1 Analiza matematyczna - Ciągi liczbowe wykład IAutor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski

2 Spis treści: Definicja ciągu liczbowego Określenie typu ciąguOkreślenie ciągu Monotoniczność ciągu Ograniczoność ciągu Ważniejsze ciągi Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny Granice ciągu Wybrane twierdzenia o granicy ciągu Rachunek granic ciągów liczbowych - znane granice Przykłady

3 Definicja ciągu liczbowegoFunkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N , lub jego skończony odcinek początkowy , a przeciwdziedziną wyrazy będące liczbami z dowolnego zbioru liczbowego nazywa się : ciągiem liczbowym .

4 Typ ciągu Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór N, ciąg nazywa się nieskończonym . Jeżeli dziedziną funkcji jest skończony odcinek początkowy , ciąg nazywa się skończonym lub n-elementowym .

5 Ciąg liczbowy można określić jednym z następujących sposobów:Określenie ciągu Ciąg liczbowy można określić jednym z następujących sposobów: - przez podanie wzoru na ogólny wyraz ciągu np. , - przez podanie wzoru rekurencyjnego np. , - przez podanie kolejnych wyrazów ciągu np. , , , , .

6 Monotoniczność ciągu Ciąg { } jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej n zachodzi: lub . Ciąg { } jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej n zachodzi: lub .

7 Ograniczoność ciągu Ciąg { } jest ograniczony z góry wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba B, że każdy wyraz ciągu: Ciąg { } jest ograniczony z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba A, że każdy wyraz ciągu: Ciąg { } jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby A i B (A

8 Ważniejsze ciągi Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny definicjatwierdzenia Ciąg geometryczny definicja twierdzenia

9 Ciąg arytmetyczny Definicja:Ciągiem arytmetycznym nazywa się ciąg liczbowy, którego każdy wyraz (począwszy od drugiego) powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r zwanej różnicą ciągu. Dla każdej liczby naturalnej n lub .

10 Twierdzenia dotyczące ciągu arytmetycznego, , .

11 Ciąg geometryczny Definicja:Ciągiem geometrycznym nazywa się ciąg liczbowy, którego każdy wyraz (począwszy od drugiego) powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę q zwaną ilorazem ciągu. Dla każdej liczby naturalnej n lub .

12 Twierdzenia dotyczące ciągu geometrycznego, , . Jeżeli | q | < 1, to suma nieskończona ciągu geometrycznego .

13 Granice ciągu . Definicja:Liczbę g nazywa się granicą ciągu liczbowego nieskończonego , jeżeli każde jej otoczenie zawiera prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Przez otoczenie liczby należy rozumieć dowolny przedział otwarty zawierający liczbę g. Liczba taka, jeżeli istnieje jest jedyna . Oznacza się ją symbolem : .

14 Granice ciągu cd. Definicja:Ciąg nieskończony, który ma granicę skończoną nazywa się zbieżnym. W przeciwnym przypadku mówi się o ciągu rozbieżnym.

15 Wybrane twierdzenia o granicy ciąguJeżeli i , to: , , , dla .

16 Wybrane twierdzenia o granicy ciągu cd.Jeżeli dane są trzy ciągi , i takie, że od pewnego n poczynając i takie, że , to istnieje granica ciągu i .

17 Rachunek granic ciągów liczbowych - znane granice, , , gdy .

18 Rachunek granic ciągów liczbowych - znane granice cd., , gdy , gdy , , gdy , , Można również korzystać ze wzorów skróconego mnożenia i działań na potęgach.

19 Przykłady , a) b) , c) . Tabela

20 Przykład a) Tabela

21 Przykład b) Tabela

22 Przykład c) Tabela

23 Uproszczony zapis Jeżeli to i i i i i i i wymaga szczególnego badania

24 dodatek - przykład b-1 Tabela

25 dodatek - przykład b-2 Jeżeli ciąg ma granicę , to ciąg , gdziejest ustaloną liczbą naturalną, ma granicę . Tabela