1 Anizotropowy model uszkodzenia i odkształcalności materiałów kruchychJanusz Dębiński Politechnika Poznańska Instytut Konstrukcji Budowlanych Prof. Andrzej Litewka Universidade da Beira Interior, Covilhā, Portugalia

2 Plan 1. Cele pracy 2. Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzenia3. Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny Równanie ewolucji uszkodzenia Doświadczalna identyfikacja stałych materiałowych 4. Zastosowanie modelu dla trójosiowego stanu naprężenia Równania konstytutywne Weryfikacja doświadczalna 5. Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężenia Równania konstytutywne Weryfikacja doświadczalna 6. Podsumowanie

3 Cele pracy 1. Przeprowadzenie własnych badań doświadczalnych nad akumulacją zorientowanego uszkodzenia. 2. Sformułowanie fenomenologicznego modelu teoretycznego bazującego na metodach mechaniki uszkodzenia i teorii reprezentacji funkcji tensorowych. 3. Przeprowadzenie weryfikacji doświadczalnej modelu teoretycznego przy zastosowaniu wyników badań własnych oraz dostępnych wyników badań betonu i skał poddanych złożonemu stanowi naprężenia.

4 Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzeniaPróbka z betonu zwykłego B20

5 Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzeniaKonfiguracja główna Konfiguracja pomocnicza

6 Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzeniaLiczba próbek: Seria I - 4 próbki Seria II - 7 próbek Seria III - 8 próbek Razem: próbek

7 Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzeniaSeria I Konfiguracja główna

8 Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzeniaSeria II oraz III Konfiguracja pomocnicza Konfiguracja główna

9 Doświadczalna analiza zorientowanego uszkodzenia

10 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyTensorowa zmienna opisująca aktualny stan materiału Onat i Leckie ( 1981 ) Chaboche ( 1982 ) Liczba tensorów, a także ich rząd uzależnione są od geometrii rozkładu mikropęknięć i powinny być dobrane aby opisywały w sposób wystarczający zachowanie się materiału. Geometria oraz gęstość mikropęknięć zależą bezpośrednio od tensora naprężeń. Stwierdzono, że osie symetrii układu mikropęknięć pokrywają się z kierunkami naprężeń głównych.

11 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyTensor uszkodzenia Mając na uwadze fakt pokrywania się osi symetrii mikropęknięć z kierunkami naprężeń głównych założono, że aktualny stan materiału może być opisany przez jedną zmienną w postaci tensora symetrycznego drugiego rzędu nazywanego tensorem uszkodzenia. Kierunki główne tensora uszkodzenia pokrywają się kierunkami głównymi tensora naprężenia

12 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyWartości W1 W2 W3 oblicza się jako stosunek pola mikropęknięć do pola powierzchni w stanie nieuszkodzonym.

13 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyRównanie ewolucji uszkodzenia zbiór n zmiennych opisujących aktualny stan struktury materiału. Równanie ewolucji uszkodzenia dla jednej zmiennej w postaci tensora uszkodzenia ma postać Jeżeli pominie się wpływ temperatury i wzmocnienia równanie ewolucji uszkodzenia ma postać

14 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyW rozpatrywanym przypadku uszkodzenia materiałów kruchych czynnik czasu nie jest analizowany celowym więc jest przyjęcie równania ewolucji uszkodzenia w postaci stanowiącej funkcję tensorową tylko jednej zmiennej niezależnej jaką jest tensor naprężenia. Tensor uszkodzenia nie występuje jako zmienna niezależna, ponieważ uszkodzenie pojawia się dopiero po przyłożeniu obciążenia.

15 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyRównania konstututywne materiału z uszkodzeniem Materiał anizotropowy Z chwilą pojawienia się w materiale mikrouszkodzeń wartości stałych sprężystości ulegną zmianie gdzie Materiał pierwotnie izotropowy

16 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyTensor efektu uszkodzenia Symetria układu mikropęknięć odpowiada przypadkowi ortotropii, którą można opisać za pomocą symetrycznego tensora rzędu drugiego. Jednakże nie jest on tożsamy z tensorem uszkodzenia. W miejsce tensora uszkodzenia należy podstawić nowy tensor efektu uszkodzenia.

17 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematyczny

18 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyRównanie konstytutywne dla materiału ortotropowo uszkodzonego ma postać Równanie to wraz z równaniem ewolucji uszkodzenia jednoznacznie opisuje właściwości mechaniczne materiału z uszkodzeniem

19 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyIzotropową funkcję tensorową można przedstawić w postaci reprezentacji funkcji tensorowej jako zbiór generatorów tensorowych dla rozpatrywanego zbioru zmiennych tensorowych skalarne funkcje niezmienników podstawowych

20 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyDla funkcji tensorowej dwóch zmiennych tensorowych s i D zbiór generatorów obejmuje elementy Reprezentacja funkcji tensorowej będzie miała postać

21 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyDla sformułowania równań sprężystości dla materiałów uszkadzających się istotne znaczenie ma znalezienie reprezentacji dla funkcji tensorowej której argumentem jest tensor czwartego rzędu. Reprezentację taką podał Rivlin i Ericsen ( 1955 ) i ma ona postać Właściwości sprężyste materiału można opisać za pomocą uproszczonej wersji reprezentacji, w której pominięto człony zawierające tensor Dij w potędze większej niż jeden.

22 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyUwzględniając symetrię tensora Aijkl reprezentacja będzie miała postać Materiał izotropowy

23 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyRównanie ewolucji uszkodzenia ma postać Reprezentacja tej funkcji tensorowej ma postać a1 a2 dewiator tensora naprężenia a3 = 0

24 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyReprezentacja tensora Aijkl ma postać Czyli równanie konstytutywne będzie miało postać

25 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyPrzedstawione tutaj równania mają charakter ogólny w tym sensie, że zachowują swoją ważność dla przypadków trójosiowego stanu obciążenia wzrastającego monotonicznie od zera aż do granicy wytrzymałości materiału odpowiadającej danemu stanowi naprężenia. Model ten w obecnej postaci nie daje możliwości opisu procesów odciążania a także obciążeń cyklicznych.

26 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyIdentyfikacja stałych materiałowych A, B, C, D

27 Uszkodzenie materiałów kruchych. Model matematycznyStała F została obliczona na podstawie danych eksperymentalnych dla trójosiowego stanu naprężenia Parametr H został obliczony na podstawie analizy przypadku hydrostatycznego ściskania W takim przypadku nie następuje uszkodzenie materiału, czyli Dla tego przypadku zależność między naprężeniem a odkształceniem jest liniowa

28 Zastosowanie modelu dla trójosiowego stanu naprężeniaStan naprężenia opisuje się za pomocą tensora który można przedstawić graficznie

29 Zastosowanie modelu dla trójosiowego stanu naprężeniaRównania konstytutywne mają postać

30 Zastosowanie modelu dla trójosiowego stanu naprężeniaBeton Green S. J., Swanson S. R.

31 Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężeniaStan naprężenia opisuje się za pomocą tensora który można przedstawić graficznie

32 Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężeniaRównania konstytutywne mają postać

33 Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężeniaBeton 1 Kupfer H.

34 Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężeniaStan naprężenia dla osiowego ściskania opisuje się za pomocą tensora który można przedstawić graficznie

35 Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężeniaRównania konstytutywne mają postać

36 Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężeniaRównania powalające na obliczenie stałych materiałowych

37 Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężenia

38 Zastosowanie modelu dla płaskiego stanu naprężenia

39 Podsumowanie Zastosowanie metod mechaniki uszkodzenia w połączeniu z teorią reprezentacji funkcji tensorowych umożliwiło stworzenie modelu teoretycznego służącego do opisu zachowania się materiałów kruchych poddanych złożonym stanom naprężenia. Własne badania przeprowadzone dla betonu osiowo ściskanego posłużyły do wyznaczenia akumulacji zorientowanego uszkodzenia. Pierwotnie izotropowy beton pod wpływem obciążenia stał się materiałem wykazującym izotropię transwersalną. Wykorzystując dostępne wyniki badań doświadczalnych dla materiałów kruchych w płaskim i przestrzennym stanie naprężenia zweryfikowano poprawność zaproponowanego modelu.