1 B R Y Ł Y P L A T O Ń S K I E

2

3 Matematyka w starożytności utożsamiana była z jednym z jej działów – GEOMETRIĄ.W dzisiejszych czasach uważa się starożytną Grecję za miejsce w którym powstały podstawy matematyki, opisane w takich księgach jak Elementy Euklidesa.

4 Tak naprawdę ta wiedza jest w większości starsza i pochodzi od innych, wcześniejszych cywilizacji.Na przykład, twierdzenie Pitagorasa znane było Egipcjanom jeszcze przed narodzinami Euklidesa (wykorzystywali ten fakt do wyznaczenia kąta prostego przy budowie piramid).

5 Sam Platon skupił się na stereometrii, czyli geometrii trójwymiarowej.Zauważył on pewną właściwość w czterech bryłach: − wszystkie cztery były bryłami wypukłymi, − każdy wierzchołek tworzył tyle samo ścian, a − ściany były przystającymi figurami foremnymi.

6 Tymi bryłami były czworościan foremny, sześcian, ośmiościan foremny i dwudziestościan foremny.Platon zauważył, że tylko te cztery bryły spełniają te warunki. Później jego uczeń, Teajtetos, odkrył jeszcze jedną taką bryłę - dwunastościan foremny.

7 W tym momencie zostało stwierdzono, że więcej takich brył już nie ma.Później było to udowodnione na kilka sposobów.

8 Grecy uznali bryły platońskie za idealne i zostały one wykorzystane w różnych filozofiach, ideologiach i kultach. Najbardziej popularną ideologią było utożsamianie tych brył jako żywiołów.

9 Były trzy żywioły niestałe: ogień (czworościan), powietrze (ośmiościan) i woda (dwudziestościan).Stały żywioł ziemi był reprezentowany przez sześcian o kwadratowych ścianach. Dwunastościan - bryła o pięciokątnych ścianach - był symbolem połączenia pierwszych czterech i symbolizował cały Wszechświat.

10 Bryła nazywa się platońską jeśli spełnia trzy poniższe warunki:− wszystkie ściany złożone z identycznych foremnych figur, − w każdym wierzchołku zbiega się taka sama liczba krawędzi, − wszystkie kąty wewnętrzne są wypukłe (mniejsze niż 180⁰).

11 W związku z powyższym wyróżniamy− czworościan (z greckiego: Tetraedr), − sześcian (Heksaedr), − ośmiościan (Oktaedr), − dwunastościan (Dodekaedr), − dwudziestościan (Ikosaedr). Każdy z nich nosi swoją grecką jak i polską nazwę od ilości ścian.

12 Ciekawą cechą brył platońskich jest to, że wraz z wzrostem ilości ścian:4→6→8→12→20, odpowiednio ilość krawędzi kształtuje się 6→12→12→30→30. Zależność tę tłumaczy nam słynny wzór Eulera 𝑊+𝑆=𝐾+2, gdzie 𝑊, 𝑆, 𝐾− są to odpowiednio liczby wierzchołków, ścian i krawędzi.

13 Jest on też jednym z dowodów na to, iż nie ma więcej niż 5 wielościanów foremnych.Powyższy opis ilustruje tabela pobrana z Wikipedii:

14

15 Bryły platońskie zdobią park w miejscowości Steinfurt w Niemczech ( zdjęcie ze strony twojamatematyka.cba.pl).

16 Dwie dwudziestościenne kości do gry należące do dynastii Ptolemeuszowskiej można oglądać w jednej z sal egipskich   British Museum w Londynie.

17 Pierwszych pięć od lewej strony kostki do gry są bryłami platońskimi

18 Fakt: W przestrzeni trójwymiarowej brył platońskich jest tylko pięć.Spróbujemy to uzasadnić. Wiadomo, że suma wszystkich kątów płaskich w narożu wielościanu powinna być mniejsza od 360°.

