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2 Agenda para esta sesión1 Definición de Sistema Numérico y análisis de las formas de representarlos 2 Sistemas de numeración decimal y alternativos para manejo de datos 3 Reglas de conversión entre diferentes sistemas numéricos 4 Codificación de símbolos y su uso en la computación

3 A continuación… Introducción a los Sistemas NuméricosConversión de números de diferentes bases Aplicación de los Sistema Numéricos

4 Definiciones Sistema numéricoConjunto de símbolos que se relacionan para expresar la relación existente entre la cantidad y la unidad. Cada sistema numérico posee símbolos llamados dígitos con relaciones definidas para la suma (+), resta (-), multiplicación (x) y división (÷) Debido a que un número es un símbolo, existen diferentes representaciones para expresar una cantidad.

5 Definiciones BASE (r) El número de dígitos en un sistema numérico se denomina base. Las bases mas utilizadas en sistemas computacionales son las siguientes: BASE SISTEMA NÚMERICO 2 Binario 8 Octal 10 Decimal 16 Hexadecimal

6 Notación an-1 an … a1 a0 . a-1 a-2 … a-mParte Entera Parte Fraccionaria Notación Posicional (an-1 an…a1 a0 . a-1 a-2…a-m)r . = separa dígitos enteros de fracciones r = base del sistema numérico n = número de dígitos enteros m = número de dígitos fraccionarios ai = dígito entero cuando n-1 >= i >= 0 an-1 = dígito más significativo a-m = dígito menos significativo Notación Polinomial 6x x x x x x10-2 = ( )10

7 A continuación… Introducción a los Sistemas NuméricosConversión de números de diferentes bases Aplicación de los Sistema Numéricos

8 Sistema numérico decimalEs el sistema numérico más utilizado por el hombre en sus tareas de cálculo normales. Se cree que es el más famoso porque los seres humanos tenemos diez dedos. Además es el sistema numérico de referencia para hacer cambios de base entre bases no comunes. Base: 10 Dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Ejemplo (4218,62)10 = 4x x x x x x10-2

9 Sistema numérico binarioToda la informática se basa en magnitudes digitales binarias. Se trabaja con los dos estados de una magnitud binaria, que son representados habitualmente como: 0 y 1 “nivel bajo” y “nivel alto”, físicamente representados por dos niveles de tensión distintos (por ejemplo 0V y 5V).

10 Sistema numérico binario¿Porqué solo dos niveles? Tecnológicamente es muy fácil fabricar dispositivos que presenten dos estados bien diferenciados. Las herramientas para la manipulación de esta información es realmente sencilla La lógica binaria y la aritmética binaria.

11 Sistema numérico binarioEs el sistema numérico más utilizado por las máquinas actualmente. Es el más famoso porque se facilita el diseño del hardware y la programación. Está basado en leyes de lógica muy simples. Base: 2 Dígitos: 0, 1 Ejemplo (1011,01)2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 + 0x x2-2

12 Sistema numérico octalSistema numérico medianamente usado. Es un primo del sistema binario. Es famoso porque facilita el hardware y la programación. Base: 8 Dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Ejemplo (7340,61)8 = 7x83 + 3x82 + 4x81 + 0x80 + 6x x8-2

13 Sistema numérico hexadecimalUno de los problemas del sistema binario es la cantidad de dígitos que se requieren para describir los números. Por su parte los sistemas octal y decimal requieren menor cantidad de dígitos, lo cual lo convierte en un sistema más compacto. El sistema hexadecimal proporciona un sistema más compacto, además de presentar un paso directo desde el sistema binario.

14 Sistema numérico hexadecimalSistema numérico muy usado. Es un primo del sistema binario. Facilita mucho la programación de dispositivos lógicos programables, memorias y microprocesadores. Base: 16 Dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Ejemplo (A74F,C5)16 = Ax x x161 + Fx160 + Cx x16-2

15 Sistema numérico base rSistema numérico generalizado. En general se puede pasar un número de cualquier base a cualquier otra base. Los pasos matemáticos son muy sencillos. Base: r Dígitos: 0, 1, 2, … , r-3, r-2, r-1 Ejemplo an-1rn-1 + an-2rn-2 + … + a0r0 + a-1r-1 + … + a-mr-m = (an-1an-2…a0.a-1…a-m)r

16 A continuación… Introducción a los Sistemas NuméricosConversión de números de diferentes bases Conversión de números de diferentes bases Aplicación de los Sistema Numéricos

17 Finalmente hacemos la sumatoria de los productosConversión Base r  Dec Convertir ( )7 a base 10 El procedimiento consiste básicamente en multiplicar cada uno de los dígitos por su peso correspondiente 2 x 7-2 = 6 x 7-1 = 5 x 70 = 3 x 71 = 21 4 x 72 = 196 6 x 73 = 2058 Finalmente hacemos la sumatoria de los productos 1 x 74 = 2401 El procedimiento anterior es equivalente al uso de la notación polinomial +( )10 pesos Notación Polinomial m = -2 n = 4 ai x 7i = 2 x 7-2 + 6 x 7-1 + 5 x 70 + 3 x 71 + 4 x 72 + 6 x 73 + 1 x 74

18 Conversión Base r  Dec 4289,31 Ejemplo: Comprobar (4289,31)10  DecNUMERO DECIMAL 4289,31 DecN … Dec3 Dec2 Dec1 Dec0 , Dec-1 Dec-2 … DecM 4 2 8 9 3 1 D*10N … 4*103 2*102 8*101 9*100 3*10-1 1*10-2 … D*10-M 4000 200 80 9 0,3 0,01 Suma 4289,31

19 Conversión Base r  Dec (45,625)10Ejemplo: convertir (101101,101)2  Dec NUMERO BINARIO 101101,101 … BinN … Bin5 Bin 4 Bin3 Bin2 Bin1 Bin0 , Bin-1 Bin-2 Bin-3 BinM 1 1 1 1 1 1 B*2N … 1*25 0*24 1*23 1*22 0*21 1*20 1*2-1 0*2-2 1*2-3 … B*2-M 32 8 4 1 0,5 0,125 Suma (45,625)10

20 Conversión Base r  Dec 1967,6679 Ejemplo: convertir (7AF,1B)16  DecHEX 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 11 B 12 C 13 D 14 E 15 F Ejemplo: convertir (7AF,1B)16  Dec NUMERO HEXADECIMAL 7AF,1B HexN … Hex2 Hex1 Hex0 , Hex-1 Hex-2 … HexM 7 A F 1 B 7 10 15 1 11 H*10N … 7*162 10*161 15*160 1*16-1 1*16-2 … H*16-M 1792 160 15 0,0625 0,0429 Suma 1967,6679

21 Conversión Dec  Base r Convertir (234.45)10 a base 2Convertir parte entera Se realizan divisiones consecutivas hasta que el cociente de la división sea menor que la base. El procedimiento consiste en dividir la parte entera del número por la base del sistema numérico al que se desea pasar 234 2 -234 117 2 -116 58 2 1 -58 29 2 -28 14 2 1 Los dígitos restantes corresponden a los residuos de las divisiones en el orden inverso al que fueron obtenidos -14 El resultado de la conversión es: el ultimo cociente como bit más significativo 7 2 -6 3 2 1 -2 1 1 ¿Cociente < base? Fin (234)10 = ( ) 2 1 1 1 1 1

