1 Analiza Matematyczna część 3[wersja z 15 III 2007] Analiza Matematyczna część 3 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 2006/2007 Wojciech Broniowski

2 Różniczkowalność

3 Pochodna funkcji jednej zmiennej

4 Interpretacja geometryczna pochodnej – styczna w punkcie x0 ma nachylenie a

5 o małe, O duże, ...

6

7 Obliczanie pochodnych

8 Wyprowadzenia:

9

10

11 Przykłady: Od wewnątrz do zewnątrz Od zewnątrz do wewnątrz Różniczkowanie po obu stronach

12 Styczna do krzywej Znajdź styczną do okręgu w pkt. ARóżniczkowanie po obu stronach Wartość pochodnej Równanie stycznej z parametrem b Wyznaczenie b – pkt. A należy do stycznej Równanie stycznej

13 Kąt przecięcia krzywychKrzywa parametryczna

14 Funkcja pochodna Funkcja pochodna przyporządkowujepunktowi z przedziału otwartego (a,b) wartość pochodnej funkcji w tym punkcie

15

16 Pochodne wyższych rzędówJeśli funkcja f’ jest różniczkowalna, to możemy zdefiniować jej pochodną, itd.

17 Wzór Leibniza

18 Tw. o ekstremach

19 Tw. Rolle’a Kontrprzykłady: funkcja nieciągła i nieróżniczkowalna

20 Tw. Cauchy’ego Tw. Lagrange’a (prędkość średnia i chwilowa)

21 Przykład (tw. Lagrange’a):

22 Tw. Taylora

23 Znaczenie tw. Taylora: dość łatwe przybliżanie funkcji n-krotnie różniczkowalnych wielomianem stopnia n-1. Dla „regularnych” funkcji reszta jest mała i metoda jest tym dokładniejsza, im większe jest n.

24 (RR) Przybliżanie funkcji exp(x-1) z pomocą wzoru Taylora dla kolejnych n

25 f(x)=sin(x) n=1 n=5 n=10 n=20

26 Szereg (rozwinięcie) Taylora

27 Przykład funkcji mającej wszystkie pochodne i nie posiadającejrozwinięcia Taylora wokół x=0: exp(-1/x2). Pochodne nie są ograniczone! Wszystkie pochodne w x=0 znikają. f’’’(x) f’’(x) f’(x)

28

29 Funkcje hiperboliczne

30 cosh sinh tanh=sinh/cosh

31 Tw. o ekstremach

32

33 Wypukłość

34 Reguła de L’Hospitala

35

36

37 Badanie funkcji 0) Dziedzina Miejsca zeroweParzystość, nieparzystość, okresowość Ciągłość, granice w punktach nieciągłości i na krańcach przedziałów określoności Asymptoty Różniczkowalność Monotoniczność i ekstrema Druga pochodna, wypukłość, punkty przegięcia Tabela przebiegu funkcji Szkic wykresu Przeciwdziedzina (kolejność dowolna!)

38

39 Całkowanie

40 Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna)Funkcja pierwotna określona jest z dokładnością do stałej, tzn. jeśli F(x) jest funkcją piewrotną, to F(x)+C jest również funkcją pierwotną, ponieważ (F(x)+C)’=F’(x)=f(x). Całkowanie: operacja odwrotna do różniczkowania

41

42 Całkowanie przez części

43 Całkowanie przez podstawienie

44

45 Wzory rekurencyjne (użyteczne w wielu obliczeniach)

46 Całkowanie funkcji wymiernych

47 Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste

48

49 Całkowanie funkcji niewymiernychpodstawienia Eulera

50 Całka oznaczona Riemanna

51

52

53

54 Zastosowania całek Geometria: pole figury, objętość bryły, długość krzywej Miara Jordana (fiz.) zbioru (tu: 2-wymiarowego): 1) otaczamy zbiór ograniczony A prostokątem S o bokach a,b 2) dzielimy S na n2 mniejszych prostokątów jak na rysunku (pole każdego prostokąta wynosi ab/n2 3) zliczamy wszystkie prostokąty zawarte w A i oznaczamy ich pole jako sn 4) zliczamy wszystkie prostokąty, które zawierają jakiś punkt zbioru A i oznaczamy ich pole jako Sn 6) Jeżeli s*=S*=P, to A jest mierzalny w sensie Jordana, a P nazywamy jego polem Uwaga: miara Jordana brzegu, S*-s*, wynosi 0 dla zbioru mierzalnego

55 Przykłady zbiorów niemierzalnych w sensie Jordana(przejście graniczne z liczbą wierzchołków przed pomiarem w sensie Jordana) Inne: trójkąt Sierpińskiego, fraktale

56 Uwagi: W trzech wymiarach konstrukcja miary Jordana jest analogiczna – używamy prostopadłościanów. W większej liczbie wymiarów używamy hiperkostek. W jednym wymiarze (do pomiaru zbioru leżącego na prostej) używamy odcinków. Przy zmianie skali długości, L, pole zmienia się jak L2, objętość jak L3, hiperobjętość jak Ld, gdzie d jest liczbą wymiarów przestrzeni

57 Pole figury płaskiej Dowód wynika natychmiast z analogii konstrukcji miary Jordana i całki Riemanna

58

59

60 Objętość bryły obrotowej

61 Pole pobocznicy bryły obrotowej

62 Długość krzywej

63 Całki niewłaściwe

64

65 Kryterium całkowe zbieżności szereguPodstawowa idea:

66

67

68 Stała Eulera-MascheroniegoNie wiadomo, czy jest liczbą wymierną czy niewymierną! Występuje w wielu całkach i szeregach, np.

69 Granica pod całką

70

71 Różniczkowanie po parametrzeBardzo użyteczna sztuczka!

72 Całkowanie funkcji oscylujących