1 AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 9)Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH
2 Układy liniowe z opóźnieniemW praktyce występują układy regulacji, których człony mogą przejawiać opóźnioną reakcję na sygnał wejściowy. Rozróżniamy dwa rodzaje reakcji i członów: człony z opóźnieniem skupionym, człony z opóźnieniem rozłożonym. Człony z opóźnieniem skupionym nie powodują znie-kształcenia sygnałów w czasie, a tylko przesuwają je wzdłuż osi czasu. Z reakcjami tego typu mamy najczęściej do czynienia w pro-cesach transportu i mieszania.
3 Układy liniowe z opóźnieniemCzłony z opóźnieniem rozłożonym powodują defor-mację sygnałów zależną od miejsca i czasu. Z reakcjami tego typu mamy najczęściej do czynienia w pro-cesach przesyłania energii liniami o znacznej długości, na przykład elektrycznymi, cieplnymi, pneumatycznymi i hydrau-licznymi. Będziemy rozpatrywać wyłącznie człony z opóźnieniem skupionym, a opóźnienie skupione będziemy nazywać krótko opóźnieniem. Ponadto założymy, że opóźnienie w obiekcie regulacji ma charakter dominujący, a ewentualne opóźnienia w pozo-stałych członach układu są pomijalnie małe.
4 Układy liniowe z opóźnieniemRys. Ogólny schemat blokowy układu regulacji z opóźnieniem
5 Układy liniowe z opóźnieniemPrzyjmijmy funkcje przejścia członów układu: Kr, K, Kz – współczynniki wzmocnienia, Ti, Td, Tz – stałe czasowe, τ – czas opóźnienia.
6 Układy liniowe z opóźnieniemRys. Szczegółowy schemat blokowy układu regulacji z opóźnieniem i funkcjami przejścia
7 Układy liniowe z opóźnieniemSchematy blokowe układów G1, G2, G3 i G4 do badań symulacyjnych.
8 Charakterystyki skokowe układów G1, G2, G3 i G4Układy liniowe z opóźnieniem Pobudzając układy skokowym sygnałem sterującym, możemy zaobserwować wyraźny wpływ wzrostu czasu opóźnienia na pogorszenie się właściwości eksploatacyjnych układów Charakterystyki skokowe układów G1, G2, G3 i G4
9 Układy liniowe z opóźnieniemW porównaniu z układami bez opóźnienia może wystąpić: wzrost przeregulowania i czasu regulacji, pojawienie się drgań typowych dla granicy stabilności, niestabilna praca układu.
10 Przykład 1 Przykłady członów z opóźnieniemJako pierwszy przykład rozważymy zawór dozujący, będący fragmentem układu regulacji stężenia związku chemicznego w roztworze wodnym, jak na rysunku. Rys. Schemat zaworu dozującego
11 Przykłady członów z opóźnieniemWłaściwe proporcje składników występują już w punkcie 1 zaworu dozującego, jednak ze względu na konieczność wymieszania się składników układ pomiarowy znajduje się w punkcie 2. Stężenie ck określone w punkcie 1 zostanie zarejestrowane w punkcie 2 jako wartość c po upływie czasu τ wynoszącego Stąd sposób opóźnionej reakcji możemy zapisać
12 Przykłady członów z opóźnieniem - przykład 2Rys. Fragment układu stabilizacji grubości walcowanego pasma – schemat walcowania
13 Przykłady członów z opóźnieniem - przykład 2Jako drugi przykład rozważymy fragment układu stabilizacji grubości walcowanego pasma. Właściwa grubość walco-wanego pasma hk zostaje wytworzona w kotlinie wal-cowniczej. Poza tą kotliną nie ma deformacji wymiarów pasma, więc reakcja czujnika mierzącego wartość h będzie opóźniona o czas τ wynoszący Wtedy
14 Przykłady członów z opóźnieniem - przykład 3Rys. Schemat przenośnika taśmowego
15 Układy liniowe z opóźnieniemJako trzeci przykład weźmiemy fragment układu regulacji grubości warstwy materiału na przenośniku taśmowym Zmiana grubości warstwy, a więc zmiana masy transportowanego materiału zachodzi w urządzeniu zasypowym i zarejestrowana jest przez czujnik po upływie czasu Reakcja czujnika jest więc opóźniona w czasie
16 Krótkie podsumowanie Układy liniowe z opóźnieniemW pokazanych przykładach czas opóźnienia wynikał głównie z konieczności przetransportowania medium (cieczy, metalu, sypkiego materiału itp.) z miejsca, w którym zadanie regulacyjne zostało wyko-nane do miejsca, w którym zaistniała zmiana mogła zostać zarejestrowana. Taki czas opóźnienia nosi często nazwę opóźnienia transportowego.
