1 Aula passada Terminamos de apresentar as hipóteses ou axiomas que costumamos impor sobre ≥; Falamos tb sobre a função utilidade – quais as hipóteses necessárias sobre ≥ para que sempre consigamos encontrar uma função de utilidade contínua representando ≥? Terminamos apresentando algumas definições importantes associadas às funções; pq isso? Pq restrições sobre ≥ implicam em restrições na forma das funções utilidade.

2 Aula de hoje Iremos descrever o comportamento do consumidor, ou melhor, como a teoria supõe que o consumidor se comporta: “consumidor escolhe a cesta preferida dentre aquelas que ele pode adquirir” Vamos iniciar tb a análise do problema dual do consumidor: “para alcançar um certo nível mínimo de utilidade, qual o menor gasto possível?

3 Elementos da Teoria Conjunto (campo) de escolha – consumption setConjunto factível (viável) – feasible consumption Relação de preferência Suposição de comportamento

4 Hipóteses racional A relação de preferência do consumidor ≥ é completa, transitiva, contínua e localmente não-saciada. Tomaremos também u(x) como uma função contínua para representar essas preferências. X =

5 O problema do consumidorProblema de maximização de utilidade do consumidor (Utility Maximization Problem): onde p >> 0 e y > 0. Note que se x* resolve o problema então u(x*) ≥ u(x) para todo xB, o que significa que x*≥ x para todo x  B. Conjunto orçamentário walrasiano

6 Proposição 3.D.1 Se p >> 0 e u(.) é contínua, então o problema de maximização da utilidade tem uma solução. Prova: O conjunto orçamentário B é um subconjunto não-vazio, fechado, limitado, e, então compacto do Rn. O resultado segue do fato que uma função contínua sempre tem um valor máximo quando avaliada num conjunto compacto. [Teorema M.F.2 – item (ii) – pag. 945]

7 Vamos falar agora: Das propriedades do objeto de escolha: ou seja, da(s) cesta(s) que maximiza(m) a utilidade do consumidor {x*(p,y)}; E também das propriedades do valor máximo da função de utilidade do consumidor {v(p,u)}.

8 Solução para o PMU A regra que designa para cada conjunto de valores (p, y ) >> 0 as cestas ótimas de consumo no PMU é conhecida como correspondência de demanda walrasiana  x* = x(p, y) De forma geral, o conjunto x* = x(p, y) pode ter mais de um elemento. Caso ≥ sobre X seja convexa  correspondência de demanda Caso ≥ sobre X seja estritamente convexa  função de demanda

9 Demanda e correspondência de demandaApenas uma escolha ótima: x* x2 Todas as cestas abaixo fazem parte do conjunto x*(p,y) * x* * * x1

10 Propriedades da demanda walrasianaProposição 3.D.2  Mas-Collel et. all. Seja u: XR uma função de utilidade contínua representando a relação de preferência localmente não-saciada ≥ sobre X. Então a correspondência de demanda walrasiana x(p,y) possui as seguintes propriedades:

11 Propriedades da demanda walrasianaHomogeneidade de grau zero em p e y. Lei de Walras pTx = y para todo x  x(p,y). Convexidade/unicidade de x(p,y): se ≥ é convexa, de forma que u(.) seja quase-côncava, então x(p,y) é um conjunto convexo. Agora, se ≥ é estritamente convexa e, portanto, u(.) é estritamente quase-côncava, então x(p,y) possui um único elemento.

12 Propriedades de x*(p,y)Homogeneidade de grau zero em p e y: x(p, y) = x(p, y) para todo p, y e escalar  > 0. Note que: Isto é, o conjunto de cestas factíveis não muda quando todos os preços e renda são multiplicados por escalar > 0. O conjunto de cestas ótimas, portanto, não deve mudar. Note que essa propriedade não requer qualquer hipótese sobre u(.).

