1 Analiza matematyczna - Badanie przebiegu zmienności funkcji wykład IVAutor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski

2 Spis treści: Założenia AsymptotyPrzykłady obliczania asymptoty funkcji Monotoniczność funkcji Ekstrema funkcji Wypukłość i wklęsłość wykresu, punkty przegięcia Badanie funkcji

3 Założenia Badanie przebiegu zmienności funkcji pozwala na uzyskaniewyczerpującej informacji o funkcji. W celu badania przeprowadza się : - analizę funkcji , - analizę pierwszej pochodnej , - analizę drugiej pochodnej . Na podstawie uzyskanych wyników sporządza się tabelę zmienności funkcji i wykres funkcji .

4 Analiza funkcji 1). Znalezienie dziedziny ;2). Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności ; 3). Obliczenie asymptot ; 4). Znalezienie punktów przecięcia z osiami ; 5). Określenie parzystości, okresowości, ciągłości .

5 Analiza pierwszej pochodnej1). Znalezienie ekstremów ; 2). Określenie przedziałów monotoniczności .

6 Analiza drugiej pochodnej1). Znalezienie punktów przegięcia ; 2). Określenie przedziałów wypukłości i wklęsłości .

7 Asymptoty  Pionowe ,  Poziome ,  Pochyłe (ukośne) . twierdzenie

8 Asymptoty pionowe Definicja :Zakłada się, że dziedzina funkcji zawiera pewne sąsiedztwo prawostronne lub lewostronne punktu . Definicja : Prostą o równaniu nazywa się asymptotą pionową funkcji wtedy i tylko wtedy , gdy istnieje granica niewłaściwa - asymptota pionowa lewostronna , lub - asymptota pionowa prawostronna . Jeżeli prosta jest jednocześnie asymptotą pionową lewo i prawostronną mówi się, że jest asymptotą pionową obustronną .

9 Asymptoty poziome Definicja : Prostą o równaniu lub nazywa sięZakłada się, że dziedzina funkcji zawiera przedział lub . Definicja : Prostą o równaniu lub nazywa się asymptotą poziomą funkcji wtedy i tylko wtedy , gdy istnieje granica niewłaściwa - asymptota pozioma lewostronna , lub - asymptota pozioma prawostronna . Jeżeli to mówi się, że jest asymptotą poziomą obustronną .

10 Asymptoty pochyłe (ukośne)Zakłada się, że dziedzina funkcji zawiera przedział lub . Definicja : Prostą o równaniu dla nazywa się asymptotą pochyłą funkcji wtedy i tylko wtedy , gdy istnieje granica niewłaściwa - asymptota pozioma lewostronna , lub - asymptota pozioma prawostronna . Jeżeli asymptota pochyła jest jednocześnie asymptotą lewo i prawostronną To prostą nazywa się asymptotą pochyłą obustronną .

11 Asymptoty pochyłe (ukośne) - twierdzenieJeżeli funkcja o równaniu ma asymptotę pochyłą o równaniu , to oraz .

12 Przykłady obliczania asymptot funkcji, b) , c) , d) .

13 Obliczanie asymptot funkcji -aPonieważ asymptoty pionowej brak . - lewostronnej asymptoty poziomej brak . - prawostronnej asymptoty poziomej brak .

14 Obliczanie asymptot funkcji - a asymptota ukośnaPonieważ nie ma asymptoty poziomej sprawdza się istnienie asymptoty . - asymptoty ukośnej brak . Wykres funkcji nie ma asymptot .

15 Obliczanie asymptot funkcji -b- asymptoty pionowej prawostronnej brak.

16 Obliczanie asymptot funkcji -b asymptota pionowa- prosta jest obustronną asymptotą pionową.

17 Obliczanie asymptot funkcji -b asymptota poziomaH - prawostronnej asymptoty poziomej brak .

18 Obliczanie asymptot funkcji -b asymptota ukośna- prawostronnej asymptoty ukośnej brak.

19 Obliczanie asymptot funkcji -c asymptota pionowa- lewostronna asymptota pionowa - prawostronna asymptota pionowa - prosta jest obustronną asymptotą pionową.

20 Obliczanie asymptot funkcji -c asymptota poziomaH H - lewostronnej asymptoty poziomej brak Łatwo sprawdzić, że prawostronnej asymptoty poziomej brak .

21 Obliczanie asymptot funkcji -c asymptota ukośna- lewostronna asymptota ukośna . Łatwo sprawdzić, że jest obustronną asymptotą ukośną .

22 Obliczanie asymptot funkcji -dAsymptoty pionowej brak . - lewostronna asymptota pozioma . Łatwo sprawdzić, że jest obustronną asymptotą poziomą .

23 Monotoniczność funkcjiNa to, by funkcja była stała w przedziale potrzeba i wystarcza, aby dla każdego . Jeżeli w każdym punkcie przedziału , to funkcja jest na tym przedziale rosnąca . Jeżeli w każdym punkcie przedziału , to funkcja jest na tym przedziale malejąca .

24 Przykłady obliczania monotoniczności funkcji; b) ; c) ; d) .

25 Przykłady obliczania monotoniczności funkcji - aFunkcja jest malejąca w przedziale . Funkcja jest rosnąca w przedziałach oraz .

26 Przykłady obliczania monotoniczności funkcji - bFunkcja jest rosnąca w całym przedziale określoności .

27 Przykłady obliczania monotoniczności funkcji - cFunkcja jest rosnąca w przedziale . Funkcja jest malejąca w przedziale .

28 Przykłady obliczania monotoniczności funkcji - dFunkcja jest rosnąca w przedziałach oraz .

29  WWE - Warunek Wystarczający EkstremumEkstrema funkcji Maksima i minima funkcji nazywa się ekstremami .  WKE - Warunek Konieczny Ekstremum ,  WWE - Warunek Wystarczający Ekstremum ,  WWE - Warunek Wystarczający Ekstremum - druga pochodna .

30 WKE-Warunek Konieczny EkstremumWarunek jest warunkiem koniecznym na to , aby funkcja różniczkowalna w punkcie miała w tym punkcie ekstremum . Funkcja może mieć ekstremum jedynie w tych punktach, w których bądź pochodna nie istnieje, bądź jest równa .

31 WWE-Warunek Wystarczający EkstremumJeżeli , a ponadto : zmienia znak z ujemnego na dodatni gdy , rosnąc przechodzi przez , to w punkcie funkcja ma minimum . zmienia znak z dodatniego na ujemny, gdy , rosnąc przechodzi przez , to w punkcie funkcja ma maksimum .

32 WWE-Warunek Wystarczający Ekstremum za pomocą drugiej pochodnejJeżeli funkcja , ma w pewnym otoczeniu punktu drugą pochodną, która jest ciągła w punkcie i i ,to funkcja w punkcie ma : minimum ,gdy maksimum ,gdy

33 Przykłady obliczania ekstremum funkcji; b) ; c) ; d) .

34 Przykłady obliczania ekstremum funkcji - aWKE : Nie ma spełniającego WKE. Funkcja nie ma ekstremum .

35 Przykłady obliczania ekstremum funkcji - b- nie ma takiego x w R. WKE : - należy do dziedziny funkcji , ale nie należy do dziedziny pochodnej. WWE : Zarówno dla x > 0 jak i x < 0 nie zmienia się znak pochodnej. Funkcja w punkcie x = 0 nie ma ekstremum.

36 Wypukłość i wklęsłość wykresu, punkty przegięcia.

37 Wypukłość wykresu funkcjiKrzywa jest wypukła w pewnym przedziale, jeśli we wszystkich punktach tego przedziału leży ona poniżej swych stycznych. Jeśli w pewnym przedziale , to krzywa jest w tym przedziale wypukła.

38 Wklęsłość wykresu funkcjiKrzywa jest wklęsła w pewnym przedziale, jeśli we wszystkich punktach tego przedziału leży ona powyżej swych stycznych. Jeśli w pewnym przedziale , to krzywa jest w tym przedziale wklęsła .

39 Zmiana krzywej z wypukłej na wklęsłą lub odwrotniePunkty przegięcia WKPP - Warunek Konieczny Punktu Przegięcia : albo nie istnieje w dziedzinie funkcji . WWPP - Warunek Wystarczający Punktu Przegięcia : Zmiana krzywej z wypukłej na wklęsłą lub odwrotnie wokół punktu z WKPP .

40 Przykład obliczania punktu przegięcia

41 Przykład obliczania PP -cdWKPP : WWPP : i nie wpływa na znak pochodnej Funkcja ma w punktach x = -1 oraz x = 1 punkty przegięcia .

42 Badanie funkcji 1). Znalezienie dziedziny .2). Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności . 3). Obliczenie asymptot . 4). Znalezienie punktów przecięcia z osiami . 5). Określenie parzystości, okresowości . 6). Znalezienie ekstremów . 7). Znalezienie punktów przegięcia . 8). Tabela . 9). Wykres funkcji .

43 Badanie funkcji - przykład Znalezienie dziedziny: i

44 Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności

45 Obliczenie asymptot x = 0 - asymptota pionowa prawostronnaH H y = x asymptota ukośna prawostronna.

46 Znalezienie punktów przecięcia z osiamiwartość przybliżona

47 Określenie parzystości, okresowościFunkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta, gdyż D: x > 0. Funkcja jest nieokresowa.

48 Znalezienie ekstremówWKE : Nie ma ekstremum . funkcja stale rosnąca .

49 Znalezienie punktów przegięciaWKPP :

50 Tabela

51 Wykres funkcji PP