1 Apuntes de Matemáticas 2º ESOTema 5.2 Monomios @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

2 Apuntes de Matemáticas 2º ESOMonomios Un monomio es la expresión algebraica más sencilla. Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la MULTIPLICACIÓN y la POTENCIACIÓN DE EXPONENTE NATURAL. EJEMPLO 4.x3 El 4 es el coeficiente numérico. La letra x es la variable. El 3 es el exponente de la variable, que se llama GRADO del monomio. EJEMPLOS DE APLICACIÓN PRÁCTICA Por x representaríamos una longitud. Por x2 representaríamos una superficie. Por x3 representaríamos un volumen. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

3 Apuntes de Matemáticas 2º ESOEjercicios x2 y.z3 / 5 El 1/5 es el coeficiente numérico. La letra x es una variable, y su grado es 2. La letra y es otra variable, y su grado es 1. La letra z es otra variable, y su grado es 3. - 3.x no es un monomio, pues el exponente de x es negativo. 5.(x / y) no es un monomio, pues la variable y está dividiendo. 3 no es un monomio, pues la variable x está dividiendo. 2.x - 3.x.√y no es un monomio, pues la variable y está bajo una raíz. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

4 Apuntes de Matemáticas 2º ESOMÁS EJEMPLOS a.x3 La a es el coeficiente no numérico (indeterminada, no variable). La letra x es la variable. a.b2 La letra a es una variable. La letra b es otra variable. 3. b2 .x . y 3 / a El 3. b2 / a es el coeficiente. La letra x es una variable. La letra y es otra variable. En general: a, b, c, d, …. Son los coeficientes no numéricos. En general: x, y, z , t , …. Son las variables. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

5 Apuntes de Matemáticas 2º ESOMonomios semejantes Dos monomios son SEMEJANTES si tienen la misma parte literal. EJEMPLO 4.x , 7.x3 , x3  Parte literal común: x3 - 5.a , 31.a5 , a5  Parte literal común: a5 x.y , 7.x.y3 , x.y3  Parte literal común: x.y3 Para que dos o más monomios se puedan sumar deben ser semejantes. 3.x + 2.y no se pueden sumar (¿Tres peras + dos naranjas?) 5.x x3 no se pueden sumar (¿5 m2 + 2 m3 ?). @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

6 Apuntes de Matemáticas 2º ESOSuma de monomios La suma ( o diferencia ) de dos monomios semejantes es otro monomio, que tiene como coeficiente la suma ( o diferencia ) de coeficientes y como parte literal la misma que la de los sumandos. Si los monomios no son semejantes, el resultado es un POLINOMIO EJEMPLOS 4.x3 + 7.x x3 = ( – 5 ).x3 = 6.x  Monomio 4.x3 + a.x3 - x3 = ( 4 + a – 1 ).x3 = ( 3 + a ).x  Monomio 4.x3 + 7.x x2 = ( 4 + 7).x x2 = 11.x x2  Polinomio @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

7 Apuntes de Matemáticas 2º ESOEJEMPLOS 4.x x3 = (4+5).x3 = 9.x3 3.x2 – 5.x2 = (3 – 5).x2 = – 2 .x2 2.x4 – 7.x x4 = (2 – 7 + 8).x4 = 3.x4 7.x3 + a.x3 = (7 – a).x3 5.x2 + a.x2 + x2 = (5+a+1).x2 = (6+a).x2 Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios semejantes es siempre un monomio, aunque su coeficiente sea mixto. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

8 Apuntes de Matemáticas 2º ESOEJEMPLOS 4.x x = 4.x3 + 5.x 3.x2 – 5.x x = (3 – 5).x x = – 2 .x x 2.x4 – 7.x x4 = (2 + 8).x4 – 7. x3 = 10.x4 – 7.x3 7.x3 + a.x3 + 3.x – 5 = (7 – a).x3 + 3.x – 5 5.x3 + a.x2 + x3 = (5+1).x3 + a.x2 = 6.x3 + a.x2 Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios no semejantes es siempre un polinomio. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

9 Apuntes de Matemáticas 2º ESOProducto de monomios El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios factores. EJEMPLO Sea 4.x3 y 5.x2 (4.x3 ). (5.x2 ) = 4.5. x3+2 = 20.x5 Sea 7.x3 y 5.a.x3 (7.x3 ). (5.a.x3 ) = 7.5.a. x3+3 = 35.a.x6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

10 Apuntes de Matemáticas 2º ESOPRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO Sea el monomio 4.x3 y P(x) = 5.x x x (4.x3).P(x) = ( 4.x3 ).(5.x x x ) = = ( 4.x3 ).(5.x4 ) + ( 4.x3 ).(4.x3 ) + ( 4.x3 ).( - 2.x ) = = 20.x x x4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

11 Apuntes de Matemáticas 2º ESOOTRO EJEMPLO Sea el monomio 4.x.y P(x) = 5.y.x y2.x – 2.x.y + 3 (4.x.y).P(x) = ( 4.x.y). (5.y.x y2.x – 2.x.y + 3 ) = = (4.x.y).(5.y.x2 ) + (4.x.y).( 4.y2.x ) + (4.x.y).(– 2.x.y ) + (4.x.y).(3) = = 20.x3.y x2.y x2.y x.y UN EJEMPLO MÁS Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x a2.x (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x a2.x) = = (4.a.x).(5.a.x2 ) + (4.a.x).( 4.a2.x ) = 20.a2.x a2.x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

12 Apuntes de Matemáticas 2º ESODivisión de monomios La división de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de dividendo y divisor. EJEMPLO Sea 20.x5 y 5.x2 (20.x5 ) : (5.x2 ) = (20/5). x 5 – 2 = 4.x3 Sea 2.x3 y 5.x (2.x3 ) : (5.x ) = (2/5). x 3 – 1 = 0,4.x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

13 Apuntes de Matemáticas 2º ESOCOCIENTE DE MONOMIOS El cociente de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de los monomios factores. EJEMPLO Sea 4.x3 y 5.x2 (4.x3 ) / (5.x2 ) = (4/5). x3 – 2 = 0,8.x Sea 14.x5 y 7.a.x3 (14.x5 )/ (7.a.x3 ) = (14/7.a). x5 – 3 = (2/a).x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

14 Apuntes de Matemáticas 2º ESOPotencia de monomios La potencia de un monomio es otro monomio, que tiene como coeficiente la potencia del coeficiente de la base, como variable la misma y grado el producto de las potencias. EJEMPLO 1 Sea (4.x3)2 (4.x3)2 = (4)2. (x3)2 = 16. x3.2 = 16.x6 EJEMPLO 2 Sea [ 3 . ( x 5) 2 ] 3 [ 3 . ( x 5) 2 ] 3 = ( x 5x2) 3 = x 5x2x3 = x 30 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

15 Apuntes de Matemáticas 2º ESOEJEMPLO 3 Sea [(1/2 ).x2 ]3 (1/2)3. (x2 )3 = (1/8). x2.3 = (1/8).x6 EJEMPLO 4 Sea (2.x4 )5 (2)5. (x4)5 = 32.x4.5 = 32.x20 EJEMPLO 5 Sea (2.x3 .y)4 (2)4. (x3)4 .y4 = 16.x3.4 .y4 = 16.x12.y4 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO