1 Analiza tendencji centralnej „Człowiek – najlepsza inwestycja”

2 Analiza badanych zbiorowości statystycznych z określonego punktu widzenia na podstawie cech mierzalnych wymaga ustalenia dla tych zbiorowości przeciętnego poziomu wartości.

3 Badane zbiorowości charakteryzują się zwykle pewną tendencją centralną, co oznacza, że wartości cechy, które są bliższe przeciętnemu poziomowi wartości cechy, występują z większą częstotliwością.

4 Przeciętny poziom wartości cechy obliczamy za pomocą specjalnych miar statystycznych – średnich. Średnia jest miarą odzwierciedlającą przeciętny poziom cechy mierzalnej jednostek zbiorowości statystycznej, charakteryzuje centralnie położoną wartość, dookoła, której skupiają się jednostki zbiorowości.

5 Średnie dzieli się na dwie zasadnicze grupy: średnie klasyczne – przy ich wyliczaniu uwzględniamy wszystkie wartości szeregu statystycznego (średnia arytmetyczna, harmoniczna, geometryczna) średnie pozycyjne – będące wartościami konkretnych wyrazów szeregu statystycznego, wyrazów wyróżniających się pod jakimś względem (mediana – wartość środkowa, dominanta – wartość dominująca).

6 Klasyczne miary średnie to: Średnia arytmetyczna Średnia harmoniczna Średnia geometryczna

7 Średnia arytmetyczna Wyraża przeciętny poziom badanej cechy (zmiennej) w populacji. Średnia jest sumą wartości cechy podzieloną przez liczbę jednostek zbiorowości.

8 Średnia arytmetyczna Średnia jest więc taka wartością cechy, jaką miałyby wszystkie jednostki przy ustalonej sumie cechy, gdyby nie występowała zmienność. Oznacza to, że gdyby każda z jednostek przyjmowała jednakową wartość, to ta wartość byłaby równa średniej arytmetycznej.

9 Średnią arytmetyczną będziemy oznaczać symbolem x Jeżeli informacje podano w formie indywidualnego wykazu (szeregu) wartości, które oznaczamy jako xi = x1, x2,... xn N = ogólna liczba jednostek zbiorowości

10 Przykład 1 Oblicz przeciętny wiek 5 wybranych osób. Wiek osób w latach: 18, 32, 40, 24, 26 x = (18+32+40+24+26): 5 =28 Interpretacja: Przeciętny wiek w badanej zbiorowości wynosi 28 lat.

11 Średnia arytmetyczna ważona liczona jest dla szeregów rozdzielczych (punktowych i przedziałowych), w których wartości zmiennych występują z różną częstotliwością. Wagami są liczebności odpowiadające poszczególnym wariantom cech..

12 Dla szeregu rozdzielczego punktowego Dla szeregów rozdzielczych punktowych wartości średniej obliczana jest następująco:

13 Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego. Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych wartości zmiennej mieszczą się w pewnym przedziale. W celu wyznaczenia średniej arytmetycznej należy wyznaczyć środek przedziału. Otrzymuje się go jako średnią arytmetyczną dolnej i górnej granicy poszczególnej klasy. Średnia arytmetyczna w tym przypadku wyrażana jest wzorem:

14 Średnia harmoniczna Średnią harmoniczną stosuje się w przypadku gdy wartości cechy podane są w przeliczeniu na stałą jednostkę innej zmiennej, czyli w postaci wskaźników natężenia, np. km/h, cm/osoba), natomiast wagi są w jednostkach liczników tych cech, np. m, cm. Średnia harmoniczna jest równa odwrotności średniej arytmetycznej z odwrotnością poszczególnych wartości badanej zmiennej.

15 Dla szeregów szczegółowych oblicza się ją ze wzoru:

16 Zadanie. Kierowca rajdowy miał do pokonania 2 jednakowe odcinki trasy specjalnej. Pierwszy pokonał z prędkością 80 km/h, a drugi 160 km/h. Oblicz jaką osiągnął przeciętną prędkość na całym odcinku?

17 Dla szeregów rozdzielczych punkowych wzór przyjmuje postać:

18 Natomiast dla szeregów rozdzielczych przedziałowych wzór jest następujący:

19 Średnia geometryczna Średnia geometryczna znajduję zastosowanie w badaniu średniego tempa zmian zjawiska. Kolejną miarą klasyczną jest średnia geometryczna, która definiowana jest jako pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n wartości danej zmiennej:

20 Cechy średniej arytmetycznej Średnia arytmetyczna, ze względu na logiczną i prostą konstrukcję jest najczęściej stosowaną średnią klasyczną. Odznacza się ona wieloma własnościami: Średnia arytmetyczna jest wielkością mianowaną, tzn. wyrażana jest w konkretnych jednostkach miary np. w zł, mb, kg, latach Średnia arytmetyczna dla danej zbiorowości nie może być wielkością mniejszą od najmniejszej wartości, a większą od największej wartości. Suma wartości cechy jest równa średniej arytmetycznej pomnożonej przez liczebność. Suma odchyleń od średniej arytmetycznej wyrazów szeregu równa się zero.

21 Dziękuję za uwagę!