13 observação Uma implicação conveniente da propriedade de homogeneidade de grau zero: nós podemos sempre, sem perda de generalidade, fixar (normalizar) um dos n+1 argumentos de x(p, y) em um nível arbitrário. Em geral, fazemos pl = 1 ou então y=1. Então, o número efetivo de argumentos em x(p,y) é n.

14 Propriedades de x*(p,y)Lei de Walras pTx = y para todo x  x(p,y). A lei de Walras segue da propriedade de não-saciedade local. Se pTx < y para algum x  x(p,y) então deve existir outra cesta w suficientemente próxima de x que respeita tanto pTw < y quanto w > x (não-saciedade local). Mas, isso contradiz x ser uma solução do PMU, então, x  x(p,y).

15 Propriedades de x*(p,y)Convexidade e unicidade: Se ≥ é convexa, então u(.) é quase-côncava e, então, x(p,y) é um conjunto convexo. Se ≥ é estritamente convexa, então nesse caso, u(.) é estritamente quase-côncava e, então, x(p,y) consiste de um único elemento.

16 Propriedades de x*(p,y)Convexidade de x(p,y): Sejam x1  x(p,y) e x2  x(p,y) , com x1 x2. A ideia é mostrar que x3= x1+(1-)x2  x(p,y), para todo   [0,1] {o que evidencia que x(p,y) é convexo}. Sabemos que u(x1)=u(x2) – denote este nível de utilidade por u*. Se ≥ é convexa, então u(.) é quase-côncava {teorema 1.3}. Logo, pela quase-concavidade de u(.), temos: u(x3) ≥ u*. Função quase-côncava: uma função f: D  R é quase-côncava se, e somente se, para todo x1, x2  D tem-se que f(tx1 + (1-t)x2) ≥ min[f(x1), f(x2)] para todo t  [0,1].

17 Propriedades de x*(p,y)Convexidade de x(p,y): Em adição a isso, desde que pTx1  y e pTx2  y, temos também que pTx3  y pTx1  y  pTx1  y (a) pTx2  y  (1-)pTx2  (1-)y (b) a + b  pTx1 + (1-)pTx2 = pT (x1 + (1-)x2) = pT x3  y De outra forma: usar a idéia que o conjunto orçamentário walrasiano é um conjunto convexo.

18 Propriedades de x*(p,y)Convexidade de x(p,y): Assim, se u(x3) ≥ u* e pT x3  y (x3 é factível), então, x3  x(p,y), o que estabelece que x(p,y) é convexo.

19 Propriedades de x*(p,y)Unicidade de x(p,y): Seguindo o mesmo argumento anterior, tem-se x3 como sendo uma cesta factível, mas agora temos que u() é estritamente quase-côncava (em função de ≥ ser estritamente convexa). Assim, u(x3) > u*. Mas, então, x1 e x2  x(p,y), o que implica que não pode haver mais de um elemento em x(p,y). Função estritamente quase-côncava: uma função f: D  R é estritamente quase-côncava se, e somente se, para todo x1, x2  D, com x1  x2, tem-se que f(tx1 + (1-t)x2) > min[f(x1),f(x2)] para todo t  (0,1).

20 Caracterização da cesta ótima através das condições necessárias de Kuhn-TuckerSe a função de utilidade é continuamente diferenciável, então podemos usar as condições de primeira ordem do PMU para caracterizar a escolha ótima.

21 Caracterização da cesta ótima através das condições necessárias de Kuhn-TuckerSe x* x(p,y) é uma solução do PMU, então, existe um multiplicador de lagrange >=0 tal que para todo i=1,...,n:

22 N=2 = solução interior Neste caso, o vetor gradiente da função de utilidade deve ser proporcional ao vetor de preços p Assim:

23 Ou seja, na escolha ótima,a inclinação da curva de indiferença (TMS) é igual a inclinação da linha de restrição orçamentária: TMS = - UMg1/UMg2 = - p1/p2 Caso |TMS| > p1/p2  consumidor alcançaria uma curva de indiferença superior caso trocasse bem 2 por bem 1 Caso |TMS| < p1/p2  consumidor alcançaria uma curva de indiferença superior caso trocasse bem 1 por bem 2 x2 U(x*) p x* x1 (a) Solução interior

24 Condições de Kuhn-TuckerA taxa marginal de substituição entre dois bens j e k deve ser igual a razão entre os preços desses bens.

25 Solução de canto: observe que agora o vetor gradiente não precisa ser proporcional ao vetor de preços. As CPO’s nos dizem que: x2 No caso da figura ao lado: TMS > (p1/p2)  você queria trocar mais bem 2 por bem 1, mas não tem jeito porque x2*= 0 E x1 (b) Solução de canto (x2*= 0)

26 Multiplicador de LagrangeNas CPO’s o multiplicador de lagrange dá o valor marginal, ou sombra, de relaxar a restrição no PMU. Ele, portanto, é igual ao valor da utilidade marginal da renda no ponto ótimo. Para ver isso, considere o caso onde x(p,y) é uma função diferenciável e x(p,y)>>0.

27 Multiplicador de LagrangePela regra da cadeia, a utilidade marginal de um aumento em y é dado por: u(x(p,y))TDyx(p,y) Dyx(p,y) = [x1(p,y)/y, x2(p,y)/y,..., xn(p,y)/y] Da CPO: u(x(p,y)) = p – Portanto, pTDyx(p,y) =  Lei de Walras: pT x(p,y) = y – como essa relação se assegura para todo y , segue pTDyx(p,y) = 1 Assim, utilidade marginal de um aumento em y = .

28 Observação importanteQuando as condições de primeira ordem são suficientes para garantir que x* é a solução do PMU? Se u(.) é quase-côncava e crescente (monotone) e tem as CPO’s de kuhn-Tucker são condições suficientes para estabelecer que x* é a solução do PMU. Preferências monótonas garantem fç utilidade crescente. Obs: f é crescente se f(x0) ≥ f(x1) sempre que (x0) ≥ (x1).

29 Exemplo algébrico: Cobb-DouglasTransformação monotônica  v(x1, x2) = ln(x1) + (1- )ln(x2) PMU: L = ln(x1) + (1- )ln(x2) + [p1x1 + p2x2 – y] Como v(.) é crescente, então, a restrição orçamentária será satisfeita com igualdade. Como ln0 = -, então, a solução é interior. Além disso, como v(.) é estritamente quase-côncava, então, a solução encontrada será de máximo do PMU acima.

30 Exemplo algébrico: Cobb-DouglasResolvendo o PMU, encontraremos: Estas são as funções de demanda walrasiana * Note que a proporção da renda gasta com cada bem é constante.

31 Exercício  Verifique para a utilidade Cobb-Douglas, as três propriedades das funções de demanda discutidas anteriormente.

32 Exercício -  Derive as funções de demanda walrasianas para o caso da função de utilidade de elasticidade de substituição constante (CES): E verifique as três propriedades das funções de demanda discutidas anteriormente.

33 observação Nós não demonstraremos aqui quais são as condições que garantem que a demanda walrasiana seja contínua e diferenciável. A conclusão é que ambas propriedades são asseguradas sob condições razoavelmente gerais. Em específico: Se as preferências são contínuas, estritamente convexas e localmente não saciada no conjunto de consumo, então x(p,y) é sempre contínua para todo (p,y)>>0.

34 Estática comparativa As propriedades de continuidade e diferenciabilidade da função de demanda walrasiana são interessantes porque permitem que analisemos como a demanda pelo bem varia quando alteramos a renda ou os preços dos bens. Assumiremos preferências estritamente convexas.

35 Efeito renda Para preços fixos, a função é chamada de função de engel. Sua imagem no é conhecido como caminho de expansão da renda: Em qualquer (p,y), a derivada de xl(p,y) com relação a y é chamada de efeito renda para o bem l.

