C R i Q I Z N LOS NUMEROS COMPLEJOS a bi

1 C R i Q I Z N LOS NUMEROS COMPLEJOS a bi π‘Ž+𝑏𝑖 π‘Ž 𝑏 𝑛 π‘Ž βˆ’...
Author: Gabriel Alvarado VelΓ‘zquez
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1 C R i Q I Z N LOS NUMEROS COMPLEJOS a bi π‘Ž+𝑏𝑖 π‘Ž 𝑏 𝑛 π‘Ž βˆ’3,βˆ’2,βˆ’1,0,1,2,30,1,2,3,4,5,….

2 SE RESUELVEN EN ORDEN ESTRICTOLOS NUMEROS COMPLEJOS 1. LAS OPERACIONES SE RESUELVEN EN ORDEN ESTRICTO OPERACIONES SIMBOLO NOMBRE π‘Ž 𝑛 Potencias Γ· Divisiones π‘₯ Multiplicaciones + Sumas - Restas 1. π‘Ž 𝑛 =π‘ƒπ‘œπ‘‘π‘’π‘›π‘π‘–π‘Žπ‘  2. Γ·=π·π‘–π‘£π‘–π‘ π‘–π‘œπ‘›π‘’π‘  3. Γ—=π‘€π‘’π‘™π‘‘π‘–π‘π‘™π‘–π‘π‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘’π‘  4. +=π‘†π‘’π‘šπ‘Žπ‘  5. βˆ’=π‘…π‘’π‘ π‘‘π‘Žπ‘  Γ·2π‘₯3βˆ’7π‘₯12Γ·6+4π‘₯3βˆ’15 5 3 =5π‘₯5π‘₯5=125 9+10Γ·2π‘₯3βˆ’7π‘₯12Γ·6+4π‘₯3βˆ’15 8 4 =8π‘₯8π‘₯8π‘₯8=4.096 9+5π‘₯3βˆ’7π‘₯2+4π‘₯3βˆ’15 (βˆ’7) 3 = βˆ’7 βˆ’7 βˆ’7 =βˆ’343 9+15βˆ’14+12βˆ’15 βˆ’0,5 3 =βˆ’ 0,5 0,5 0,5 =βˆ’0,125 36βˆ’29 = = 07

3 LOS NUMEROS REALES 2. LEY DE LOS SIGNOSAPLICADA A LA MULTIPLICACION-DIVISION-POTENCIACION Producto, o divisiΓ³n de nΓΊmeros Reales de signos iguales, su resultados es POSITIVO. βˆ€π‘Ž,π‘πœ– 𝑅 + β†’π‘Ž.π‘πœ– 𝑅 + βˆ€π‘Ž,π‘πœ– 𝑅 βˆ’ β†’π‘Ž.π‘πœ– 𝑅 + OPERACION + x = - b. Producto, o divisiΓ³n de nΓΊmeros Reales de signos contrarios , su resultados es NEGATIVO. βˆ€π‘Žπœ– 𝑅 + 𝑦 𝑏 πœ–π‘… βˆ’ β†’π‘Ž.π‘πœ– 𝑅 βˆ’ βˆ’ βˆ’ 4 7 = βˆ’12 π‘₯ βˆ’10 =+120 βˆ’0,12 π‘₯ βˆ’0,8 =+0,096 +18 π‘₯ +15 =+270 +0,32 π‘₯ +0,07 =+0,0224 = βˆ’23 π‘₯ +10 =βˆ’230 βˆ’0,39 π‘₯ +0,48 =βˆ’0,1872 βˆ’ =βˆ’ 60 33 +28 π‘₯ βˆ’45 =βˆ’1260 +0,28 π‘₯ βˆ’4,5 =βˆ’1,872

4 LOS NUMEROS REALES 2. LEY DE LOS SIGNOSAPLICADA A LA MULTIPLICACION-DIVISION-POTENCIACION En un producto, o divisiΓ³n de nΓΊmeros Reales donde la cantidad de factores negativos es: PAR. El resultado es POSITIVO βˆ€π‘Ž,𝑏,𝑐,π‘‘πœ– 𝑅 βˆ’ β†’π‘Ž.𝑏.𝑐.π‘‘πœ– 𝑅 + c. IMPAR. El resultado es NEGATIVO βˆ€π‘Ž,𝑏,π‘πœ– 𝑅 βˆ’ β†’π‘Ž.𝑏.π‘πœ– 𝑅 βˆ’ βˆ’ βˆ’ βˆ’ 1 3 = 1 6 (βˆ’12) 3 = βˆ’12 βˆ’12 βˆ’12 =βˆ’1728 (βˆ’0.47) 3 = βˆ’0.47 βˆ’0.47 βˆ’0.47 =βˆ’ βˆ’ = βˆ’ βˆ’ 3 4 = 9 16 βˆ’ βˆ’ βˆ’ 1 3 =βˆ’ 8 27 βˆ’ = βˆ’ βˆ’ βˆ’ =βˆ’ =βˆ’ βˆ’ Γ· βˆ’ 6 2 = 4 7