17 i charakterystyki członu z opóźnieniemModel matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Wcześniejsze wzory zapiszemy ogólnie w postaci Funkcję przejścia układu członu można wyznaczyć na podstawie twierdzenia o przesunięciu wzdłuż osi czasu
18 Sygnał wejściowy i odpowiedź członu z opóźnieniemModel matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Sygnał wejściowy i odpowiedź członu z opóźnieniem
19 i charakterystyki członu z opóźnieniemModel matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Dla wyznaczenia charakterystyk częstotliwościowych wyznaczamy widmową funkcję przejścia członu Wobec tego:
20 i charakterystyki członu z opóźnieniemModel matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu z opóźnieniem
21 i charakterystyki członu z opóźnieniemModel matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Charakterystyki logarytmiczne amplitudowa i fazowa członu z opóźnieniem
22 i charakterystyki członu z opóźnieniemModel matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Na podstawie tych charakterystyk można stwierdzić, że układy z opóźnieniem są układami niemini-malnofazowymi. Układy minimalnofazowe mają dwie charakterystyczne cechy: na podstawie logarytmicznej charakterystyki amplitudowej można przewidzieć kształt logarytmicznej charakterystyki fazowej, charakterystyka fazowa zmierza do skończonej wartości, gdy ω zmierzała do nieskończoności.
23 i charakterystyki członu z opóźnieniemModel matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem Układy nieminimalnofazowe mają również dwie cechy charakterystyczne: nie można przewidzieć kształtu logarytmicznej cha-rakterystyki fazowej na podstawie logarytmicznej cha-rakterystyki amplitudowej, 2) charakterystyka fazowa zmierza do minus nieskoń-czoności, gdy ω zmierza do nieskończoności.
24 Wybrane obiekty z opóźnieniemObiekt inercyjny pierwszego rzędu Funkcję przejścia obiektu inercyjnego pierwszego rzędu z opóźnieniem zapisujemy w postaci
25 Charakterystyka czasowa skokowaTransformata odpowiedzi Na podstawie twierdzenia o splocie otrzymujemy
26 Charakterystyka czasowa skokowaCharakterystyka skokowa obiektu inercyjnego z opóźnieniem
27 Charakterystyki częstotliwościoweWidmowa funkcja przejścia obiektu, jej moduł i argument
28 Charakterystyki częstotliwościoweCharakterystyka amplitudowo-fazowa obiektu inercyjnego z opóźnieniem
29 Aproksymacja właściwości obiektów wyższego rzędu bez opóźnienia za pomocą modeli niższego rzędu z opóźnieniem. Aproksymacja właściwości obiektów wyższego rzędu bez opóźnienia za pomocą modeli niższego rzędu z opóźnieniem. Aproksymacja właściwości obiektów inercyjnych wyższego rzędu z opóźnieniem za pomocą modeli niższego rzędu z opóźnieniem.
30 Aproksymacja właściwości obiektów wyższego rzędu bez opóźnienia za pomocą modeli niższego rzędu z opóźnieniem. Do obiektów wyższego rzędu bez opóźnienia zaliczymy między innymi obiekt inercyjny i całkujący z inercją. Ich modele zastępcze są następujące: Tz – zastępcza stała czasowa, τ – zastępczy czas opóźnienia.
31 Parametry zastępczego modelu obiektu inercyjnego wyższego rzędu na podstawie charakterystyki skokowej. Charakterystyka skokowa inercyjnego obiektu regulacji.
32 Parametry zastępczego modelu obiektu inercyjnego wyższego rzędu na podstawie charakterystyki skokowej. Na podstawie rysunku możemy określić wszystkie współczyn-niki zastępczej funkcji przejścia, mianowicie: Współczynnik wzmocnienia dany jest znanym wzorem Pozostałe parametry zastępcze można wyznaczyć bez- pośrednio z charakterystyki jak pokazano na rysunku
33 Parametry zastępczego modelu obiektu całkującego z inercją wyższego rzędu na podstawie charakterystyki skokowej Charakterystyka skokowa obiektu całkującego z inercją wyższego rzędu
34 Parametry zastępczego modelu obiektu całkującego z inercją wyższego rzędu na podstawie charakterystyki skokowej Na podstawie rysunku możemy określić wszystkie współczyn-niki zastępczej funkcji przejścia, mianowicie: Współczynnik wzmocnienia dany jest znanym wzorem Pozostałe parametry zastępcze można wyznaczyć ze wzorów
35 Parametry zastępczych modeli obiektów inercyjnych wyższych rzędówLp. Funkcja przejścia 1 1.865 0.282 2 a 2.786 0.386 3 3.700 0.450 4 4.632 0.498 5 5.566 0.534 6 6.535 0.555 7 8 8.456 0.614 10 10.424 0.636 9 2.455 0.805
36 Parametry zastępczych modeli obiektów całkujących z inercjami wyższych rzędów Lp. Funkcja przejścia 1 1.471 0.529 2 a 2.290 0.710 3 3.198 0.802 4 4.146 0.854 5 5.114 0.886 6 6.092 0.908 7 8 8.066 0.934 10 10.050 0.950 9 1.830 1.170
37 Aproksymacja właściwości obiektów inercyjnych wyższego rzędu z opóźnieniem za pomocą modeli niższego rzędu z opóźnieniem. Do obiektów inercyjnych wyższego rzędu z opóźnieniem możemy zaliczyć obiekty o jednakowych stałych czasowych, opisane funkcją przejścia Przybliżenia tego modelu mogą być następujące
38 Parametry zastępczych modeli obiektów naParametry zastępczych modeli obiektów na podstawie charakterystyki skokowej Charakterystyka skokowa obiektu
39 Parametry zastępczych modeli obiektów naParametry zastępczych modeli obiektów na podstawie charakterystyki skokowej Współczynnik wzmocnienia w obu modelach zastępczych wynosi: Dla jednej stałej czasowej mamy wzory: Dla dwóch identycznych stałych czasowych mamy:
40 Parametry zastępczych modeli obiektów naParametry zastępczych modeli obiektów na podstawie ich funkcji przejścia n 1 2 3 4 5 6 1.568 1.980 2.320 2.615 2.881 0.552 1.232 1.969 2.741 3.537 - 1.263 1.480 1.668 1.838 0.535 1.153 1.821 2.5253
41 Stabilność układów z opóźnieniemUkład regulacji jest stabilny wtedy, gdy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste ujemne lub mają ujemną część rzeczywistą, czyli leżą w lewej części płaszczyzny zmiennej zespolonej.
42 Kryterium Nyquista Schemat blokowy układu regulacjiRównanie charakterystyczne układu, konwencjonalnie i widmowo
43 Kryterium Nyquista Charakterystyki amplitudowo-fazowe w układzie otwartym: a) układu stabilnego b) układu niestabilnego Badany układ regulacji jest stabilny, gdy charak-terystyka amplitudowo-fazowa w układzie otwar-tym nie obejmuje punktu (-1, j0)
44 Stabilność układów z opóźnieniemKryterium Nyquista, oprócz zbadania stabilności, umożliwia także wyznaczenie krytycznego czasu opóźnienia. Krytycznym czasem opóźnienia nazywamy czas opóźnienia powodujący utratę stabilności układu regulacji. Zagadnienie to ilustrują charakterystyki amplitudowo-fazowe kilku układów dla różnych czasów opóźnienia.
45 Stabilność układów z opóźnieniemCharakterystyki amplitudowo-fazowe w układzie otwartym dla różnych wartości czasów opóźnienia
46 Stabilność układów z opóźnieniemFragment charakterystyki amplitudowo-fazowej układu w otoczeniu granicy stabilności
47 Stabilność układów z opóźnieniemDla granicy stabilności, czyli dla punktu G, warunek na moduł i argument widmowej funkcji przejścia wynoszą: Podane warunki są układem równań, przy czym: warunek pierwszy służy zwykle do wyznaczenia pulsacji na granicy stabilności, warunek drugi umożliwia wyznaczenie krytycznego czasu opóźnienia.
48 Stabilność układów z opóźnieniem - przykładSchemat blokowy układu regulacji przekształcony do postaci z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym Zbadać stabilność układu regulacji dla danych:
49 Rozwiązanie Stabilność układów z opóźnieniem - przykładTransmitancja operatorowa i widmowa w układzie otwartym Moduł i argument transmitancji widmowej (liczby zespolonej):
50 Stabilność układów z opóźnieniem - przykładPo podstawieniu: Na podstawie tych wzorów sporządzono dwie charakterystyki Bez opóźnienia (krzywa zielona). Z opóźnieniem (krzywa czerwona).
51 Charakterystyki amplitudowo-fazowe w układzie otwartym
52 Stabilność układów z opóźnieniem - przykładPodsumowanie Z rysunku widać, że Charakterystyka układu bez opóźnienia świadczy o stabilności układu. Charakterystyka układu z opóźnieniem świadczy o niestabilności układu, a więc o istotnym wpływie czasu opóźnienia na właściwości układu.
53 Rozwiązanie Stabilność układów z opóźnieniem - przykładWyznaczyć krytyczny czas opóźnienia poprzednio rozpatry-wanego układu. Rozwiązanie Warunek modułu i argumentu analizowanego układu wynoszą
54 Stabilność układów z opóźnieniem - przykładZ warunku modułu otrzymujemy Z warunku argumentu otrzymujemy