36

37 Notação matricial do efeito renda.

38 Efeito preço Aqui estamos interessados em analisar como o nível de consumo dos diversos bens varia quando os preços variam. Gráfico da demanda pelo bem 2 para diferentes níveis de preços do bem 1

39 Efeito preço Gráfico abaixo mostra o locus de cestas demandadas no R2+ para diferentes valores de p2, assegurando p1 e y constantes. Offer curve

40 Efeito preço Notação matricial do efeito preço.Bens de baixa qualidade para pessoas de baixa renda Notação matricial do efeito preço.

41 Implicações da homogeneidade nos exercícios de estática comparativaProposição 2.E.1: Se a função de demanda walrasiana x(p,y) é homogênea de grau zero, então para todo p e y: Dpx(p,y)p+Dyx(p,y)y=0 nxn * nx nx1 * 1x1 = nx1

42 Podemos reescrever 2.E.1 Definamos: Elasticidade renda da demandaElasticidade preço da demanda Uma variação percentual igual na renda e em todos os preços leva a nenhuma variação na demanda.

43 Implicações da Lei de Walras nos exercícios de estática comparativapTx(p,y)=y p1x1(p,y) + p2x2(p,y) pnxn(p,y) =y Proposição 2.E.2 Proposição 2.E.3 pTDpx(p,y) + x(p,y)T=0T pTDyx(p,y) =1

44 Implicações da Lei de Walras nos exercícios de estática comparativaEm termos de elasticidades.... Agregação de Cournout Agregação de Engel si = parcela da renda gasta com o bem i si = {pi * xi(p,y)} / y

45 Função de utilidade indiretaPara cada (p,y)>> 0, o valor da utilidade para a solução do PMU é denotado por v(p,y)  R. Ou seja, v(p,y) é igual a u(x*) para qualquer x*  x(p,y). A função v(p,y) é chamada de função de utilidade indireta. Se u(.) é estritamente quase-côncava de forma que exista um único x*, então, v(p,y) = u(x(p,y)).

46 Utilidade indireta aos preços p e renda yA função de utilidade indireta é o nível de utilidade associado a esta curva de indiferença verde  u = v(p,y) x2 x* x1

47 Propriedades da função de utilidade indireta – Proposição 3.D.3Seja u: X R uma função de utilidade contínua, representando ≥ não localmente saciada definida sobre o conjunto de consumo X. Então, v(p,y) é: Homogênea de grau zero em (p,y). Estritamente crescente em y e não-crescente em pl para todo l. Quase-convexa em (p,y). O conjunto {(p,y): v(p,y)<=v#} é convexo para qq v#. Contínua no espaço , ou seja, em p e y.

48 i) Homogênea de grau zero em (p, y).Se a renda e os preços se alterarem na mesma proporção t > 0, então, o conjunto orçamentário não se altera e, então, as escolhas ótimas também não se alteram (nós vimos que x(p,y) é também homogênea de grau zero). Logo, v(tp, ty) = v(p, y) para todo t>0.

49 ii) Estritamente crescente em y Exercício

50 ii) Não-crescente em pl para qualquer lSeja B = {x: pTx  y} e B’= {x: p’Tx  y}, com p’≥ p. Isso significa que B  B’. Logo, o máximo de u(.) em B’ não é maior do que em B. x2 p’≥ p  u’<=u x* x’ u = v(p,y) u' = v(p’,y) x1

51 Quase convexidade e conjunto contorno inferiorExiste uma relação também entre a função ser quase-convexa e o conjunto contorno inferior (pag. 544 – Jehle e Reny) Defina I(y0){x | x  D, f(x)  y0}  conjunto dos pontos do domínio cujo valor da função é menor ou igual a y0 f: D  R é uma função quase-convexa se e somente se I(y0) é um conjunto convexo para todo y  R

52 iii) Quase-convexa em (p,y)Para mostrar que v(p,y) é quase-convexa, suponha que v(p1,y1)  v# e que v(p2,y2)  v#. Ou seja, são dois pontos do conjunto contorno inferior da função da v(p,y). Para t[0,1] defina: (pt,yt)=[tp1+(1-t)p2;ty1+(1-t)y2] Temos que mostrar que v(pt,yt)v#. Então, a ideia é mostrar que para qualquer x com ptTx yt, nós devemos ter u(x)  v#.

