1 AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 5)Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH

2 Schematy blokowe układów sterowania i ich przekształceniaPołączenie szeregowe G1(s) G2(s) Gn(s) U(s) Y(s) G(s) Y(s) U(s)

3 Schematy blokowe układów sterowania i ich przekształceniaG1(s) G2(s) Gn(s) + Połączenie równoległe U(s) Y(s) G(s) Y(s) U(s)

4 Schematy blokowe układów sterowania i ich przekształceniaPołączenie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym U(s) + G1(s) Y(s) - U(s) G(s) Y(s) H(s)

5 Schematy blokowe układów sterowania i ich przekształceniaPołączenie z dodatnim sprzężeniem zwrotnym U(s) + Y(s) G1(s) + G(s) U(s) H(s)

6 Schematy blokowe układów sterowania i ich przekształceniaPrzenoszenie węzła zaczepowego: U(s) G(s) Y(s) U(s) G(s) Y(s) G(s) Y(s) Y(s)

7 Schematy blokowe układów sterowania i ich przekształceniaPrzenoszenie węzła zaczepowego: U(s) G(s) Y(s) U(s) G(s) Y(s) 1/G(s) Y(s) U(s)

8 Schematy blokowe układów sterowania i ich przekształceniaPrzenoszenie węzła sumacyjnego: Y(s) U1 (s) G(s) U1 (s) G(s) Y(s) U2 (s) U2 (s) G(s)

9 Schematy blokowe układów sterowania i ich przekształceniaPrzenoszenie węzła sumacyjnego: Y(s) U1 (s) G(s) U2 (s) U1 (s) G(s) Y(s) 1/G(s) U2 (s)

10 Upraszczanie schematów blokowych - przykładG4(s) 1 + U2 (s) U1 (s) + G1(s) + G2(s) G3(s) - - G5(s)

11 Upraszczanie schematów blokowych - przykładG4(s) G3-1(s) + U2 (s) U1 (s) + G1(s) + G2(s) G3(s) - - G5(s) 2

12 Upraszczanie schematów blokowych - przykładG4(s) G3-1(s) + U2 (s) U1 (s) + G1(s) - 3

13 Upraszczanie schematów blokowych - przykładG4(s) G3-1(s) 5 + U2 (s) U1 (s) + -

14 Upraszczanie schematów blokowych - przykładG4(s)G3-1(s) + U2 (s) U1 (s) + 6 -

15 Upraszczanie schematów blokowych - przykładU2 (s) U1 (s) + - 1-G4(s)G3-1(s) 7

16 Upraszczanie schematów blokowych - przykładU2 (s) U1 (s)

17 Przykłady analogii pomiędzy układami elektrycznymi i mechanicznymiDwójnik RC i(t) R C u(t) uc(t)

18 Przykłady analogii pomiędzy układami elektrycznymi i mechanicznymiZbiornik ciśnieniowy: R pz(t) p(t) q(t) pz(t) – ciśnienie zasilające, R – opór pneumatyczny, q(t) -natężenie przepływu, C – pojemność zbiornika, p(t) – ciśnienie w zbiorniku

19 Przykłady analogii pomiędzy układami elektrycznymi i mechanicznymiZależności w zbiorniku:

20 Przykłady analogii pomiędzy układami elektrycznymi i mechanicznymiAnalogie w przykładzie 1: Układ elektryczny Układ pneumatyczny Natężenie prądu i(t) Napięcie u(t) Rezystancja R Pojemność elektryczna C Natężenie przepływu q(t) Różnica ciśnień p(t) Opór pneumatyczny R Pojemność zbiornika C

