1 Cálculo de áreas de revolución“CÁLCULO I” BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL Cálculo de áreas de revolución Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez Dpto. Matemática Aplicada y Métodos Informáticos E.T.S.I. Minas. Universidad Politécnica de Madrid --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

2 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Forma explícita: y = f(x) Alrededor de OX: a b y = f(x) --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

3 Alrededor de OY: Curva: x = g(y) entre y = c ; y = d y=d y=c--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

4 JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (1) :Giro alrededor del eje OX y = f(x) ds y1 y2 A B C D dx a b Se considera el tronco de cono de revolución ABCD (Área lateral)tr.cono= 2p.(radio medio). (longitud generatriz) y ds Integrando en [a,b]: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

5 JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (2) :Giro alrededor del eje OY y=d ds D C Se considera el tronco de cono de revolución ABCD dy x y=c A B (Área lateral)tr.cono= 2p.(radio medio). (longitud generatriz) x ds Integrando en [a,b]: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

6 JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (3) :Q Ds Dy P Cálculo del diferencial de arco “ds” Dx (Cuerda PQ)2 = Dx2 + Dy2 (Cuerda PQ/ Ds)2.(Ds/ Dx) 2 = 1 + Dy2 / Dx2 Hacemos Q  P, es decir, Dx  0: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

7 JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (4) :Q Ds Dy P Cálculo del diferencial de arco “ds” Dx (Cuerda PQ)2 = Dx2 + Dy2 (Cuerda PQ/ Ds)2.(Ds/ Dy) 2 = 1 + Dx2 / Dy2 Hacemos Q  P, es decir, Dy  0: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

8 Calcular el área de la superficie engendrada por la EJEMPLO: Calcular el área de la superficie engendrada por la revolución, alrededor de OX, de la parábola: y2=4x entre x = 0, x=2 Solución: Por simetría respecto OX, consideramos la rama positiva:   --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

9 Calcular el área de la superficie engendrada por la EJEMPLO: Calcular el área de la superficie engendrada por la revolución, alrededor de OY, del arco de curva: x=y3 entre y = 0, y=1 Solución:   --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

10 Área de una superficie de revolución en PARAMÉTRICAS:Alrededor del eje OX: Alrededor del eje OY: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

11 Calcular el área engendrada por la revolución alrededor Ejemplo Calcular el área engendrada por la revolución alrededor del eje OX de la astroide: a Solución: -a a Pasamos a paramétricas: -a Nuevos límites de integración: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

12 --Cálculo de Áreas. Rev. -- A. Hidalgo, M. Hervás, R. Rodríguez, F--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

13 2.p-1=4  p = 5/2 2.q-1=1  q = 1 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

14 A)Hallar la superficie de revolución, al girar alrededor de OX, EJEMPLO: A)Hallar la superficie de revolución, al girar alrededor de OX, del arco de curva y = a.Ch(x/a) entre x=0, x=2a siendo a>0 B)Hallar la superficie de revolución al girar el mismo arco alrededor de OY Solución: A) Si y = a.Ch(x/a)  y’ = Sh(x/a) --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

15 Como Ch2(x) - Sh2(x) = 1  1+Sh2(x) = Ch2(x) :de donde se obtiene: Pues: Operando: --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

16 Ch(x/a)dx=dv  v = a.Sh(x/a)B) u=x  du = dx Ch(x/a)dx=dv  v = a.Sh(x/a) --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez