1 Álgebra elemental

2 Productos notables y factorizaciónLas cuatro operaciones fundamentales Fracciones Ecuaciones de primer grado Funciones y gráficas Ecuaciones simultaneas de primer grado Exponentes radicales Ecuaciones de segundo grado Razones, proporciones y variaciones Logaritmos

3 5. Funciones y gráficas

4 El concepto de función De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

5 El concepto de función Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.Una función de A en B es una asociación de un único elemento de B con todos y cada uno de los elementos de A. El conjunto A es llamado el dominio de la función. El conjunto B se llama contradominio ó codominio de la función.

6 El concepto de función Todos los elementos del dominio tiene que tener asociado un elemento del contradominio A un elemento del dominio se le asociara un único elemento del contradominio Elementos del contradominio pueden tener asociados más de un elemento del dominio

7 Ejemplos de funciones Conjunto de seres humanos

8 Ejemplos de funciones Conjunto de seres humanos

9 Ejemplos de funciones A cada ser humano se le asocia su padre biológico Conjunto de seres humanos Conjunto de seres humanos

10 Ejemplos de funciones A cada ser humano se le asocia su padre biológico Conjunto de seres humanos Conjunto de seres humanos Todo elemento del dominio tiene asociado un único elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único padre biológico No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biológico

11 Definición de función

12 El rango de una función

13 Definición de función a b c d e

14 Definición de función Dominio a b c d e

15 Definición de función Codominio Dominio a b c d e

16 Definición de función a b Codominio Dominio c d e Rango

17 Esto no es función

18 A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominioEsto no es función A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio

19 Esto no es función B A parcial nabla raiz existe

20 Esto no es función A parcial nabla raiz existe B

21 Definición de funcion real de una variable realDefinimos una función de x en y como toda aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un número x (variable independiente), le hace corresponder un número y (y solo uno llamado variable dependiente).

22 Definición de funcion real de una variable realSe llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en R Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y ó f(x) variable dependiente o imagen.

23 Funcion real de una variable real

24 Funciones reales de una variable realUna función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales. Su rango es también un subconjunto de los reales.

25 El dominio de una funciónEl subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f). Nota El dominio de una función puede estar limitado por: 1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa. 2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.

26 Ejemplo de función: Relación líneal

27 Ejemplo de función: Relación línealx f(x) 2 1 5 -1 8 -2 -4 3 11 -3 -7 4 14 -10 17 -5 -13 x f(x) 0.10 2.30 1.76 7.28 -3.45 -8.35 8.97 28.91 2.34 9.02 13.33 41.99 1.41 6.23 16.77 52.31 -44.44 0.01 2.03

28 Ejemplo de función: la función exponencial

29 Ejemplo de función: la función exponencialf(x) 0.10 11.88 144, -3.45 8.97 7, 2.34 13.33 615, 6.99 1, -91.23 2.22 0.50 -12.45 x f(x) 0.00 1.000 1.00 2.718 -1.00 0.368 2.00 7.389 -2.00 0.135 3.00 20.086 -3.00 0.050 4.00 54.598 -4.00 0.018 5.00 -5.00 0.007

30 Ejemplo de función: la función exponencial

31 Ejemplo de función: la función exponencialln(x) 0.10 -2.303 0.01 -4.605 0.20 -1.609 0.02 -3.912 0.30 -1.204 0.03 -3.507 0.40 -0.916 0.04 -3.219 0.50 -0.693 0.05 -2.996 0.60 -0.511 0.06 -2.813 0.70 -0.357 0.07 -2.659 0.80 -0.223 0.08 -2.526 0.90 -0.105 0.09 -2.408 1.00 0.000

32 Representación gráfica de las funciones reales de una variable real

33 Ejemplo de función: Relación líneal

34 Ejemplo de función: la función exponencial

35 Ejemplo de función: la función logaritmo

36 Ejemplo de función: El valor absoluto

37 La gráfica de una función. Ejemplo

38 La gráfica de una función. Ejemplox L(x) -5 10 -4 7 -3 4 -2 1 -1 -8 2 -11 3 -14 -17 5 -20

39 La gráfica de una función. Ejemplo

40 La gráfica de una función. Ejemplo

41 La gráfica de una función. Ejemplox y -5 504 -4 -32 -3 -18 -2 -1 10 24 1 38 2 52 3 66 4 80 5 94

42 La gráfica de una función. Ejemplo

43 Las funciones de varias variablesEn la vida real la mayoría de los fenómenos y los procesos dependen de varias variables. Por tanto, son las funciones de varias variables las que, en general, sirven para describir correctamente los procesos de la naturaleza.