5 SE RESUELVEN EN ORDEN ESTRICTOLOS NUMEROS REALES 3. LOS SIGNOS DE AGRUPACION SE RESUELVEN EN ORDEN ESTRICTO SIGNOS DE AGRUPACION SIMBOLO NOMBRE βˆ’3 ParΓ©ntesis +1.5 Corchetes 34 Llaves 1. ParΓ©ntesis 1. Resolviendo las operaciones 2. Corchetes 2. DestruyΓ©ndolos 3. Llaves 5+ 15βˆ’8 - 7βˆ’ βˆ’45 5+ 15βˆ’8 - 7βˆ’ βˆ’45 5+7- 7βˆ’ 16+ βˆ’14 5+15βˆ’8- 7βˆ’ 16+31βˆ’45 5+7- 7βˆ’ 16βˆ’14 5+15βˆ’8- 7βˆ’16βˆ’31+45 5+7- 7βˆ’2 5+15βˆ’8βˆ’ βˆ’45 5+7-5 67βˆ’60 12-5 7 7

6 LOS NUMEROS REALES 2. DestruyΓ©ndolos 1. Precedido del signo masLos tΓ©rminos conservan el signo 2. Precedido del signo menos Los tΓ©rminos cambian de signo 2(5-9)-3{12-[4+5(5-6)]} 2(8-9)-3{2(5-7)-2[4-3(-5+8)]} {12-[ ]} { [ ]} { } { } 99-144 -45 -44

7 OPERACIONES EN LOS RACIONALESLOS NUMEROS REALES OPERACIONES EN LOS RACIONALES SIMPLIFICACION DIVIDIR REDUCIR DECIMAL CONVERTIR RACIONAL AMPLIFICAR

8 OPERACIONES EN LOS RACIONALESLOS NUMEROS REALES OPERACIONES EN LOS RACIONALES SIMPLIFICACION 32 36 = 8 9 50 75 = 2 3 DECIMAL 15 8 =1,875 βˆ’ =βˆ’0,75 RACIONAL 0,36= = 9 25 2,125= = = 17 8

9 NO PERIODICOS PERIODICOS EXACTOS Numero finito de cifras decimalesLOS NUMEROS REALES OPERACIONES EN LOS RACIONALES. DECIMALES CLASIFICACION DE LOS NUMEROS DECIMALES Numero finito de cifras decimales 2,25 3,32 -28,56 3,125 -12,45 0,325 -0,18 EXACTOS Numero infinito de cifras decimales. -5,6666… Puros. +4, Mixto 12,5888… -1, … 23, … -8, 38, PERIODICOS NΓΊmeros cuya decimal no se repite. 3, Pi 2, e 12, 1,4142.. 3 7 3 7 NO PERIODICOS

10 SUMA DIVISION POTENCIA PRODUCTO ( π‘Ž 𝑏 )Γ·( 𝑐 𝑑 ) π‘Ž 𝑏 + 𝑐 𝑑LOS NUMEROS REALES OPERACIONES EN LOS RACIONALES OPERACIONES EN LOS RACIONALES SUMA π‘Ž 𝑏 + 𝑐 𝑑 π‘Žπ‘‘+𝑏𝑐 𝑏𝑑 PRODUCTO ( π‘Ž 𝑏 )( 𝑐 𝑑 ) π‘Žπ‘ 𝑏𝑑 DIVISION ( π‘Ž 𝑏 )Γ·( 𝑐 𝑑 ) π‘Žπ‘‘ 𝑏𝑐 POTENCIA ( π‘Ž 𝑏 ) 𝑛 π‘Ž 𝑏 π‘Ž 𝑏 .. π‘Ž 𝑏

11 LOS NUMEROS REALES = =1, = 2𝑋3βˆ’1𝑋6+5𝑋7 10 = 6βˆ’ = 41βˆ’6 10 = =3,5 3 5 βˆ’ = 6𝑋1+4𝑋2βˆ’3𝑋3 12 = 6+8βˆ’9 12 = 14βˆ’9 12 = 5 12 =0,416.. βˆ’ 3 4 =

12 LOS NUMEROS REALES 15 28 =0, = - 3𝑋6𝑋7 5𝑋10𝑋2 = = =1,26 3 5 βˆ’ βˆ’ 1𝑋2𝑋3 2𝑋3𝑋4 =βˆ’ 6 24 =βˆ’ 1 4 =βˆ’0,25 ( 1 2 )(βˆ’ 2 3 )(βˆ’ 3 4 )

13 LOS NUMEROS REALES 12 35 =0, 3 7 Γ· 5 4 = =βˆ’1 3 5 Γ· βˆ’ 6 10 + 8 9 =+0,888…. (βˆ’ 2 3 )Γ·(βˆ’ 3 4 )

14 LOS NUMEROS REALES 3 2 βˆ’ 5 12 = 18βˆ’5 12 = =1,083…. 3 2 +(βˆ’ 5 4 ) 1 3 βˆ’ = βˆ’ = =3,74 3 5 βˆ’ βˆ’ 6 12 = 18+32βˆ’30 60 = 50βˆ’30 60 = = 2 6 = 1 3 =0,333... βˆ’

15 LOS NUMEROS REALES 15 8 βˆ’ 15 4 = 15βˆ’30 8 = βˆ’15 8 =βˆ’1,875 (βˆ’ 5 4 )Γ· 1 3 βˆ’ = βˆ’ = =5, …. 3 5 βˆ’ Γ· 3 5 5 4 βˆ’ 8 15 βˆ’ 9 8 = 150βˆ’64βˆ’ = 150βˆ’ = βˆ’ =βˆ’ 8 15 =βˆ’0, 1 2 Γ· (βˆ’ 4 5 )βˆ’ 3 4 Γ· 2 3

16 LOS NUMEROS REALES βˆ’ 3 10 = βˆ’ 3 10 = 100βˆ’ = = =0,2555…. (βˆ’ 1 2 )Γ· 5 3 3 2 βˆ’ Γ· 4 9 =βˆ’ = βˆ’ = =7,6875 3 2 βˆ’ Γ· 5 4 Γ· Γ· βˆ’ 4 5 βˆ’ = βˆ’ βˆ’ 6 12 = 135βˆ’100βˆ’60 48 = 135βˆ’ =βˆ’ =βˆ’0, 1 2 Γ· Γ·(βˆ’ 4 5 )βˆ’ 3 4 ( 2 3 )

17 LOS NUMEROS REALES βˆ€a,bπœ–π‘…, β†’(π‘Ž+𝑏)πœ–π‘…PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS NUMEROS REALES PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS NUMEROS REALES CLAUSURATIVA βˆ€a,bπœ–π‘…, β†’(π‘Ž+𝑏)πœ–π‘… πΏπ‘Ž π‘ π‘’π‘šπ‘Ž 𝑑𝑒 π‘›π‘’π‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œπ‘  π‘…π‘’π‘Žπ‘™π‘’π‘  𝑒𝑠 π‘ π‘–π‘’π‘šπ‘π‘Ÿπ‘’ π‘œπ‘‘π‘Ÿπ‘œ π‘›π‘’π‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ π‘…π‘’π‘Žπ‘™ 0.5, βˆ’12.8πœ–π‘… β†’0.5+ βˆ’1,2 =βˆ’0,7πœ–π‘… ASOCIATIVA βˆ€a,b,cπœ–π‘…, β†’ π‘Ž+𝑏 +𝑐=π‘Ž+(𝑏+𝑐)πœ–π‘… πΏπ‘Ž π‘ π‘’π‘šπ‘Ž 𝑑𝑒 π‘›π‘’π‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œπ‘  π‘…π‘’π‘Žπ‘™π‘’π‘  𝑠𝑒 𝑝𝑒𝑒𝑑𝑒 π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘’π‘π‘Žπ‘Ÿ 𝑠𝑒𝑠 π‘ π‘’π‘šπ‘Žπ‘›π‘‘π‘œπ‘  13+ 12,5βˆ’21 = 13+12,5 βˆ’21 MODULATIVA βˆ€aπœ–π‘…, βˆƒ0πœ–π‘… π‘‡π‘Žπ‘™π‘žπ‘’π‘’ 0+π‘Ž=π‘Ž+0=π‘Ž 𝐸𝑙 π‘šπ‘œπ‘‘π‘’π‘™π‘œ π‘œ π‘›π‘’π‘’π‘‘π‘Ÿπ‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘Ž π‘ π‘’π‘šπ‘Ž 𝑑𝑒 π‘›π‘’π‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œπ‘  π‘…π‘’π‘Žπ‘™π‘’π‘  𝑒𝑠 𝑒𝑙 0 βˆ’12.8πœ–π‘… β†’0+ βˆ’ =0+ βˆ’12,8 =βˆ’12,8πœ–π‘… INVERTIVA βˆ€a,πœ–π‘…,βˆƒβˆ’π‘Žπœ–π‘… π‘‘π‘Žπ‘™π‘žπ‘’π‘’ π‘Ž+ βˆ’π‘Ž = βˆ’π‘Ž +π‘Ž=0 π‘‡π‘œπ‘‘π‘œ π‘…π‘’π‘Žπ‘™ π‘ π‘’π‘šπ‘Žπ‘‘π‘œ π‘π‘œπ‘› 𝑠𝑒 π‘œπ‘π‘’π‘’π‘ π‘‘π‘œ π‘‘π‘Ž 𝑒𝑙 π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘œ π‘›π‘’π‘’π‘‘π‘Ÿπ‘œ βˆ’12.8πœ–π‘…, 𝑒π‘₯𝑖𝑠𝑑𝑒 βˆ’ βˆ’12,5 =+12,5 π‘‘π‘Žπ‘™ π‘ž βˆ’12,5 +12,5=0

