1 AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 4)Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH

2 Podstawowe człony dynamiczne obiekt bezinercyjnyPrzykład fizyczny. Schemat równoważni: x(t) y(t) a b

3 Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny I rzęduPrzykład fizyczny. Schemat dwójnika RC: u(t) y(t) i(t) C R Zakładamy, że sygnałem sterującym jest napięcie zasilające u(t), a sygnałem wyjściowym – spadek napięcia na kondensatorze y(t) Po przekształceniu w dziedzinie zmiennej zespolonej otrzymujemy:

4 Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzęduPrzykład fizyczny. Schemat procesu mieszania w zbiornikach: Roztwór o natężeniu objętościowym  i stężeniu  przechodzi przez dwa zbiorniki – mieszalniki o objętościach c1 oraz c2.

5 Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzęduJeżeli przyjmiemy całkowite wymieszanie, to dla stężeń 1 oraz 2 w poszczególnych zbiornikach możemy sformułować następujące równania bilansowe: Przyjmujemy, że sygnałem wyjściowym jest stężenie w drugim zbiorniku 1. Sygnałem wejściowym stężenie zadane . Po przekształceniach i transformacji otrzymanego równania otrzymamy:

6 Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny n-tego rzęduGdzie: k – współczynnik wzmocnienia T1 … Tn – stałe czasowe. u(t)=1(t) czas y(t) k 1 2 3 4 Charakterystyki czasowe

7 Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny n-tego rzęduQ(ω) k ω=0 1 2 3 4 Charakterystyki amplitudowo-fazowe :

8 Podstawowe człony dynamiczne obiekt różniczkujący rzeczywistyTransmitancja obiektu: gdzie: T – czas różniczkowania, k – współczynnik wzmocnienia Charakterystyka czasowa: t y(t) T Ak T/k

9 Podstawowe człony dynamiczne obiekt różniczkujący rzeczywistyQ( w ) P( kT d /T

10 Podstawowe człony dynamiczne obiekt różniczkujący rzeczywistyCharakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy. ω 20logM(ω) Φ(ω) 20log(Td/T) +20dB/dekadę ω=1/T /4 /2

11 Podstawowe człony dynamiczne obiekt różniczkujący rzeczywistyPrzykład fizyczny. Schemat dwójnika RC: i(t) C R u(t) y(t)

12 Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący idealnyTransmitancja obiektu: gdzie: Ti – czas całkowania. u(t)=1(t) czas y(t) Ti 1 Charakterystyka czasowa

13 Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący idealnyQ(ω) ω=0 Charakterystyka amplitudowo-fazowa :

14 Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący idealnyω 20logM(ω) Φ(ω) -20dB/dekadę -/2 Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy.

15 Podstawowe człony dynamiczneLogarytm modułu jest najczęściej mierzony w decybelach [dB], przy czym 1 dB jest równy 20 log M(). Charakterystyka częstotliwościowa logarytmiczna jest więc linią prostą o ujemnym nachyleniu. Nachylenie tej charakterystyki możemy łatwo obliczyć: załóżmy na początku, że rozważamy dwie wartości pulsacji, powiązane z sobą następująco: 1 =  , 2 = 101. Wtedy –(20log2T-20log1T) = -20 ( log101T - log1T ) = -20( 1 + log1T - log1T ) = -20dB. Zmianę częstotliwości w stosunku 1 : 10 nazywamy dekadą. Stąd mówimy, że nachylenie charakterystyki wynosi –20 dB/dekadę.

16 Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący idealnyPrzykład fizyczny. Jako przykład fizyczny obiektu całkującego rozważmy zbiornik o stałym polu przekroju równym S, z wymuszonym dopływem i odpływem. Załóżmy, że natężenie dopływu jest równe Fd. Oznaczmy gęstość cieczy w zbiorniku przez  , a poziom cieczy przez h. Wtedy na podstawie bilansu masy możemy zapisać równanie stanu tego systemu: S Fd h

17 Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący z inercją I rzęduTransmitancja obiektu: gdzie: T – stała czasowa, kv - współczynnik wzmocnienia prędkościowego . Charakterystyka czasowa

18 Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący z inercją I rzęduCharakterystyka amplitudowo-fazowa :

19 Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący z inercją I rzęduω 20logM(ω) Φ(ω) -20dB/dekadę -/2 - -40dB/dekadę ω=1/T Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy.

