g: Observe o acoplamento dos modos de flexão (plunge) e torção (pitch)

142 Caso quasi-estacionárioC(k) = 1.0, representa a ausência de efeito da esteira. Note como o acoplamento é alterado, em como o amortecimento aerodinâmico fica menor. Um amortecimento aerodinâmico menor facilita o flutter.

143 Considerações adicionaisEste exemplo mostra bem como o amortecimento aerodinâmico é importante na promoção do acoplamento de dois modos; Um modelo quase-estacionário pode ser mais conservativa, porém o acoplamento aeroelástico fica mais evidente quando consideramos o efeito da esteira; Em sistemas com vários graus de liberdade, o efeito causado pela esteira (atraso no carregamento aerodinâmico) pode promover acoplamentos entre modos inesperados.