18 LOS NUMEROS REALES βˆ€a,b,c,πœ–π‘… βˆ§π‘Ž=𝑏 β†’π‘Ž+𝑐=𝑏+𝑐 5=3+2, β†’5+ βˆ’2 =3+2+(βˆ’2)PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS NUMEROS REALES PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS NUMEROS REALES UNIFORME βˆ€a,b,c,πœ–π‘… βˆ§π‘Ž=𝑏 β†’π‘Ž+𝑐=𝑏+𝑐 Si a los miembros de una igualdad, se les suma un mismo R, la igualdad no varia 5=3+2, β†’5+ βˆ’2 =3+2+(βˆ’2) MONOTONIA βˆ€a,b,cπœ–π‘…, π‘Ž>π‘β†’π‘Ž+𝑐>𝑏+𝑐 Si a los miembros de una desigualdad se les suma un mismo numero R, la desigualdad no cambia. 5>(βˆ’12), β†’5+ βˆ’10 >(βˆ’12)+(βˆ’10) MONOTONIA βˆ€a,𝑏,𝑐,π‘‘πœ–π‘…, 𝑠𝑖 π‘Ž>𝑏 βˆ§π‘>𝑑, β†’π‘Ž+𝑐>𝑏+𝑑 Si se suman dos desigualdades de nΓΊmeros R del mismo sentido, se conserva la desigualdad. βˆ’1>βˆ’3 ∧8>7, β†’ βˆ’1 +8> βˆ’3 +7 INVERTIVA βˆ€a,𝑏,𝑐,π‘‘πœ–π‘…, 𝑠𝑖 π‘Ž>𝑏 βˆ§π‘<𝑑, β†’π‘Ž+𝑐><=𝑏+𝑑 Si se suman dos desigualdades de R diferente sentido, puede resultar ><= 15>βˆ’13 𝑦 βˆ’10<23,β†’15+ βˆ’10 < βˆ’13 +23

19 LOS NUMEROS REALES βˆ€a,bπœ–π‘…, β†’(π‘Ž.𝑏)πœ–π‘…PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS NUMEROS REALES PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE LOS NUMEROS REALES CLAUSURATIVA βˆ€a,bπœ–π‘…, β†’(π‘Ž.𝑏)πœ–π‘… 𝐸𝑙 π‘π‘Ÿπ‘œπ‘‘π‘’π‘π‘‘π‘œ 𝑑𝑒 π‘›π‘’π‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œπ‘  π‘…π‘’π‘Žπ‘™π‘’π‘  𝑒𝑠 π‘ π‘–π‘’π‘šπ‘π‘Ÿπ‘’ π‘œπ‘‘π‘Ÿπ‘œ π‘›π‘’π‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œ π‘…π‘’π‘Žπ‘™ 0.5, βˆ’12.8πœ–π‘… β†’0.5. βˆ’1,2 =βˆ’0,6πœ–π‘… ASOCIATIVA βˆ€a,b,cπœ–π‘…, β†’ π‘Ž.𝑏 .𝑐=π‘Ž.(𝑏.𝑐)πœ–π‘… El producto 𝑑𝑒 π‘›π‘’π‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œπ‘  π‘…π‘’π‘Žπ‘™π‘’π‘  𝑠𝑒 𝑝𝑒𝑒𝑑𝑒 π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘’π‘π‘Žπ‘Ÿ 𝑠𝑒𝑠 π‘“π‘Žπ‘π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘’π‘  13π‘₯ 12,5π‘₯21 = 13x12,5 x21 MODULATIVA βˆ€aπœ–π‘…, βˆƒ1πœ–π‘… π‘‡π‘Žπ‘™π‘žπ‘’π‘’ 1.π‘Ž=π‘Ž.1=π‘Ž 𝐸𝑙 π‘šπ‘œπ‘‘π‘’π‘™π‘œ π‘œ π‘›π‘’π‘’π‘‘π‘Ÿπ‘œ 𝑑𝑒𝑙 π‘π‘Ÿπ‘œπ‘‘π‘’π‘π‘‘π‘œ 𝑑𝑒 π‘›π‘’π‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œπ‘  π‘…π‘’π‘Žπ‘™π‘’π‘  𝑒𝑠 𝑒𝑙 1 βˆ’12.8πœ–π‘… β†’1π‘₯ βˆ’12.8 =1π‘₯ βˆ’12,8 =βˆ’12,8πœ–π‘… INVERTIVA βˆ€aπœ–π‘…,βˆƒ 1 π‘Ž , π‘™π‘™π‘Žπ‘šπ‘Žπ‘‘π‘œ π‘–π‘›π‘£π‘’π‘Ÿπ‘ π‘œ, π‘‘π‘Žπ‘™π‘žπ‘’π‘’ 1 π‘Ž π‘₯π‘Ž=π‘Ž 1 π‘Ž =1 π‘‡π‘œπ‘‘π‘œ π‘…π‘’π‘Žπ‘™ π‘šπ‘’π‘™π‘‘π‘–π‘π‘™π‘–π‘π‘Žπ‘‘π‘œ π‘π‘œπ‘Ÿ 𝑠𝑒 π‘–π‘›π‘£π‘’π‘Ÿπ‘ π‘œ, π‘‘π‘Ž 𝑒𝑙 π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘œ π‘›π‘’π‘’π‘‘π‘Ÿπ‘œ βˆ’12.8πœ–π‘…, βˆƒ 1 βˆ’12,5π‘‘π‘Žπ‘™π‘žπ‘’π‘’ βˆ’12,5 1 βˆ’12,5 =1

20 LOS NUMEROS REALES βˆ€a,b,c,πœ–π‘… βˆ§π‘Ž=𝑏 β†’π‘Ž.𝑐=𝑏.𝑐PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS NUMEROS REALES PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS NUMEROS REALES UNIFORME βˆ€a,b,c,πœ–π‘… βˆ§π‘Ž=𝑏 β†’π‘Ž.𝑐=𝑏.𝑐 Si a los miembros de una igualdad, se multiplican por un mismo R, la igualdad no varia 5=3+2, β†’5π‘₯ βˆ’2 = 3+2 π‘₯(βˆ’2) MONOTONIA βˆ€a,b,πœ–π‘…, π‘Ž>π‘β†’π‘Ž.𝑐>𝑏.𝑐, 𝑠𝑖 π‘πœ– 𝑅 + Si a los miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo numero 𝑅 + , la desigualdad no cambia. 5>(βˆ’12), β†’5π‘₯ +10 > βˆ’12 π‘₯(+10) MONOTONIA βˆ€a,b,πœ–π‘…, π‘Ž>π‘β†’π‘Ž.𝑐>𝑏.𝑐, 𝑠𝑖 π‘πœ– 𝑅 βˆ’ Si a los miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo numero 𝑅 βˆ’ , la desigualdad cambia. βˆ’1>βˆ’3 , β†’ βˆ’1 +(βˆ’8)< βˆ’3 +(βˆ’8) INVERTIVA βˆ€a,𝑏,𝑐,π‘‘πœ–π‘…, 𝑠𝑖 π‘Ž>𝑏 βˆ§π‘<𝑑, β†’π‘Ž+𝑐><=𝑏+𝑑 Si se multiplican dos desigualdades de R diferente sentido, puede resultar ><= 15>βˆ’13 𝑦 βˆ’10<23,β†’15π‘₯ βˆ’10 > βˆ’13 π‘₯23

21 ECUACIONES EN LOS NUMEROS REALES

22 LOS NUMEROS REALES

23 LOS NUMEROS REALES

24 LOS NUMEROS REALES

25 LOS NUMEROS REALES

26 LOS NUMEROS REALES