20 Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący z inercją I rzęduPrzykład fizyczny. Przykładem obiektu całkującego z inercją jest silnik prądu stałego przy założeniu, że zbiornik energii pola magnetycznego ( indukcyjność uzwojeń ) jest pomijalnie mały w porównaniu ze zbiornikiem energii kinetycznej ruchu obrotowego ( wirujące masy ). Wtedy, przyjmując że prąd wzbudzenia jest stały i żadne opory ruchu nie występują otrzymujemy następujący schemat: Schemat silnika prądu stałego:

21 Podstawowe człony dynamiczne obiekt całkujący z inercją I rzęduPrzyjmujemy, że sygnałem wejściowym jest napięcie zasilania u(t), a sygnałem wyjściowy – kąt obrotu wału (t) Zakładamy, że: Równanie silnika można zapisać w następującej postaci: Po przeprowadzeniu transformacji Laplace’a otrzymujemy: Definiując transmitancję jako: Otrzymujemy:

22 Podstawowe człony dynamiczne obiekt oscylacyjnyTransmitancja obiektu: gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T0 – okres drgań własnych,  - współczynnik tłumienia . Warunek wystąpienia oscylacji:  <1

23 Podstawowe człony dynamiczne obiekt oscylacyjnyy(t) 1 u(t)=1(t) Charakterystyka czasowa czas

24 Podstawowe człony dynamiczne obiekt oscylacyjnyCharakterystyka amplitudowo-fazowa : P(ω) Q(ω) ω=0 k

25 Podstawowe człony dynamiczne obiekt oscylacyjnyω 20logM(ω) Φ(ω) 20log(k) -20dB/dekadę ω=1/T0 -/2 -

26 Podstawowe człony dynamiczne -obiekt oscylacyjny Przykład – siłownik pneumatyczny membranowySygnałem wejściowym siłownika jest ciśnienie Pz podawane na membranę wejściową. Siła wywierana przez ciśnienie jest wprost proporcjonalna do ciśnienia oraz powierzchni membrany. Sygnałem wyjściowym jest przesunięcie trzpienia x. A - powierzchnia membrany, m - masa części ruchomych ( membrana i trzpień ), k - stałą sprężystości sprężyny podpierającej, R - współczynnik oporów ruchu części ruchomych.

27 Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp.Podstawowe człony dynamiczne -obiekt oscylacyjny Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy Transmitancję operatorową rozważanego układu wyznaczymy na podstawie bilansu sił występujących w nim: Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp. Fp(t) = Apz(t) Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia trzpienia Fs(t)=kx(t) Siła oporu części ruchomych występuje tylko podczas ruchu i w rozważanym przypadku można uznać, że jest ona proporcjonalna do prędkości: FR(t)=Rv(t) jest siła bezwładności. Jest ona opisana powszechnie znanym wzorem: Fb(t)=ma(t)

28 Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp.Podstawowe człony dynamiczne -obiekt oscylacyjny Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy Transmitancję operatorową rozważanego układu wyznaczymy na podstawie bilansu sił występujących w nim: Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp. Fp(t) = Apz(t) Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia trzpienia Fs(t)=kx(t) Siła oporu części ruchomych występuje tylko podczas ruchu i w rozważanym przypadku można uznać, że jest ona proporcjonalna do prędkości: FR(t)=Rv(t) jest siła bezwładności. Jest ona opisana powszechnie znanym wzorem: Fb(t)=ma(t)