19 W przypadku bryły zbudowanej z samych trójkątów, możemy rozważyć tylko 3 różne wielościany:

20 − pierwszy z nich, mający po 3 krawędzie wychodzące z każdego wierzchołka, będzie posiadał sumę kątów płaskich mniejszą od 360°, gdyż 3 x 60° = 180°, czyli mniej, niż 360°; By User:DTR - Vectorisation of Image:Tetrahedron.jpg, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=

21 − drugi ma 4 krawędzie wychodzące z każdego wierzchołka, czyli 4 x 60° = 240° < 360°; By User:Stannered - Vectorisation of Image:Octahedron.jpg, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=

22 − trzeci posiada 5 krawędzi wychodzących z każdego wierzchołka, czyli 5 x 60° = 300° < 360° (czwarty nie istniałby, gdyż 6 x 60° = 360°). By User:DTR - Vectorisation of Image:Icosahedron.jpg, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=

23 W przypadku bryły zbudowanej z samych czworokątów, istnieje tylko jeden przypadek takiego wielościanu, gdyż 3 x 90° = 270° < 360°, (bo większe, chociażby następny (4 x 90° = 360°) byłyby większe lub równe kątowi pełnemu).

24

25 W przypadku bryły zbudowanej z samych pięciokątów , również istnieje tylko jeden przypadek,gdyż 3 x 108° = 324° < 360°.

26 By DTR, CC BY-SA 3. 0, https://commons. wikimedia. org/w/index. php

27 Bryły platońskiej w przestrzeni trójwymiarowej mającej sześciokąty foremne jako ściany, nie istnieje, gdyż 3 x 120° = 360°.

28 Inny dowód istnienia najwyżej pięciu wielościanów foremnychRozważmy wzór Eulera 𝑊+𝑆=𝐾+2, gdzie 𝑊, 𝑆, 𝐾− są to odpowiednio liczby wierzchołków, ścian i krawędzi. Oznaczmy 𝑝, 𝑞 - wielościan foremny o ścianach będących 𝑝− kątami foremnymi o 𝑞− ścianach w każdym wierzchołku.

29 Ponieważ każda ściana jest p− kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy𝑆∙𝑝=2∙𝐾. Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi 𝑞 krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, zatem 𝑊∙𝑞=2∙𝐾.

30 Z dwóch ostatnich zależności wyznaczamyi podstawiamy do wzoru Eulera: 2𝐾 𝑞 + 2𝐾 𝑝 =𝐾+2. Kolejne przekształcenia dają 1 𝑞 + 1 𝑝 = 𝐾 > 1 2 ,

31 skąd 𝑝−2 𝑞−2 <4. Zatem 𝑝−2 i 𝑞−2 są dwiema dodatnimi liczbami całkowitymi, których iloczyn jest mniejszy od 4, a mianowicie 1∙1 lub 2∙1 lub 1∙2 lub 1∙3 lub 3∙1. Istnieje zatem dokładnie 5 wypukłych wielościanów foremnych: 3, 3 , 4, 3 , 3, 4 , 3, 5 , 5, 3 .

32 Siatka wielościanu  jest przedstawieniem wielościanu na płaszczyźnie. Powstaje przez "rozcięcie" niektórych jego krawędzi tak, aby dało się rozłożyć ściany na płaszczyźnie. Na ogół można to zrobić na wiele różnych sposobów.

33 Siatkę można wykonać dla dowolnego wielościanu wypukłego, dla niewypukłych wielokąty mogą nachodzić na siebie. Siatki można wyciąć z papieru i sklejając odpowiednie krawędzie skonstruować ponownie powierzchnię wielościanu.

34 SIATKI dla wielościanów platońskich

35

36 LITERATURA: 1. H.S.M. Coxeter, Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa 1967. 2. grafiki z ogólnie dostępnych stron internetowych. 3. https://www.geogebra.org/m/QSkrft2b#material/syTx5AJy