1 Análisis de la ecuación vectorial deSwift-Hohenberg por Matías G. dell`Erba Director: Miguel Hoyuelos

2 Introducción Estabilidad y bifurcaciones Ecuaciones de amplitud

3  Ecuación vectorial de Ecuaciones de Swift-Hohenberg amplitudEcuaciones de amplitud: describen la dinámica de un conjunto de sistemas físicos entorno de su inestabilidad.

4 Sistema físico Para R < Rc sistema estable sistema inestable Para R > Rc

5 Para R = Rc bifurcación Bifurcación: cambio cualitativo en la solución de una ecuación diferencial. Bifurcación de Hopf: Im(l)  0 Re(l)│ R = Rc > 0 R Solución a (R)1/2

6 Deducción de las ecuaciones de amplitud:Se parte de las ecuaciones de un sistema físico particular. Se linealiza el sistema en torno de una solución conocida. Se toman en cuenta las no-linealidades a partir de un escaleo apropiado. Ventaja de las ecuaciones de amplitud: Cada ecuación de amplitud describe un conjunto de sistemas físicos de naturaleza diferente. Esto se debe al número restringido de tipos de bifurcaciones.

7 Deducción de la ecuación vectorialde Swift-Hohenberg

8 Ecuaciones vectoriales de Maxwell-Bloch (MB).

9 Linealizando en torno de E±= P±= N±= M = 0,la solución queda: Con ella se puede obtener

10 El cálculo de autovalores conduce a:Escribimos l = m - i n ,y hacemos m = 0 y W = 0

11 Curva de estabilidad neutral o marginalModo más inestable k = 0, rc = 1, l = 0

12 Para tomar en cuenta los términos no-lineales:R: parámetro de control del sistema. ( )

13 Escaleamos las variables espaciales y temporales:Escribimos las ecuaciones de MB como:

14 donde Igualando términos del mismo orden en llegamos a:

15 Ecuación vectorial de Swift-Hohenbergcon

16 Análisis de casos particularesEstabilidad de soluciones homogéneas Inestabilidad de Eckhaus en solución de onda plana Dependencia en los parámetros e y g

17 Estabilidad de soluciones homogéneasProponemos como solución:

18 Buscamos soluciones estacionarias. ( )

19 Calculamos los autovalores de la matriz jacobiana.Para e > - 1: donde I: solución inestable, E: solución estable, PE: punto de ensilladura, X: sin solución.

20 Campo vectorial: e > 0, g < -1.

21 Campo vectorial: e > 0, -1< g < 1.

22 Campo vectorial: e > 0, g > 1.

23 Inestabilidad de Eckhaus en solución de onda plana.Proponemos como solución:

24 Hacemos una perturbación en A±donde

25 Analizamos los casos y Escribiendo

26 Caso k+ = k- = k: Definimos y Reemplazando en el sistema se llega a (a± = 1 ± g ): Ecuación de difusión

27 La estabilidad de la onda plana esta dada por:además, como Q > 0:

28 Caso k+ = -k- = k: Escribiendo r , f en función de q << 1, las ecuaciones paraf quedan: Para -1 < g < 1, los autovalores (aproximados) son:

29 La estabilidad de la onda plana esta dada por:Como antes Q > 0, entonces:

30 Dependencia en los parámetros e y g.Para soluciones con poca dependencia espacial: Para e < -1, el sistema converge a la solución nula. Para g < - 1, el sistema diverge. Para e > -1 y g > 1, una componente del campo se anula.

31 Análisis numérico Resolución numérica y análisis de solucionesVelocidad de los defectos

32 Resolución numérica y análisis de datos.Región principal de análisis: -1 < e,g < 1.5. Gráfico modelo Defectos topológicos:

33 A± se anula A± diverge A± se anula Región A:El sistema diverge o se anula: e < -1 A± se anula a partir de g: (-0.9,-0.9); (0,-0.7) (0.5,-0.5); (1.5,-0.4) A± diverge e,g < -1 A± se anula

34 Región B: │A+│ j+ (-0.5,-0.5)

35 │A+│ j+ (0,1)

36 │A+│ │A-│2 (0,1)

37 Región C: │A+│ j+ (0,-0.5)

38 Región D: │A+│ │A-│2 (0.5,1.5)

39 │A+│ │A-│2 (0,1.6)

40 j j+ (0,5) (0,1.6)

41 Esquema de las regiones A, B, C y D en el plano (e,g)

42 Velocidad de los defectos.Láser clase C He-Ne: l = 3.39 mm, P = 5 torr g= s-1, k = s-1 6 cm 256 pixels

43 Dxsd = dx × # pixels = 1 × 85 = 85 Dtsd = 2 × dt × # iteraciones = 2 × 0.2 × 50 = 20 Escaleo en las coordenadas x y t: vdef = m/s

44 Conclusiones

45 Los resultados más importantes obtenidos son:Fuerte dependencia de la estabilidad en e y g Solución Homogénea El carácter vectorial modi_ fica la estabilidad respecto al caso escalar Onda Plana Nuevas estructuras: defectos móviles espirales de doble brazo Análisis Numérico