29 Po uwzględnieniu wcześniejszych zależności otrzymujemy:Podstawowe człony dynamiczne -obiekt oscylacyjny Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy Bilans sił można zapisać następująco: Fp = Fs+FR+Fb Po uwzględnieniu wcześniejszych zależności otrzymujemy: Apz(t) = kx(t) + Rv(t) + ma(t) Wiedząc, że: Otrzymujemy: Transformata Laplace’a powyższego równania, przy założeniu zerowych warunków początkowych na x oraz będzie mieć następującą postać: APz(s) = kX(s) + RsX(s) +ms2X(s) Jeżeli teraz przypomnimy, że wyjściem układu jest sygnał x, a wejściem – sygnał pz, to widzimy, że transmitancja operatorowa układu będzie mieć postać:

30 Podstawowe człony dynamiczne obiekt opóźniającyTransmitancja obiektu: gdzie:  - opóźnienie (czas martwy) obiektu. Charakterystyka czasowa: y(t) y(t) u(t)=1(t) 1  czas

31 Podstawowe człony dynamiczne obiekt opóźniającyCharakterystyka amplitudowo-fazowa : Q(ω) 1 1 1 P(ω) 1

32 Podstawowe człony dynamiczne obiekt opóźniającyCharakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy. 20logM(ω) M() = 1 L()=20logM()=0 Φ(ω) ω Φ(ω)=- ω

33 Podstawowe człony dynamiczne obiekt opóźniającyPrzykład fizyczny. Z elementami opóźniającymi najczęściej spotykamy się podczas opisu wszelkiego rodzaju procesów transportu, np. z użyciem przenośników taśmowych. Rozważamy układ pokazany na rys Materiał sypki na przenośnik jest podawany w punkcie a, a do zbiornika podawany jest w punkcie b, odległym od a o długość l. Taśmociąg jako element opóźniający.

34 Podstawowe człony dynamiczne obiekt opóźniającyW rozważanym układzie możemy zauważyć, że jeśli prędkość przesuwu taśmy taśmociągu jest stała i równa v, wielkością wejściową w układzie jest masa materiału podawana na wejście w punkcie a, a wyjściem układu jest masa podawana do zbiornika w punkcie b to opóźnienie wnoszone przez ten element jest równe:  = l/v . Jeżeli oznaczymy masę substancji podawaną w punkcie a przez ma, a masę podawaną do zbiornika w punkcie b przez mb, to zależność pomiędzy tymi masami jako funkcja czasu może tu być zapisana w uproszczeniu ( przy założeniu braku strat po drodze ) następująco: mb(t) = ma(t-)

35 Podstawowe człony dynamiczne obiekt I rzędu z opóźnieniemTransmitancja obiektu: gdzie: - opóźnienie (czas martwy) obiektu, k – wzmocnienie obiektu, T – stała czasowa obiektu. u(t)=1(t) czas y(t) T k  Charakterystyka czasowa

36 Podstawowe człony dynamiczne obiekt I rzędu z opóźnieniemCharakterystyka amplitudowo-fazowa : P(ω) Q(ω) k

37 Podstawowe człony dynamiczne obiekt I rzędu z opóźnieniemω 20logM(ω) Φ(ω) 20log(k) -20dB/dekadę ω=1/T Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy.

38 Modele zastępcze obiektów dynamicznychZałóżmy, że mamy eksperymentalnie wyznaczoną odpowiedź skokowa nieznanego obiektu wysokiego rzędu. u(t)=1(t) czas y(t) k

39 Modele zastępcze obiektów dynamicznychBudowa poprawnie działającego układu sterowania nie wymaga znajomości dokładnego modelu obiektu. W wielu sytuacjach wystarczy model przybliżony, mający postać np. transmitancji zastępczej z opóźnieniem. Model zastępczy Kupfmullera I rzędu:

40 Identyfikacja parametrów modelu:Metoda graficzna: u(t)=1(t) czas y(t) k y(t) ym(t)  T

41 Model zastępczy Kupfmullera II rzędu:Inne modele zastępcze obiektów dynamicznych Model zastępczy Kupfmullera II rzędu:

42 Model zastępczy Strejca bez opóźnienia:Inne modele zastępcze obiektów dynamicznych Model zastępczy Strejca bez opóźnienia:

43 Model zastępczy Strejca z opóźnieniem:Inne modele zastępcze obiektów dynamicznych Model zastępczy Strejca z opóźnieniem: