1 Analiza matematyczna - Funkcje jednej zmiennej wykład IIAutor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski

2 Spis treści: Funkcje jednej zmiennej Granica funkcji w punkcieGranica niewłaściwa Granice jednostronne Granica funkcji w nieskończoności Ważniejsze granice Ważniejsze granice-cd Rachunek granic Przykłady Ciągłość funkcji Przykłady obliczania ciągłości funkcji Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie Wybrane twierdzenia

3 Funkcje jednej zmiennejDefinicja: Każde przyporządkowanie liczbie x ze zbioru X dokładnie jednej liczby y ze zbioru Y nazywa się funkcją i oznacza się . Dziedziną funkcji nazywa się zbiór takich wartości x, dla których y ma sens liczbowy .

4 Granica funkcji w punkcieZakłada się, że funkcja jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu czyli na zbiorze , gdzie jest pewną liczbą dodatnią .

5 Granica funkcji w punkcie- wg HeinegoDefinicja wg Heinego: Liczbę g nazywa się granicą funkcji w punkcie , jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach i zbieżnego do ciąg wartości funkcji jest zbieżny do g . dodatek

6 Granica funkcji w punkcie- wg Heinego symbolicznie. dodatek

7 Granica funkcji w punkcie- wg Cauchy’egoDefinicja wg Cauchy’ego: Liczbę g nazywa się granicą funkcji w punkcie wtedy i tylko wtedy , jeżeli dla każdej liczby istnieje taka liczba , że dla każdego spełniającego warunek spełniona jest nierówność . dodatek

8 Granica funkcji w punkcie- wg Cauchy’ego - symbolicznie. dodatek

9 Granica funkcji w punkcie -dodatekObie definicje są równoważne. Granicę nazywa się granicą właściwą . Definicja wg Heinego: Definicja Cauchy’ego:

10 Niektóre twierdzenia dotyczące granicJeżeli i , to : , , , dla , , gdy c jest stałą.

11 Granica niewłaściwa W odróżnieniu od granic właściwych - liczba rzeczywista - granice niewłaściwe funkcji to, lub lub Można jak i dla granic właściwych podać definicje granic niewłaściwych wg Heinego i wg Cauchy’ego .

12 Granica funkcji w punkcie- wg Heinego 2Definicja: Funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą , jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach ( sąsiedztwo punktu ) i zbieżnego do , ciąg wartości funkcji jest zbieżny do . Granica niewłaściwa Granica niewłaściwa wg Cauchy’ego

13 Granica funkcji w punkcie- wg Cauchy’ego 2Definicja: Funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą , wtedy i tylko wtedy , gdy dla dowolnej liczby M istnieje taka liczba , że dla każdego spełniającego warunek spełniona jest nierówność . Granica niewłaściwa Granica niewłaściwa wg Heinego

14 Granice jednostronne Jeżeli funkcjajest określona w prawostronnym sąsiedztwie punktu , to granicę w punkcie funkcji zawężonej do tego sąsiedztwa nazywa się prawostronną granicą funkcji w punkcie i oznacza się . Analogicznie definiuje się lewostronną granicę funkcji w punkcie .

15 Granice jednostronne - twierdzenieFunkcja ma granicę w punkcie (właściwą lub niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy , gdy istnieje w tym punkcie granica lewostronna i prawostronna i granice te są sobie równe . Granice jednostronne

16 Granica funkcji w nieskończonościO granicy funkcji w nieskończoności mówi się wtedy, gdy funkcja określona jest w przedziale albo i dąży do lub . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

17 Granica funkcji w nieskończoności-cdGranicę funkcji w nieskończoności oblicza się analogicznie jak granicę ciągu. Może ona być granicą właściwą lub niewłaściwą . W każdym przypadku można zapisać definicje wg Heinego i równoważne im definicje wg Cauchy’ego . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

