1 Analiza matematyczna III. Funkcje Funkcje I – własności podstawoweWYKŁAD 4 Funkcje I – własności podstawowe Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

2 Plan wykładu definicje granic funkcji;twierdzenia o granicach właściwych i niewłaściwych funkcji.

3 Definicje granic funkcjiSąsiedztwo punktu Sąsiedztwem o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbiór: R x0 + r x0 - r x0 S(x0,r)

4 Definicje granic funkcjiSąsiedztwo punktu Sąsiedztwem lewostronnym o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbiór: Sąsiedztwem prawostronnym o promieniu r>0 punktu x0R nazywamy zbiór:

5 Definicje granic funkcjiSąsiedztwo punktu Sąsiedztwem - nazywamy zbiór: Sąsiedztwem  nazywamy zbiór :

6 Definicje granic funkcjiGranica właściwa funkcji w punkcie Definicja Heinego Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

7 Definicje granic funkcjiGranica właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

8 Definicje granic funkcjiGranica właściwa funkcji w punkcie Jeśli istnieją ciągi spełniające warunki: to granica nie istnieje.

9 Definicje granic funkcjiGranica właściwa funkcji w punkcie Definicja Cauchy’ego Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

10 Definicje granic funkcjiGranica właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

11 Definicje granic funkcjiGranica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Definicja Heinego Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie . Liczba g jest granicą właściwą lewostronną funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

12 Definicje granic funkcjiGranica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

13 Definicje granic funkcjiGranica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Definicja Cauchy’ego Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie . Liczba g jest granicą lewostronną właściwą funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

14 Definicje granic funkcjiGranica lewostronna właściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

15 Definicje granic funkcjiGranica właściwa funkcji w punkcie Granice prawostronne definiujemy w sposób analogiczny.

16 Definicje granic funkcjiGranica niewłaściwa funkcji w punkcie Definicja Heinego Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0). Funkcja f ma granicę niewłaściwą  w punkcie x0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

17 Definicje granic funkcjiGranica niewłaściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

18 Definicje granic funkcjiGranica niewłaściwa funkcji w punkcie Definicja Cauchy’ego Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0). Funkcja f ma granicę niewłaściwą  w punkcie x0, co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

19 Definicje granic funkcjiGranica niewłaściwa funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

20 Definicje granic funkcjiGranica niewłaściwa funkcji w punkcie Granice niewłaściwe - funkcji w punkcie definiujemy w sposób analogiczny.

21 Definicje granic funkcjiGranica funkcji w punkcie Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy w punkcie Funkcja f ma w punkcie x0 granicę właściwą (niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy:

22 Definicje granic funkcjiGranica właściwa funkcji w nieskończoności Definicja Heinego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w , co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

23 Definicje granic funkcjiGranica właściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

24 Definicje granic funkcjiGranica właściwa funkcji w nieskończoności Jeśli istnieją ciągi spełniające warunki: to granica nie istnieje.

25 Definicje granic funkcjiGranica właściwa funkcji w nieskończoności Definicja Cauchy’ego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w , co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

26 Definicje granic funkcjiGranica właściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

27 Definicje granic funkcjiGranica właściwa funkcji w nieskończoności Granice właściwe funkcji w - definiujemy w sposób analogiczny.

28 Definicje granic funkcjiGranica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Definicja Heinego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(). Funkcja f ma w  granicę niewłaściwą , co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

29 Definicje granic funkcjiGranica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

30 Definicje granic funkcjiGranica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Definicja Cauchy’ego Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(). Funkcja f ma w  granicę niewłaściwą , co zapisujemy: wtedy i tylko wtedy, gdy:

31 Definicje granic funkcjiGranica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

32 Definicje granic funkcjiGranica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Odpowiednie granice niewłaściwe funkcji w - definiujemy w sposób analogiczny.

33 Granice funkcji Równoważność definicji granic funkcji Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy’ego granic funkcji są równoważne.

34 Twierdzenia o granicach właściwych funkcjiGranice funkcji Twierdzenia o granicach właściwych funkcji

35 Granice funkcji Twierdzenie o granicy funkcji złożonej Jeśli funkcje f i g spełniają warunki: to:

36 Granice funkcji Twierdzenie o trzech funkcjach Jeśli funkcje f, g i h spełniają warunki: to:

37 Twierdzenie o trzech funkcjachGranice funkcji Twierdzenie o trzech funkcjach Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

38 Granice funkcji Twierdzenia o granicach niewłaściwych funkcji Twierdzenie o dwóch funkcjach Jeśli funkcje f, i g spełniają warunki: to:

39 Twierdzenie o dwóch funkcjachGranice funkcji Twierdzenie o dwóch funkcjach Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

40 Granice funkcji Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

41 Granice funkcji Granice funkcji – wyrażenia nieoznaczone Wyrażenia nieoznaczone: Wartości powyższych wyrażeń zależą od postaci funkcji je tworzących.    0   0/0 / 1 0 00

42 Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonychGranice funkcji Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych .