1 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPISWYKŁAD 8 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS CZĘŚĆ I

2 Niezależne od czasu równanie Schrődingera dla atomu wodoru:Jeśli funkcja falowa zależy tylko od r, a nie zależy od współrzędnych kątowych mamy: przypadek, który rozpatrywaliśmy w wykładzie 6

3 Podstawiając funkcję postaci:W przypadku najbardziej ogólnym, gdy funkcja ψ zależy od wszystkich współrzędnych sferycznych, równanie Schrődingera dla atomu wodoru (Z = 1) i jonów wodoropodobnych (Z > 1) przyjmie bardziej skomplikowaną postać: Podstawiając funkcję postaci:

4 otrzymamy: i w konsekwencji:

5 C jest wartością własną operatora:a z kolei funkcje Y, tworzące funkcje falowe atomu wodoru, są funkcjami własnymi operatora X. Żeby ustalić tożsamość operatora X, przeanalizujemy drugie równanie:

6 które przepiszemy w następującej postaci:jawnie pokazującej pochodzenie członów hamiltonianu: energia kinetyczna, potencjalna i ???. Dla klasycznej cząstki w polu siły centralnej, zachowana jest całkowita energia i moment pędu:

7 Rozkładając prędkość cząstki na składowe radialną i styczną otrzymamy:co ostatecznie można przedstawić w postaci:

8 Porównując otrzymane wyrażenie z hamiltonianem:widzimy, że operator X jest operatorem kwadratu momentu pędu: jest wartością własną tego operatora, C = ℓ(ℓ+1), a funkcja Y to jego funkcja własna; a także element macierzowy obrotów Ry(θ) i Rz() (wykład 7):

9 Rozwiązanie równania: ma rozwiązanie okresowe:jest nam już znane (funkcje kuliste). Wykorzystujemy możliwość dalszej separacji: i otrzymujemy: Drugie równanie: ma rozwiązanie okresowe: a więc: m = 0, ±1, ±2, ±3…. odrzucamy m połówkowe; dla elektronu w określonym punkcie rzut momentu pędu na oś z’ przechodzącą przez ten punkt musi być równy 0. bo:

10 Interpretacja liczby kwantowej mUdowodnimy, że: W tym celu liczymy: wykorzystując: Jeśli tak to: co oznacza, że jest rzutem momentu pędu na oś z

11 Równanie na część biegunową będzie miało postać:Wprowadzamy nową zmienną: Ponieważ:

12 otrzymamy tzw równanie różniczkowe Legendre’a:Ostatecznie: Jeśli przyjmiemy: oraz m = 0 otrzymamy tzw równanie różniczkowe Legendre’a: którego rozwiązania, to tzw. wielomiany Legendre’a:

13 Aby znaleźć współczynniki ak wstawiamy:do równania różniczkowego Legendre’a: i otrzymujemy:

14 Pomijamy dwa pierwsze wyrazy w pierwszej sumie i przenumerowujemy ją, zastępując k przez k+2:Wszystkie współczynniki przy kolejnych potęgach muszą być równe 0, zatem:

15 Nieskończona suma dla ξ równego 1 dałaby nieskończoną wartośćNieskończona suma dla ξ równego 1 dałaby nieskończoną wartość. Suma będzie skończona dla ℓ naturalnych. Dodatkowo musimy założyć zerowanie się jednego z dwóch wyrazów, a0 lub a1.

16 Można pokazać, że rozwiązaniami pełnego równania biegunowego:dla m różnego od 0, są tzw. stowarzyszone funkcje Legendre’a: z postaci tych funkcji wynika, że będą one równe 0 dla:

17 Pełne rozwiązanie to tzwPełne rozwiązanie to tzw. funkcje kuliste zawierające część azymutalną i biegunową: Kilka pierwszych funkcji kulistych (harmonicznych): ℓ = 0 (s) ℓ = 1 (p) ℓ = 2 (d) ℓ = 3 (f)

18 Zatem ℓ(ℓ+1)ħ2 to kwadrat momentu pędu, a mħ jego rzut na oś zMamy zatem: gdzie: Zatem ℓ(ℓ+1)ħ2 to kwadrat momentu pędu, a mħ jego rzut na oś z ℓ naturalne, m całkowite. Dla danego ℓ mamy 2 ℓ +1 wartości m (degeneracja)

19 Funkcje kuliste (harmoniki sferyczne): funkcje s (ℓ = 0) brak zależności od kątów θ i φ, stała wartość

20 Y(0,0), funkcja s, ℓ = 0, m = 0

21 Y(1,0) funkcja p, ℓ = 1, m = 0 ~ cosθ

22 Y(1,1), funkcje p, ℓ = 1, m = ±1, ~sinθ

23 Y(2,0), funkcja d, ℓ = 2, m = 0 ~(3cos2θ-1)

24 Y(2,1), funkcje d, ℓ = 2, m = ±1, ~cosθsinθ

25 Y(2,2), funkcje d, ℓ = 2, m = ±2, ~sin2θ

26 Y(3,0), funkcje f, ℓ = 3, m = 0, ~cos3θ-cosθ

27 Y(3,1), funkcje f, ℓ = 3, m = ±1, ~(5cos2θ-1)sinθ

28 Y(3,2), funkcje f, ℓ = 3, m = ±2

29 Y(3,3), funkcje f, ℓ = 3, m = ±3