53 iii) Quase-convexa em (p,y)Deixe B1, B2 e Bt serem os conjuntos orçamentários disponíveis quando os preços e as rendas são, respectivamente, (p1, y1), (p2, y2) e (pt, yt), onde pt  tp1 + (1-t)p2 e yt  ty1 + (1-t)y2 . Então: B1 = {x|p1Tx  y1} B2 = {x|p2Tx  y2} Bt = {x|ptTx  yt}

54 Quase-convexa em (p,y) Note primeiro que se x  Bt, então, ou x  B1 ou x  B2 ou as duas coisas para todo t  [0,1]. Para os valores extremos do intervalo de t, é evidente que as relações são asseguradas, visto que os valores extremos correspondem aos próprios conjuntos B1 ou B2. Então, temos que mostrar que as relações são asseguradas para t  (0,1).

55 Quase-convexa em (p,y) Suponha que não seja verdade. Então, nós podemos encontrar algum t  (0,1) e algum x  Bt, tal que x  B1 e x  B2. Se x  B1  p1Tx > y1; e Se x  B2  p2Tx > y2. Como t  (0,1), nós podemos multiplicar a primeira desigualdade por t e a segunda por (1-t) e manter as desigualdades:

56 Quase-convexa em (p,y) tp1Tx > ty1; e (1-t)p2Tx > (1-t)y2Adicionando as duas desigualdades: (tp1+(1-t)p2)Tx > ty1 + (1-t)y2, ou seja, ptTx > yt . Mas isso, implica que x  Bt, o que fere nossas suposições iniciais.

57 Quase-convexa em (p,y) Então, a ideia aqui é que toda escolha que o consumidor fizer quando encarar o conjunto orçamentário Bt, é uma escolha que ele poderia ter feito quando encara B1 ou quando encara B2. Então, o nível de utilidade que ele pode alcançar no conjunto Bt é um nível que ele poderia ter alcançado quando encara B1 ou quando encara B2.

58 Quase-convexa em (p,y) Então, o nível máximo de utilidade que ele consegue alcançar no conjunto Bt tem que ser não maior do que a utilidade que ele alcançou em B1 ou em B2. Isso significa dizer que v(pt, yt)  v(p1,y1)  v# ou v(pt,yt)  v(p2,y2)  v# , logo v(pt, yt)  v# para todo t  [0,1]  isto é o mesmo que dizer que v(.) é quase-convexa em (p,y).

59 x2 O ponto de cruzamento dos três orçamentos: x1 = 7/3; x2 = 4/3 B2 x(p2,y2) x(p1,y1) Bt x1 B1

60 Exercício  Encontre a função de utilidade indireta para as preferências do tipo Cobb-Douglas apresentada anteriormente. Mostre que a função de utilidade indireta satisfaz as propriedades i a iii estabelecidas anteriormente.

61 O problema de minimização de gasto (PMG)

62 O problema de minimização de gasto (PMG)Pergunta: qual o nível mínimo de renda que um consumidor que encara preços p >> 0 tem que gastar para alcançar um dado nível de utilidade? Note que neste caso não faremos limitação sobre a renda do consumidor, mas sobre u... vejamos graficamente:

63 Cada reta vermelha descreve o conjunto das cestas que custam o mesmo gasto ‘e’, quando os preços são p1 e p2  isogasto  [x : p1x1 + p2x2 = e] x2 e1/p2 Para alcançarmos o nível de utilidade u será necessário gastar pelo menos e*, ou seja, e* é o gasto mínimo requerido para alcançar u. e*/p2 e2/p2 x* e3/p2 u e3/p1 e2/p1 e*/p1 e1/p1 x1

64 O PMG p>>0 e u > u(0) Quando achamos o x que minimiza a função acima, respeitando a restrição, e substituímos na função pTx, temos exatamente o gasto mínimo requerido para alcançar pelo menos u, quando os preços são p. PMG traz a mesma ideia do PMU do uso eficiente do poder de compra do consumidor. Note que os papéis das funções objetivo e de restrição são invertidos relativamente ao PMU.