22 Terminamos aquí con una precisión de 7 bitsConversión Dec  Bin Convertir (234.45)10 a base 2 El procedimiento consiste en multiplicar la parte fraccionaria del número a convertir por la base. Convertir parte fraccionaria .45 x 2 = 0.90 Las multiplicaciones continúan hasta que la parte fraccionaria sea cero, o se alcance la precisión deseada Una vez obtenido el primer producto, la parte fraccionaria de este se multiplica de nuevo por la base .90 x 2 = 1.80 Finalmente se obtiene: Parte Fraccionaria: (0.45)10 = ( )2 Parte Entera: (234)10 = ( )2 Total (234.45)10 = ( )2 .80 x 2 = 1.60 .60 x 2 = 1.20 .20 x 2 = 0.40 .40 x 2 = 0.80 .80 x 2 = 1.60 El resultado final es la parte entera de los productos en el orden en que fueron obtenidos Terminamos aquí con una precisión de 7 bits La secuencia se repetirá una y otra vez. No es posible obtener un valor exacto (0.45)10 = ( )2 . 1 1 1 1

23 Bin  Hex Dec Bin Hex Oct 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 10 9 1001 11 1010 A 12 1011 B 13 1100 C 14 1101 D 15 1110 E 16 1111 F 17 10000 20 Conformar grupos de 4 bits hacia la izquierda, hasta cubrir la totalidad del número binario. a hexadecimal. 0100 1110 1010 4 E A

24 Bin  Hex Convertir (1101111101.111101)2 a base 16 00 11 0111 1101 .DEC BIN HEX 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F Convertir ( )2 a base 16 00 11 0111 1101 . 1111 01 00 3 7 D . F 4 ( )2 = (37D.F4)16

25 Hex  Bin Dec Bin Hex Oct 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 10 9 1001 11 1010 A 12 1011 B 13 1100 C 14 1101 D 15 1110 E 16 1111 F 17 10000 20 Tomar cada dígito del número hexadecimal y convertirlo a binario. Ejemplo BF0416 a binario. (BF04)16 = 1011 1111 0000 0100

26 Hex  Bin Convertir (7AD.B)16 a base 2 7 A D B . 0111 1010 1101 . 1011DEC B HEX 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 10 1010 A 11 1011 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F Convertir (7AD.B)16 a base 2 7 A D B . 0111 1010 1101 . 1011 (7AD.B)16 = ( )2

27 Orden de Conversiones Binario  Hexadecimal Binario  OctalBase N  Decimal  Base M

28 A continuación… Introducción a los Sistemas NuméricosConversión de números de diferentes bases Aplicación de los Sistema Numéricos Aplicación de los Sistema Numéricos

29 Bits, bytes, words Bit (b): unidad absoluta mínima de información que tiene la capacidad de almacenar un ‘1’ o un ‘0’. Byte (B): 8 bits, unidad típica mínima de información que se puede almacenar en una memoria. Un byte puede tomar 256 valores diferentes. Word: cantidad máxima de bits que pueden ser manipulados a la vez, es específico de la arquitectura del procesador. En computadores, es 32 o 64 bits => 4 u 8 bytes

30 Bits, bytes, words bits byteDirección Contenido 0x0000 0x0001 0x0002 0x0003 0x0004 0x0005 0x0006 0x0007 0x0008 0x0009 0x000A 0x000B … 0x4F2A 0xFFFF bits byte ¿Cuántas posiciones de memoria puedo direccionar con direcciones que usan 4 símbolos hexadecimales? word (32 bits)

31 Código ASCII El código de caracteres más utilizado en las aplicaciones de cómputo es el código ASCII Siglas en inglés de código estándar americano para intercambio de información. Para la representación de los caracteres el código ASCII (básico) utiliza 7 bits, para un total de 128 caracteres posibles. Carácter Código binario Código hexadecimal D 0x44 A 0x40 g 0x67 i 0x69 t 0x74 a 0x61 5 0x35

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33 EJERCICIOS Base Numero 2 1110100110 10 4263 6 3555 3 1001011011 5232 74560 5262 5 4314 1 2 3

34 EJERCICIOS Consulte el código ASCII de las letras de su nombre y exprese cada letra en decimal, en binario y en Hexadecimal. Suponga que su cédula está en código ASCII, represente cada digito en binario. Suponga que su cédula esta en formato decimal, expréselo en formato binario y hexadecimal. Haga ejercicios de conversión de bases.