18 Ważniejsze granice , dla , , , dla , dla , , , dla , , , .Granice jednostronne Granica niewłaściwa

19 Ważniejsze granice-cd., , , , granica nie istnieje, ponieważ w każdym sąsiedztwie punktu lub funkcja przyjmuje wszystkie wartości między -1 i 1 . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

20 Rachunek granic  jeżeli rozpatrywana funkcja jest funkcją elementarną i jeżeli wartość graniczna argumentu należy do dziedziny funkcji, to obliczanie granicy sprowadza się do podstawienia wartości granicznej argumentu ,  jeżeli argument dąży do nieskończoności lub do liczby nie należącej do dziedziny, to w każdym z tych przypadków poszukiwanie granicy funkcji wymaga specjalnego badania . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

21 Ciągłość funkcji - otoczenieNiech funkcja będzie określona na pewnym otoczeniu Q punktu , czyli na zbiorze , gdzie jest pewną liczbą dodatnią . Twierdzenie Granica funkcji w punkcie

22 Ciągłość funkcji - definicjanazywa się ciągłą w punkcie wtedy i tylko wtedy , gdy . Można podać definicje wg Heinego i równoważne im definicje wg Cauchy’ego . Twierdzenie Granica funkcji w punkcie

23 Ciągłość funkcji - cd Definicja: Funkcję nazywa się prawostronnie(lewostronnie) ciągłą w punkcie , wtedy i tylko wtedy , gdy albo . Twierdzenie Granica funkcji w punkcie

24 Ciągłość funkcji - tw. Twierdzenie: Na to, by funkcjabyła ciągła w punkcie potrzeba i wystarcza , aby funkcja : — była określona w punkcie , — miała równe granice jednostronne , — miała wartość w punkcie równą granicom jednostronnym . Definicja Definicja cd Granica funkcji w punkcie

25 Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcieMówi się, że funkcja jest nieciągła w punkcie , jeżeli jest określona dla punktów dowolnie bliskich punktu , ale w samym punkcie nie spełnia któregokolwiek z warunków ciągłości . Punkt nazywa się wtedy punktem nieciągłości . Granica funkcji w punkcie

26 Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcieDefinicja nieciągłości pierwszego rodzaju Definicja nieciągłości drugiego rodzaju Nieciągłość usuwalna Granica funkcji w punkcie

27 Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie - definicja pierwszego rodzajuJeżeli istnieją jednostronne granice właściwe w punkcie nieciągłości , to taką nieciągłość nazywa się , nieciągłością pierwszego rodzaju . Granica funkcji w punkcie

28 Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie - definicja drugiego rodzajuJeżeli nie istnieją jednostronne granice właściwe w punkcie nieciągłości , to taką nieciągłość nazywa się , nieciągłością drugiego rodzaju . Granica funkcji w punkcie

29 Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie - nieciągłość usuwalnaJeżeli jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju funkcji , a ponadto , to mówi się, że funkcja ma w punkcie , nieciągłość usuwalną . Np.: , . Granica funkcji w punkcie

30 Przykłady a). , b). , Granice jednostronne Granica niewłaściwa

31 Przykład a H . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

32 Przykład b . , Granice jednostronne Granica niewłaściwa

33 Wybrane twierdzenia Funkcje elementarne Funkcje nieelementarneMiejsce zerowe funkcji Granice jednostronne Granica niewłaściwa

34 Wybrane twierdzenia-1 Wszystkie funkcje elementarnesą ciągłe w obszarze ich określoności, a punkty nieciągłości do tego obszaru nie należą . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

35 Wybrane twierdzenia-2 Funkcja nieelementarna może mieć nieciągłościzarówno w punktach w których jest określona , jak i w punktach, w których nie jest określona . Granice jednostronne Granica niewłaściwa

36 Wybrane twierdzenia-3 Jeżeli funkcjajest oznaczona i ciągła w przedziale domkniętym i na końcach tego przedziału wartości i mają znaki różne , to między a i b istnieje co najmniej jedna taka wartość c , dla której jest równe zeru . Granice jednostronne Granica niewłaściwa