1 ANALISIS DE VARIANZA II Pruebas después del ANDEVA

2 Contenido IntroducciónPruebas después del análisis de varianza y su selección. Pruebas de comparación de promedios Uso de JMP e Infostat para pruebas de comparación de promedios Contrastes y su análisis Uso de JMP e Infostat para análisis de contrastes Regresión de tratamientos cuantitativos Polinomios ortogonales y uso de JMP e Infostat para polinomios ortogonales Regresión de tratamientos y uso de JMP e Infostat para su cálculo.

3 Objetivos Describir las opciones de análisis de medias después de realizar el ANDEVA. Identificar los principios de las pruebas de hipótesis de comparaciones múltiples de medias. Describir la prueba de comparación de medias de Tukey. Describir las pruebas de hipótesis sobre contrastes planeados y no-planeados. Describir las pruebas de regresión de tratamientos cuando éstos son cuantitativos.

4 Introducción La prueba de F del análisis de varianza en un modelo de clasificación permite saber, en general, si hay diferencias entre las medias de tratamientos. Esta prueba no especifica cuáles son los tratamientos que son diferentes. Es por ello que se pueden realizar pruebas adicionales para contestar algunas hipótesis específicas sobre las medias de tratamientos.

5 Pruebas posteriores al análisis de varianzaLas pruebas de hipótesis que se pueden hacer después del análisis de varianza son de tres tipos: a) Comparaciones planeadas (contrastes) b) Comparaciones no planeadas: 1. Contrastes ortogonales 2. Comparaciones múltiples de promedios c) Regresiones con medias de tratamientos (cuantitativos) y/o contrastes ortogonales para calcular regresión.

6 Pruebas posteriores al análisis de varianzaAntes de ver las pruebas se harán comentarios sobre cuándo se aplica cada prueba. a) Si se quieren comparar tratamientos específicos, es conveniente usar análisis de contrastes. Pero se puede usar también la prueba de Dunnet para comparar los tratamientos con un testigo. b) Si se quiere saber cual promedio (o grupo de promedios) de tratamientos es mayor (o menor), la prueba apropiada es la comparación múltiple de medias.

7 Pruebas posteriores al análisis de varianzac) Si los tratamientos a analizar son niveles cuantitativos de un factor, es conveniente emplear el análisis de regresión (o los polinomios ortogonales, que es una forma de regresión). Se recomienda revisar detenidamente los objetivos de su investigación o estudio, para decidir cuales pruebas puede realizar después del ANDEVA que le proporcionan la información adecuada y que contestan a sus hipótesis de trabajo. Puede haber más de una prueba que interese en el mismo estudio.

8 Pruebas posteriores al análisis de varianzaPara el caso de regresión, de polinomios ortogonales y de contrastes, no es necesario que los tratamientos sean significativos en el análisis de varianza. Pero se debe recordar que generalmente la significancia de tratamientos está asociada en la práctica, con la regresión o el contraste que deseamos analizar.

9 Pruebas de comparación de promediosPara hacer pruebas de hipótesis sobre las medias de los tratamientos se comparan dos medias por vez, usando los mismos criterios que en la prueba de hipótesis para medias de dos poblaciones. En el caso de varios tratamientos (equivalente a varias poblaciones), el error estándar de una media ( ) será: donde s2 es el Cuadrado Medio del Error o varianza del error, y ni es el número de repeticiones que tiene el promedio del tratamiento i-ésimo.

10 Pruebas de comparación de promediosLa diferencia de dos medias, y , puede estimarse por d = , con un error estándar : donde ni y nj son las repeticiones que tiene cada media respectivamente.

