1 Analiza matematyczna III. Funkcje Twierdzenia o funkcjach z pochodnymiWYKŁAD 7 Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

2 Plan wykładu twierdzenie Rolle’a, twierdzenie Lagrange’a,reguła de L’Hospitala, twierdzenie Cauchy’ego, rozwinięcie Taylora funkcji.

3 Twierdzenie Rolle’a Jeżeli funkcja f spełnia warunki:jest ciągła na [a,b]; - ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a,b); - f(a)=f(b), to istnieje punkt taki, że

4 Twierdzenie Rolle’a Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

5 Twierdzenie Lagrange’aJeżeli funkcja f spełnia warunki: jest ciągła na [a,b]; - ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a,b); to istnieje punkt taki, że:

6 Twierdzenie Lagrange’aŹródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

7 Monotoniczność funkcjiJeżeli dla każdego , gdzie I jest dowolnym przedziałem, funkcja f spełnia warunek: to jest stała na I; to jest rosnąca na I; to jest niemalejąca na I; to jest malejąca na I; to jest nierosnąca na I (warunki wystarczające).

8 Tożsamości i nierównościNiech funkcje f i g będą określone na przedziale oraz niech Wtedy, jeżeli spełnione są warunki: - - dla każdego to:

9 Tożsamości i nierównościNiech funkcje f i g będą ciągłe na przedziale oraz niech Wtedy, jeżeli spełnione są warunki: - - dla każdego to: dla każdego

10 Twierdzenie Cauchy’egoJeżeli funkcje f i g spełniają warunki: są ciągłe na [a,b]; - mają pochodne właściwe lub niewłaściwe na (a,b); dla każdego to istnieje punkt taki, że:

11 Twierdzenie Cauchy’egoŹródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

12 Reguła de L’Hospitala Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: przy- istnieje granica (właściwa lub niewł.) to:

13 Reguła de L’Hospitala Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

14 Reguła de L’Hospitala Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:- istnieje granica (właściwa lub niewł.) to:

15 Reguła de L’Hospitala Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

16 Reguła de L’Hospitala Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

17 Rozwinięcie Taylora funkcjiNiech funkcja f ma w punkcie x0 pochodną właściwą k-tego rzędu, gdzie Wielomian: nazywamy wielomianem Taylora k-tego rzędu funkcji f w punkcie x0. Oznaczamy go: Pk(x).

18 Rozwinięcie Taylora funkcjiWzór Taylora z resztą Lagrange’a Jeśli funkcja f ma - ciągłą pochodną rzędu n-1 na przedziale [x0,x]; - pochodną właściwą f(n) na przedziale (x0,x), to istnieje punkt taki, że: gdzie n-ta reszta Lagrange’a:

19 Rozwinięcie Taylora funkcjiMożemy także napisać: gdzie:

20 Rozwinięcie Taylora funkcjiW przypadku x0=0 wzór Taylora przyjmuje postać wzoru Maclaurina: gdzie: dla x>0 lub dla x<0.

21 Rozwinięcie Taylora funkcjiŹródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

22 Rozwinięcie Taylora funkcjiNiech funkcja f spełnia założenia twierdzenia Taylora oraz niech Rn(t)0 dla każdego Wtedy: dla każdego