1 AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 6)Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH

2 Wymagania stawiane układom regulacjiSterowalność systemu Obserwowalność systemu Stabilność systemu

3 Sterowalność systemu dynamicznegoDefinicja System nazywamy sterowalnym, jeżeli stosując ograniczone, przedziałami ciągłe sterowanie można go przeprowadzić w skończonym czasie z dowolnego zadanego stanu początkowego x0 do zadanego stanu końcowego xk . Warunek konieczny i dostateczny sterowalności 1. System liniowy stacjonarny jest sterowalny (para macierzy (A,B) jest sterowalna ) wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy sterowalności S jest równy n p-rząd macierzy sterowań B

4 Sterowalność systemu dynamicznegoWarunek konieczny i dostateczny sterowalności 2. System liniowy stacjonarny o jednym wejściu jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy:

5 Sterowalność systemu dynamicznegoPrzykład Sprawdzić sterowalność systemu dynamicznego opisanego następująco: W powyższym przykładzie:

6 Sterowalność systemu dynamicznegoCzyli: Rząd macierzy sterowalności jest równy 3 ( wyznacznik 3x3 tej macierzy jest niezerowy), WNIOSEK: Rozważany układ jest sterowalny.

7 Obserwowalność systemu dynamicznegoDefinicja System dynamiczny jest obserwowalny, jeżeli istnieje taka skończona chwila tk że na podstawie znajomości sterowania u(t0 , tk] oraz oraz odpowiedzi y(t0 , tk ] w przedziale (t0 , tk ] można wyznaczyć stan początkowy x0 w chwili t0 .

8 Obserwowalność systemu dynamicznegoWarunek konieczny i dostateczny obserwowalności 1 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny (para macierzy (C,A) jest obserwowalna ) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy obserwowalności G jest równy n r- rząd macierzy C

9 Obserwowalność systemu dynamicznegoWarunek konieczny i dostateczny obserwowalności 2 System liniowy stacjonarny o jednym wyjściu jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy:

10 Obserwowalność systemu dynamicznegoPrzykład Zbadać obserwowalność następującego systemu dynamicznego: Rząd macierzy C równa się 2,

11 Obserwowalność systemu dynamicznegoMacierz G z twierdzenia jest równa: Rząd macierzy G jest równy 3, układ jest zatem sterowalny.

12 Stabilność systemów dynamicznychRozważmy autonomiczny układ nieliniowy: Definicja ( Punkt równowagi systemu) Punktem równowagi systemu nazywamy punkt x = xr dla którego: f(xr) = 0. Innymi słowy, trajektoria systemu osiąga punkt równowagi, jeśli wszystkie zmienne stanu osiągają wartość ustaloną. Uwaga: Układ nieliniowy może mieć więcej niż 1 punkt równowagi. Układ liniowy ma tylko 1 punkt równowagi.

13 Stabilność systemów dynamicznychPrzykład: ( punkty równowagi systemu nieliniowego): Rozważmy następujący, autonomiczny układ nieliniowy: W punkcie równowagi pochodne ze zmiennych stanu się zerują, co można zapisać następująco: ( * ) Łatwo zauważyć, że równanie (*) jest spełnione dla: Czyli układ ma 2 punkty równowagi: P1 (0,0) oraz P2(1,0)

14 Stabilność systemów dynamicznychDefinicja stabilności Punkt równowagi xr nazywamy stabilnym, ( w sensie Lapunova ) jeżeli dla każdej liczby dodatniej  można dobrać taką liczbę  (zależną od  ) że trajektoria systemu x(t) rozpoczynająca się w punkcie początkowym x0 (nie będącym punktem równowagi) leżącym wewnątrz kuli o promieniu  pozostaje wewnątrz kuli o promieniu  dla dowolnej chwili czasu t >0 Oznacza to, że: Układ dynamiczny uznajemy za stabilny, jeżeli jego odpowiedź na dowolne wymuszenie ograniczone pod względem amplitudy oraz czasu trwania również jest ograniczona.

15 Stabilność systemów dynamicznychDefinicja (Stabilność asymptotyczna) Punkt równowagi xr nazywamy stabilnym asymptotycznie, jeżeli: Jest stabilny, Spełniony jest następujący warunek: Mówiąc prościej, rozwiązanie jest stabilne asymptotycznie, jeśli przy czasie rosnącym do nieskończoności zmierza do rozwiązania ustalonego, czyli wszystkie składowe przejściowe rozwiązania zanikają do zera.

16 Stabilność systemów dynamicznychStabilnością_lokalną nazywamy stabilność dla warunków początkowych leżących w niewielkim otoczeniu punktu równowagi. Stabilnością_globalną nazywamy stabilność dla dowolnych warunków początkowych. Uwaga W systemach nieliniowych można wyróżnić obszary stabilności i obszary niestabilności. System liniowy jest stabilny lub niestabilny dla wszystkich warunków początkowych.

17 Stabilność systemów dynamicznychPrzykłady odpowiedzi impulsowych układów stabilnych asymptotycznie:

18 Stabilność systemów dynamicznychPrzykłady odpowiedzi skokowych układów stabilnych asymptotycznie:

19 Stabilność systemów dynamicznychPrzykład odpowiedzi skokowej układu niestabilnego

20 Stabilność systemów dynamicznychRozważmy system opisany transmitancją operatorową: Warunek konieczny i dostateczny ( Stabilność ) WK i D: System dynamiczny opisany transmitancją operatorową jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki mianownika transmitancji M(s) mają niedodatnie części rzeczywiste.

21 Stabilność systemów dynamicznychWKiD ( Stabilność asymptotyczna) System dynamiczny opisany transmitancją operatorową jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki mianownika transmitancji M(s) mają ujemne części rzeczywiste. UWAGA: O stabilności systemu decyduje lokalizacja pierwiastków mianownika transmitancji obiektu a nie wartość tych parametrów.

22 Kryteria stabilności systemów dynamicznychKryteria stabilności służą do lokalizacji pierwiastków wielomianu charakterystycznego na płaszczyźnie zespolonej bez konieczności wyznaczania ich wartości. Warunek konieczny WK (stabilność) Warunkiem koniecznym stabilności systemu dynamicznego opisanego transmitancją operatorową jest, aby wszystkie współczynniki: a0 ,… ,an mianownika transmitancji systemu M(s) były nieujemne ( niedodatnie ).

23 Stabilność systemów dynamicznychWarunek konieczny WK (stabilność asymptotyczna) Warunkiem koniecznym stabilności asymptotycznej systemu dynamicznego opisanego transmitancją operatorową jest, aby wszystkie współczynniki: a0 ,… ,an mianownika transmitancji systemu M(s) były: 1. różne od zera, 2. tego samego znaku ( tzn. wszystkie dodatnie lub wszystkie ujemne ) UWAGI 1.Współczynniki wielomianu charakterystycznego równe zero generują pary pierwiastków czysto urojonych, które są stabilne, ale nie są stabilne asymptotycznie. 2. Współczynniki o różnych znakach generują pierwiastki o dodatnich częściach rzeczywistych , które są niestabilne.

24 Stabilność systemów dynamicznychPrzykłady: Wielomian charakterystyczny spełniający WK stabilności asymptotycznej : Wielomian charakterystyczny spełniający WK stabilności (ale nie asymptotycznej ) : Wielomian charakterystyczny niestabilny ( nie spełniający WK stabilności asymptotycznej):

25 Stabilność systemów dynamicznychUWAGI: Nie spełnienie WK oznacza, że układ jest niestabilny, Spełnienie WK dla n = 1, 2 ( system 1 lub 2 rzędu ) oznacza, że system jest stabilny, czyli dla układów 1 i 2 rzędu Warunek Konieczny jest Warunkiem Koniecznym i Dostatecznym stabilności. Spełnienie WK dla systemu 3 rzędu lub wyższego nie daje informacji o stabilności, należy zastosować dodatkowo kryterium stabilności.