11 Pruebas de comparación de promediosCuando el número de repeticiones de las dos medias sean iguales, la fórmula se simplifica: sd =  [se2*(2/r)] Donde r representa el número de observaciones que contiene cada media (repeticiones) La diferencia mínima significativa (llamada DMS) entre dos medias con  de probabilidad de error, será: DMS = sd×t[/2, (gl error)]

12 Comparación múltiple de medias EjemploSe realizó un experimento con 5 tratamientos y 3 repeticiones. Los tratamientos están identificados con las letras A, B, C, D, y E. Las repeticiones con los números 1, 2 y 3. El análisis de varianza será como: Fuente g. l. Suma Cuadrados Cuadrado Medio Fc P{F >Fc} TRAT 4 SC Tratamientos SC Trat / 4 CM Trat./ CM Error 0.009 ERROR 10 SC Error = SC Total –SC Trat. SC Error/10 TOTAL 14 SC Total La prueba de hipótesis general del ANDEVA es : Ho: Todos los tratamientos tienen efectos iguales, versus Ha: Al menos dos tratamientos son diferentes.

13 Ho: µA = µB versus Ha: µA ≠ µB Ho: µA = µC versus Ha: µA ≠ µCComparación múltiple de medias Ejemplo Si la probabilidad de que haya un valor de F como el calculado es menor que 0.01, entonces se rechaza la hipótesis nula y se concluye que hay algunas diferencias entre tratamientos. Si no se tiene programado comparar algún tratamiento particular con otro u otros, la siguiente etapa en el ANDEVA es realizar pruebas de comparación múltiple de promedios. Las pruebas de comparación de promedios se realizan con dos tratamientos a la vez, por ejemplo: Ho: µA = µB versus Ha: µA ≠ µB Una vez concluida esa prueba se sigue con la siguiente prueba, por ejemplo: Ho: µA = µC versus Ha: µA ≠ µC Y así sucesivamente, hasta completar las 10 pruebas que se requieren para comparar todos los pares de medias de tratamientos entre sí.

14 Comparación múltiple de medias EjemploSin embargo, existe un problema: La probabilidad de los errores de la segunda prueba (error tipo I y error tipo 2) van a aumentar, debido a que ya se realizó la primera prueba (y se tiene una probabilidad de haber cometido el error tipo I ) por lo que la probabilidad de cometer el error tipo I en la segunda prueba será una probabilidad condicional: P{ Rechazar la hipótesis Ho: µA = µC /Dado que ya se rechazó (o no) la hipótesis Ho: µA = µB ). Esta probabilidad será ligeramente mayor que el valor de α (0.05 o 0.01) fijado para la primera prueba. Es así que si se partió de una valor de α de 0.05, con las 10 comparaciones que se van a realizar, se puede llegar a un nivel de α de 0.15, o sea, la última comparación va a tener un error de 0.15 en lugar del de 0.05 inicial. Es por este problema que se diseñaron e implementaron las pruebas de comparación múltiple de promedios, para trabajar con niveles controlados tanto del error tipo I, como del error tipo II.

15 Pruebas de comparación múltiple de promediosEl error tipo I de las pruebas de hipótesis consiste en rechazar la hipótesis nula, cuando ésta es en realidad cierta. La máxima probabilidad de cometer el error tipo I se puede fijar “a priori” con el valor α. En el caso de comparaciones múltiples entre pares de medias en forma simultánea, las probabilidades de cometer el error tipo I para todas las pruebas aumenta en forma secuencial a medida que se van realizando las pruebas entre pares de medias.

16 Pruebas de comparación de promediosLa probabilidad de cometer el error tipo I en la segunda comparación de promedios no es independiente de la probabilidad de haberlo cometido en la primera, de tal forma que las probabilidades de error tienden a crecer. En las pruebas de comparación múltiple de promedios, también se afecta la probabilidad de cometer el error tipo II, o sea, no rechazar una hipótesis nula que es falsa.

17 Pruebas de comparación de promediosLas pruebas de comparación múltiple de promedios suponen: Que se rechazó la hipótesis nula en el ANDEVA con cierto nivel de significancia α (Comúnmente α ≤ 0.05). Que las desviaciones estándar dentro de cada tratamiento son homogéneas para todos los tratamientos Y como consecuencia de B, Que la desviación estándar de una media se puede estimar con la desviación estándar del error del análisis de varianza (s2ε).

18 Pruebas de comparación de promediosPrueba múltiple de t de Student o Prueba DMS Es la prueba más simple, y consiste en comparar cada par de medias (ordenadas o no). DMS = sd  t[/2, (gl error)] La prueba de DMS no toma en cuenta la probabilidad de error acumulativo de las pruebas simultáneas, por lo que no es una prueba recomendada.

