1 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPISWYKŁAD 9 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS CZĘŚĆ II

2 Z protonów i jeden elektron: Podstawiając funkcję postaci:

3 otrzymamy:

4 Wykorzystując inną postać laplasjanu:otrzymamy:

5 Rozpatrzymy najpierw przypadek ℓ = 0 (funkcja Yℓ,m stała, brak zależności od kątów, symetria kulistosymetryczna), co oznacza brak wyrazu z energią kinetyczną ruchu obrotowego:

6 Po podstawieniu: promień Bohra Rydberg otrzymamy:

7 Przyjmiemy, że: oraz: Ponieważ:

8 oraz: otrzymamy:

9 Możemy wykorzystać swobodę w wyborze α i przyjąć:wówczas otrzymamy: Szukamy rozwiązań w postaci szeregu:

10 Wyliczamy pierwszą i drugą pochodną:podstawiając otrzymamy: Przenumerowujemy pierwszą sumę (za k podstawiamy k+1):

11 Szereg taki będzie równy 0 dla każdej wartości ρ tylko wtedy, gdy:Skąd otrzymujemy rekurencyjny wzór na współczynniki ak: pozwalający wygenerować wszystkie współczynniki ak (musimy tylko nadać wartość współczynnikowi a1) a potem otrzymać funkcję g, f, i na końcu R.

12 Czy takie rozwiązanie jest fizycznie prawidłowe?Dla dużych ρ (czyli dla dużych k): czyli: i: a funkcja f: zmierza do nieskończoności dla dużych odległości elektronu od jądra; rozwiązanie niefizyczne

13 Sposobem na rozwiązanie problemu jest przyjęcie warunku, że:Mamy wówczas: Równe zeru będą także następne wyrazy i dostaniemy wielomian o skończonym rzędzie n, rosnący wolniej niż funkcja eksponencjalna. Mamy wówczas:

14 W konsekwencji: tzn. dopuszczone są tylko dyskretne wartości energii, tak jak w teorii Bohra. Wartości te odpowiadają kolejnym wartościom liczby n, która, tak jak w teorii Bohra, gra rolę głównej liczby kwantowej

15 Natomiast część radialna funkcji falowej wyrazi się:gdzie: oraz:

16 Kilka pierwszych funkcji radialnych dla ℓ = 0:

17 Wracamy do pełnego równania radialnego, dopuszczamy zatem ℓ różne od zera:Po wykonaniu podstawień, takich samych jak dla przypadku sferycznie symetrycznego:

18 Otrzymujemy, podobnie jak poprzednio równanie radialne (z dodatkowym wyrazem):Ten dodatkowy wyraz da dodatkowy wyraz w rozwinięciu potęgowym funkcji g(ρ):

19 Z wyrazu tego wydzielamy pierwszy wyraz i przenumerowujemy całą sumę:Ponieważ ℓ jest różne od zera, a1 musi być równe zeru.

20 Zerowanie innych wyrazów zajdzie wtedy gdy:co stanowi zmodyfikowany związek rekurencyjny na współczynniki rozwinięcia funkcji g(ρ). Tak jak poprzednio, szereg musi się urywać, co zajdzie dla k = n, gdy:

21 bo an+1 i następne wyrazy także muszą być równe 0.Ponieważ więc każdy kolejny wyraz będzie równy 0, włącznie z wyrazem k = ℓ. Pierwszym wyrazem, który może być różny od zera, będzie wyraz aℓ+1, ze względu na postać wzoru rekurencyjnego (obecność wyrazu ℓ(ℓ+1)). Zatem, żeby nie okazało się, że wszystkie wyrazy są równe zeru, musi zachodzić: ℓ bo an+1 i następne wyrazy także muszą być równe 0. Dla danego n, k biegną od ℓ+1 do n. Dozwolone wartości ℓ biegną od 0 do n – 1.

22 Dla małych ρ w funkcji R, równej: dominować będzie wyraz zA więc funkcje radialne R, dla większych wartości ℓ, będą znacząco różnić się od zera dalej od jądra. Przykłady funkcji radialnych R dla kilku wartości głównej (n) i pobocznej (ℓ) liczby kwantowej:

23

24 Radialna gęstość prawdopodobieństwa dla elektronów 3s, 3p i 3d w atomie HChoć średnio elektron 3s jest dalej od jądra, prawdopodobieństwo znalezienia go w obszarze bliskim jądra jest większe niż dla elektronu 3p i 3d

25 Schemat poziomów energetycznych atomu wodoru; diagram GrotrianaDla jonów wodoropodobnych zmiana skali E ze względu na Z Degeneracja ze względu na ℓ (degeneracja orbitalna)