1 Área de regiones en coordenadas Polares47 Integrales. Área de regiones en coordenadas Polares

2 Habilidades Calcular áreas en coordenadas polares

3 Introducción: En esta sección deduciremos una expresión para calcular el área de una región determinada por una ecuación en coordenadas polares. Para ello recordemos el área de un sector circular de radio r y ángulo   r 1 Donde r es el radio y  es el ángulo central en radianes.

4 Sea R la región que vemos en la figura, limitada por la curva de ecuación r = f() y los rayos  = a y  = b, donde f es positiva y continua. r = f()  = b R  = a b a O

5 Dividimos la región R en n regiones mas pequeñas con ángulo central .r = f()  = b   = a

6 Por lo tanto, el área de la i-ésima región se aproxima como un sector circular de radio f() y ángulo . Así, de la fórmula 1 tendremos:

7 Una aproximación al área total de R estará dada por la suma de áreas de sectores circulares...r = f()  = b  = a

8 Es decir.... Según se observa en la figura anterior, la aproximación mejora cuando n . Ya que estas sumas son Sumas de Riemann, resulta... 2

9 Con frecuencia esta fórmula se escribe...3 Observe la similitud entre las fórmulas 1 y 3. NOTA: Al aplicar la fórmula 3 es necesario imaginar que el área está barrida por un rayo que sale de O y gira desde a hasta b.

10 Ejercicio 1 Calcule el área encerrada por uno de los cuatro pétalos de la curva r = cos (2)

11 Ejercicio 2: Calcule el área de la región dentro del círculo r = 3 sen  y fuera de la cardioide r = 1 + sen 

12 Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James StewartEjercicios 10.4 Pág :