65 PMG é o dual do PMU O PMG é o dual do PMU: a cesta x que gera a utilidade u* que soluciona o PMU quando a renda é y é exatamente igual a cesta x que gera o gasto e* que soluciona o PMG quando a utilidade requerida é u*.

66 Relações entre o PMU e o PMGProposição 3.E.1  Mas-Collel et all. Suponha que u(.) seja uma função de utilidade contínua que represente uma ≥ que obedeça não saciedade local definida sobre o conjunto de consumo X= Rn+ e que o vetor de preços seja p >> 0. Nós temos então que:

67 Proposição 3.E.1  Mas-Collel et all.Se x* soluciona o PMU quando a renda é y > 0, então x* soluciona o PMG quando o nível de utilidade requerida é u(x*). Além disso, o nível de gasto minimizado neste PMG é exatamente y. Se x* soluciona o PMG quando o nível de utilidade requerido é u > u(0), então, x* soluciona o PMU quando a renda é pTx*. Além disso, o nível de utilidade maximizado neste PMU é exatamente u. Ou seja, x* é a solução do PMU  x* é a solução do PMG

68 Prova  Seja u=u(x*). Queremos mostrar que x* resolve o PMG quando o nível de utilidade requerido é u(x*). Suponha, por absurdo, que isso não ocorra. Então, existe uma cesta x’ que resolve o PMG, ou seja, u(x’)≥ u(x*) e px’ < px*≤ y. Por não-saciedade local, podemos encontrar x’’ muito próxima de x’ tal que u(x’’) > u(x’) e px’’< px*. Mas isso implica que x’’ Bp,y e u(x’’) > u(x*) contradizendo o fato de x* ser a solução do PMU.

69 Prova  Então, x* resolve o PMG quando o nível de utilidade requerido é u(x*). Portanto, o gasto minimizado é pTx*. Como x* resolve o PMU quando a renda é y, então, pela lei de walras pTx*=y.

70 Prova  Como u > u(0), nós devemos observar x* 0. Então, pTx* > 0. Seja y = pTx*. Queremos mostrar que x* resolve o PMU quando o nível de renda é y. Suponha que não. Então, existe outra solução x’ para o PMU de forma que u(x’) > u(x*) e pTx’=pTx*= y [x’ resolve o PMU, ptt, vale lei de walras]. Como a utilidade é contínua, podemos achar um escalar t (0,1) tal que pT(tx’) < pTx* = y e u(tx’)>u(x*). Mas se existe uma cesta tx’ mais barata e melhor que x*, esta não pode ser a solução para PMG. Contradição. Assim, x* resolve o PMU quando a renda é pTx* e o nível de utilidade maximizado é, portanto, u(x*). Mostraremos mais adiante que se x* resolve o PMG quando o nível de utilidade requerido no PMG é u, então, u(x*) = u.

71 O PMG e a função gasto Quando achamos o xh (ou seja, o x que minimiza a função acima, respeitando a restrição) e substituímos na função pTx, temos exatamente o gasto mínimo requerido para alcançar pelo menos u, quando os preços são p.

72 Função gasto Como já colocado, dados os p >> 0 e nível de utilidade requerido u > u(0), o valor do gasto minimizado é denominado de e(p,u), chamada função gasto. Próxima aula: propriedades da função gasto!

73 Teorema M.F.2 – pag. 945 Seja f: X  R uma função contínua avaliada num subconjunto X não-vazio e compacto do Rn. Então, f(.) tem um máximo: isto é, existe um x  X tal que f(x)  f (x’) para todo x’  X . Voltar