26 Kryteria stabilności systemów liniowychZe względu na sposób postępowania podczas badania stabilności, kryteria stabilności systemów liniowych dzielimy na dwie zasadnicze grupy: kryteria algebraiczne – przy ich pomocy badamy lokalizację pierwiastków wielomianu charakterystycznego na podstawie znajomości jego współczynników. Należą do nich kryteria Hurwitza i Routha. kryteria częstotliwościowe – ich znaczenie polega na tym, że pozwalają one na badanie stabilności na podstawie doświadczalnie zdjętych charakterystyk częstotliwościowych. Pozwalają one na podstawie znajomości przebiegu charakterystyki częstotliwościowej dla układu otwartego wnioskować o stabilności układu zamkniętego. Najbardziej znane jest kryterium Nyquista.

27 Rozważmy wielomian charakterystyczny M(s):Kryterium Hurwitz’a Rozważmy wielomian charakterystyczny M(s): Zakładamy, że jest spełniony WK stabilności. Dla wielomianu budujemy macierz Hurwitza o następującej postaci:

28 Kryterium Hurwitz’a Minory główne macierzy H mają postać:

29 Twierdzenie ( Kryterium Hurwitza ) Założenia: Rozważamy wielomian charakterystyczny M(s) Zakładamy że jest spełniony WK stabilności asymptotycznej. (wszystkie współczynniki ai i =0 ... N tego wielomianu są różne od zera i są tego samego znaku,) Wielomian M(s) ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie zespolonej wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory główne H1 … Hn macierzy Hurwitza H sa dodatnie.

30 Kryterium Hurwitz’a – przykład 1Rozważmy następujący wielomian charakterystyczny: macierz Hurwitza H: Minory główne: Układ NIESTABILNY

31 Kryterium Hurwitz’a – przykład 2Rozważmy następujący wielomian charakterystyczny: macierz Hurwitza H:

32 Kryterium Hurwitz’a – przykład 2Minory główne:

33 Kryterium Hurwitz’a – przykład 2UWAGA: Nie ma potrzeby badania wyznacznika H , gdyż jest on zawsze dodatni jeśli H4 jest dodatni. Układ jest STABILNY

34 Rozważmy wielomian charakterystyczny M(s):Kryterium Routha Rozważmy wielomian charakterystyczny M(s): Zakładamy, że jest spełniony WK stabilności. Dla systemu budujemy tablicę Routha o następującej postaci :

35 Kryterium Routha Gdzie:

36 Twierdzenie ( Kryterium Routha ) Założenia: Rozważamy wielomian charakterystyczny M(s) Zakładamy że jest spełniony WK stabilności asymptotycznej. Liczba pierwiastków wielomianu M(s) leżąca w prawej półpłaszczyźnie zespolonej równa jest liczbie zmian znaku współczynników pierwszej kolumny tablicy Routha.

37 Kryterium Routha UWAGI WKiD stabilności układu wymaga, aby wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego leżały w lewej półpłaszczyźnie, czyli liczba zmian znaku wyrazów pierwszej kolumny tablicy dla układu stabilnego powinna być równa zero. Tablica ma n+1 wierszy.

38 2 zmiany znaku: 1 zmiana znaku: Kryterium RouthaInterpretacja zmian znaku wyrazów w pierwszej kolumnie: 2 zmiany znaku: 1 zmiana znaku:

39 Kryterium Routha - przykładRozważmy następujący wielomian charakterystyczny: Tablica Routha ( 6 wierszy ):

40 Kryterium Routha - przykładGdzie:

41 Kryterium Routha - przykład

42 Kryterium Routha - przykładOstatecznie tablica Routha ma postać następującą:

43 Kryterium Routha - przykładWniosek: W pierwszej kolumnie tablicy Routha występują 3 zmiany znaku, co pozwala na sformułowanie wniosku, że wielomian jest niestabilny i ma 3 pierwiastki w prawej półpłaszczyźnie zespolonej.