21 Przykłady analogii pomiędzy układami elektrycznymi i mechanicznymiObwód RLC u1(t) uc(t) i(t) R C L

22 Przykłady analogii pomiędzy układami elektrycznymi i mechanicznymiUkład mechaniczny: m f(t) R

23 Przykłady analogii pomiędzy układami elektrycznymi i mechanicznymiAnalogie w przykładzie 2: Układ elektryczny Układ mechaniczny Natężenie prądu i(t) Napięcie u(t) Rezystancja R (element rozpraszający energię ) Pojemność elektryczna C (element magazynujący energię potencjalną ) Indukcyjność L (element magazynujący energię kinetyczną ) Prędkość v(t) Siła f(t) Współczynnik tarcia R (element rozpraszający energię ) Stała sprężystości k (element magazynujący energię potencjalną ) masa m (element magazynujący energię kinetyczną )

24 Przykłady analogii pomiędzy układami elektrycznymi i mechanicznymiW układzie dynamicznym oscylacje mogą wystąpić tylko wtedy, gdy: są w nim magazyny energii zarówno kinetycznej, jak i potencjalnej, Rozpraszanie energii podczas przejścia jednej formy w drugą nie jest zbyt silne. Matematyczne warunki na wystąpienie oscylacji były podane na wykładzie 4.

25 Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.Uwagi wstępne Model systemu dynamicznego opisany równaniem stanu dostarcza znacznie więcej informacji o systemie, niż model transmitancyjny, omawiany dotychczas. Budowa modelu w postaci równania stanu wymaga większej wiedzy o modelowanym procesie, niż ma to miejsce w przypadku modelu transmitancyjnego.

26 Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.Definicja Stanem procesu nazywamy zbiór liniowo niezależnych wielkości x1(t) … xn(t): określających w pełni skutki przeszłych ( w przedziale czasu [0, t0 ] ) oddziaływań na system, wystarczający do wyznaczenia przebiegów dowolnych wielkości w systemie w przyszłości. ( dla t > t0 ) Wielkości x1(t) … xn(t) – zmienne stanu

27 Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.Zmienne stanu budują wektor stanu systemu:

28 Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.Uwagi nt. wektora stanu: Znajomość stanu procesu w chwili początkowej x(t0) oraz sterowań U w przedziale [t0;t1) pozwala na wyznaczenie stanu x i wyjścia procesu y w przedziale (t0;t1) . Wybór wektora stanu dla procesu nie jest jednoznaczny dla tego samego systemu można wybrać wiele równoważnych wektorów stanu) . Liczba zmiennych stanu procesu równa jest liczbie niezależnych zbiorników energii w układzie.

29 Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.u1(t) i(t) R C2 C1 uc (t) Przykład: a/ układ opisany 1 zmienną stanu: Jest nią uc(t) R uc1 (t) u1(t) i(t) C2 C1 uc2 (t) i2 (t) b/ układ opisany 2 zmiennymi stanu: Są to uc1(t) i uc2(t)

30 Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.Znajomość zmiennych stanu pozwala na wyznaczenie wszystkich innych wielkości w systemie. Przypadek a/: Przypadek b/:

31 Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.Zmienne stanu najczęściej są powiązane z sobą zależnością w postaci równania różniczkowego. W przypadku ogólnym stan systemu x(t) nie jest dostępny (mierzalny). Dostępne jest tylko wyjście systemu opisane przez y(t).

32 Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.Wektor sterowań: Wektor sterowań opisuje od strony formalnej wszystkie oddziaływania sterujące działające na system .

33 Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.Wektor wyjść: Wektor wyjść opisuje tę część systemu, która jest dostępna do obserwacji i pomiarów.

34 Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.Równanie stanu jest wektorowym równaniem różniczkowym I rzędu (liniowym lub nieliniowym) Nieliniowe ciągłe równanie stanu: Nieliniowe równanie wyjścia: f, g – funkcje wektorowe o odpowiednich wymiarach

35 Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.Schemat blokowy systemu opisanego nieliniowym ciągłym równaniem stanu: u(t) x(t) y(t)

36 Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.Równanie stanu dla systemu liniowego stacjonarnego: Gdzie: A- macierz stanu o wymiarze n x n, B – macierz sterowań o wymiarze n x p, C – macierz wyjść o wymiarze r x n, D – macierz bezpośrednich sterowań o wymiarze r x p