19 Pruebas de comparación de promediosLas pruebas de comparación múltiple de promedios son de dos tipos: Las que controlan la probabilidad de cometer el error tipo I conjunto, llamadas pruebas de “error por experimento”, y las que controlan el “error por prueba”.

20 Pruebas de comparación de promediosLas pruebas de Tukey y Scheffé, entre otras, controlan el error por experimento. Las pruebas de Duncan, Duncan-Waller, Student-Newman-Keuls y otras similares, controlan el error por prueba, y ponen mayor énfasis en el control de la probabilidad de cometer el error tipo II.  

21 Prueba de Tukey El juego de hipótesis es:Ho: Media Trat i = Media Tratj (para todos los pares de tratamientos) Ha: Media Trat i difiere de Media trat j. Se procede en la siguiente forma: 1. Se ordenan las medias de mayor a menor: {Y(t),Y(t-1),..,Y(1)}

22 2. Se calcula el estadístico de prueba: Tuk = Q[,(t,gl. error)]SyPrueba de Tukey 2. Se calcula el estadístico de prueba: Tuk = Q[,(t,gl. error)]Sy donde el valor de Q se encontrará en las tablas de Rangos Estudentizados Máximos, con  de probabilidad de rechazo, t tratamientos, y gl grados de libertad del error. El valor de sY es la desviación estandar de las medias de tratamientos, mencionada en párrafos anteriores.

23 Prueba de Tukey 3. Calcule la diferencia entre la media mayor con la menor: Y(t) -Y(1) = d (t) Compare esta diferencia con el valor Tuk. Si la diferencia es mayor, entonces las dos medias difieren significativamente; si no, ahí termina la prueba.** Continúe comparando la media mayor con la siguiente menor y repita la decisión del paso 3, hasta que llegue a la comparación de las medias contiguas. Continuará el proceso con la siguiente mayor comparada contra la menor, hasta que no encuentre más diferencias significativas. 5. Resuma los resultados en una tabla con las medias ordenadas e indicando con letras o con líneas las medias que son iguales estadísticamente.

24 Prueba de Tukey Ejemplo:  En un experimento de digestibilidad “in vivo” de 5 diferentes variedades de frijol (con 6 repeticiones), se realizó el siguiente análisis de varianza: Fuente gl Suma de Cuadrados Cuadrado Medio F calculada Variedades 4 453.53 113.38 14.59** Error 25 194.33 7.77 Total 29 647.87

25 Prueba de Tukey Sy = 2.79/6 = 1.139 Los estadísticos adicionales son:R² =0.70, CV=3.53, s(Error) = 2.79, Media general=78.93. El valor de Q de tablas, con 5 tratamientos, 25 gl error, y =0.05, es de Sy = 2.79/6 = 1.139 Tuk= 4.153* = VAR D VAR B VAR A VAR E VAR C 84.83 80.00 78.83 78.33 72.67 a b c

26 Prueba de Tukey usando el ejemplo de donasPrueba de Tukey en JMP Prueba de Tukey usando el ejemplo de donas

27 Pruebas de comparación múltiple de medias en Infostat (I)Para realizar la prueba se usa el menú de análisis de varianza, donde se indica la variable dependiente del modelo (Grasa), y las variables de clasificación (Trat, que son los tipos de masas). Se oprime Aceptar, y aparecerán las tres ventanas opcionales: Modelo, Comparaciones y Contrastes. Se escoge Comparaciones y en la lista de pruebas se escoge Tukey. Además, el nivel de significación (0.05), la forma de presentación de las medias (Orden ascendente), y si se quiere un gráfico de barras. Hay otras opciones que se explicarán en clase. Prueba de Tukey usando el ejemplo de donas

28 Pruebas de comparación múltiple de medias en Infostat (II)Prueba de Tukey usando el ejemplo de donas Los resultados serán: Un resumen del ajuste del modelo, un cuadro de Análisis de Varianza y una prueba de Tukey con el cuadro de medias y las letras. Por otro lado, aparecerá la gráfica de barras con las diferencia de Tukey.

29 Análisis de contrastesSean t medias de tratamientos que estamos comparando en el Andeva. Un contraste será: C = citi , donde las ti son los efectos de tratamientos y las ci son constantes tales que  ci=0. Un estimador del contraste será: Ce= (ciYi.)/ni, donde Yi. es la suma de las observaciones del tratamiento i-ésimo, ni es el número de observaciones que tiene el tratamiento i-ésimo y ci son las constantes de las que se habló arriba.

30 Análisis de ContrastesHipótesis para un contraste: Ho: C = 0 ; Ha: C  0 Nivel de significancia : El mismo que se usa para la prueba de F del análisis de varianza (). Estadísticos de prueba : t = Ce / sCe , donde sCe = se (ci2/ni) F = CMCe / CME donde CMCe= (Ce)2 / (ci2/ni) CME= Cuadrado Medio del Error en el ANDEVA, (se2).

31 Análisis de ContrastesSea un experimento donde se están probando cuatro dietas, dos de las cuales contienen vitamina B12 y las otras dos contienen antibióticos, ambas en diferentes dosis. Hay 5 pacientes por dieta, y se está midiendo el contenido de hierro. Denominaremos a las medias como ab11, ab12, ab21, y ab22 para antibióticos y vitamina B12 respectivamente. El análisis de la varianza nos reporta que el cuadrado medio del error fue de , y la suma de cuadrados de tratamientos fue de

32 Análisis de ContrastesSe desea comparar las dietas con vitamina B12 contra las dietas con antibióticos, y a su vez, las dosis de vitamina B12, y las dosis de antibióticos. C1= (AB11 + AB12) ‑ (AB21 + AB22) Compara las dos medias de antibióticos a la dosis 1 contra las medias que contienen antibióticos a la dosis 2.

33 Análisis de contrastesC2= (AB11 ‑ AB12) + (AB21 - AB22) Compara las dos medias de vitamina B12 a la dosis 1 contra las medias que contienen vitamina B a la dosis 2. C3= (AB11 ‑ AB12 - AB21 + AB22) Compara la media con vitamina B a la dosis 1 contra la media que contienen vitamina B a la dosis 2, en los tratamientos que tienen antibióticos a la dosis 1; y hace la misma comparación para el nivel 2 de antibióticos (Este contraste estima la interacción entre antibiótico y vitamina B).

34 Análisis de contrastesSe desea comparar las dietas con vitamina B12 contra las dietas con antibióticos, y a su vez, las dosis de vitamina B12, y las dosis de antibióticos. C1= (AB11 + AB12) ‑ (AB21 + AB22) Compara las dos medias de antibióticos a la dosis 1 contra las medias que contienen antibióticos a la dosis 2.

35 Análisis de contrastesEl análisis planteado en forma manual será como en el cuadro siguiente: TRAT AB11 AB AB21 AB22 Ce Divisor SC(Ce)=(Ce)²/ Div Yi. ni C1 -0.54 1.33 0.2192  C2 -0.167 0.0210 C3 0.48 0.1732 Suma= La fórmula general es: Ce = (cijYi.)/ni , DIV= (cij2/ni), y SC(Ce) = (Ce)2/DIV.  

36 Análisis de Varianza de ContrastesFuente gl S. de Cuadrados Cuadrado Medio F calculada Trat. 3 0.4134 0.1375 37.46** C1 1 0.2192 59.73** C2 0.0210 0.0209 5.69* C3 0.1732 47.19** Error 8 0.0293 Total 11 0.4427

37 Procedimiento para analizar contrastes (JMP)Se realiza el ANDEVA en JMP usando Fit Model. En la ventana de resultados se escoge “Effect Details”. En ese submenú está la opción de contrastes. Se escoge adicionar contrastes, y aparecerá una ventana con una tabla donde en las hileras están los tratamientos, y consiste de tres columnas: Una con coeficientes (al inicio serán todos 0) y las dos siguientes serán signos de + y de -.

38 Procedimiento para analizar contrastes (JMP)Se oprime el mouse en la columna de +, si se quiere poner signo positivo al tratamiento del contraste, o en la columna de – si se quiere poner signo negativo. Se completan los signos de todos los tratamientos que se van a incluir en el contraste. A los tratamientos que no están incluidos en el contraste no se les pone signo, así permanecerán con un coeficiente de 0. Los resultados del análisis del contraste aparecerán en la parte inferior de la ventana del efecto analizado.

39 Procedimiento para analizar contrastes (JMP)Este es un ejemplo con los datos de DONAS, donde se realizó un contraste entre la masa 2 y la masa 4.

40 Procedimiento para analizar contrastes (Infostat)El procedimiento es similar al del JMP, pero está en las opciones del análisis de varianza en el submenú “Contrastes”. El proceso se ilustra más adelante con polinomios ortogonales.

41 Regresión de tratamientos cuantitativosEn los casos en que los tratamientos son cuantitativos, una prueba apropiada después del análisis de varianza, consistirá en comprobar si hay algún tipo de regresión entre la respuesta (Y) y los niveles de los tratamientos. Para esto se puede optar por dos procedimientos: Estimar un modelo de regresión usando las medias de tratamientos como Y, y los niveles de tratamientos como X.

42 Regresión de tratamientos cuantitativosEstimar polinomios ortogonales usando contrastes apropiados. Con el ejemplo siguiente veremos el uso de los dos procedimientos.

43 Polinomios ortogonalesLos polinomios ortogonales son una forma de contraste donde lo que se quiere saber es si existe una regresión (lineal simple, cuadrática, de tercer grado, etc..) entre la variable dependiente y los niveles del tratamiento cuantitativo. En lugar se los valores reales del tratamiento cuantitativo se usan transformaciones lineales que hacen independientes los términos de la regresión. De esta forma se tienen contrastes para la regresión lineal simple, para el término cuadrático, cúbico, etc.

44 Polinomios ortogonalesLos valores de X para hacer contrastes del tipo de polinomios ortogonales van a depender del número de niveles que tiene el tratamiento cuantitativo estudiado. Estos valores se pueden obtener de tablas de coeficientes para polinomios ortogonales (están en las lecturas complementarias de este tema)

45 Regresión de tratamientos cuantitativosSe realizó un experimento para comparar la textura de 5 tipos de chocolate, clasificados en cuanto a su contenido de manteca de cacao en porcentaje: 35, 40, 45, 50, 55. Se usaron 6 panelistas para evaluar sensorialmente cada muestra de chocolate en forma ordenada de peor a mejor textura (calificación de 1 a 5). Los datos están en una escala de orden, y fueron transformados para “normalizarlos”.

46 Regresión de tratamientos cuantitativosMUESTRA 45% 40% 55% 50% 35% 1 -0.5 1.16 0.5 -1.16 2 3 4 5 6 Medias -0.277 -0.360 0.940 0.553 -0.857

47 Polinomios ortogonales (JMP)

48 Polinomios ortogonales (JMP)

49 Polinomios ortogonales (Infostat)

50 Polinomios ortogonales (Infostat)

51 Regresión de tratamientos cuantitativosLos datos y el modelo para estimar regresión serán los siguientes: i 2 1 X Y e + b a = X 35 40 45 50 55 Y -0.857 -0.360 -0.277 0.553 0.940

52 Regresión de tratamientos cuantitativosSe realizarán cálculos usando el JMP.

53 Regresión de tratamientos cuantitativosSe realizarán cálculos usando el JMP.

54 EJERCICIO Compare los resultados de las dos formas de estimar la regresión de tratamiento. a) Han cambiado los resultados? b) Si cambiaron, ¿En qué estriban las diferencias?

55 Resumen Selección de las pruebas posteriores al ANDEVAPruebas de comparación de promedios Uso de JMP e Infostat para pruebas de comparación de promedios Contrastes y su análisis Uso de JMP e Infostat para análisis de contrastes Regresión de tratamientos cuantitativos Polinomios ortogonales y uso de JMP e Infostat para polinomios ortogonales Regresión de tratamientos y uso de JMP e Infostat para su cálculo.