1 CALCULO DE ESTRUCTURAS y CONSTRUCCIÓNpresentacion.ppt CALCULO DE ESTRUCTURAS y CONSTRUCCIÓN Jesús Moisés Castro Iglesias E.U.E.T.E.F – Pontevedra 2011 1

2 Tensiones PrincipalesCAPITULO I : Tensiones Principales

3 Lección 2 : 2.1 Componentes de un Vector. Cosenos directores.2.2 Componentes del Vector Tensión 2.3 Expresión matricial le las componentes del Vector 2.4 Estado tensional de un punto 2.5 Teorema de Reciprocidad de las tensiones tangenciales. 2.6 Definición de las Tensiones Principales. Direcciones Principales. 2.7 Cálculo Matricial. Ecuación característica. 2.8 Ejemplos

4 Componentes de un vectorX Y Z V = Vx + Vy + Vz Vx = V· cos a = V· a Vz V Vy = V· cos b = V · b g b Vz = V· cos g = V · g a Vx Modulo x versor Vy

5 Componentes del vector tensiónj k s = s x + s y + s z s x = s · a s z s s y = s · b g b s z = s · g a s x dz En este apartado se analiza el “vector Tensión”, similar al Vector “V” La tensión ha de estar referida a una misma superficie, ya que es una tensión diferencial. Vx = x · dS Vy= y · dS Vz = z · dS s y dx u = a · i + b · j + g · k dy 1 = a 2 + b 2 + g 2

6 Componentes de un vector en expresión matricial= a b g i j k * s = s x s y s z i j k *

7 Estado tensional de un puntox y z snx txy t xz tyx sny tyz snz tzy tzx dz dy dx

8 Estado tensional de un punto: FuerzasCálculo de esfuerzos en “Z”: x y z snx txy t xz tyx sny tyz snz tzy tzx dy·dx·s nz dy·dz·t xz dx·dz·t yz S Fx = 0 El equilibrio no es tensional, sino de esfuerzos dy·dz·s nx +dx·dz·t yx +dy·dx·t zx = dy·dz·s nx +dx·dz·t yx +dy·dx·t zx S Fy = 0 dy·dz·t xy +dx·dz·s ny +dy·dx·t zy = dy·dz·t xy +dx·dz·s ny +dy·dx·t zy S Fz = 0 dy·dz·t xz +dx·dz·t yz + dy·dx·s nz= dy·dz·t xz +dx·dz·t yz + dy·dx·s nz

9 Estado tensional de un punto: MomentosLos términos se anulan dos a dos: y z snx txy t xz tyx sny tyz snz tzy tzx Mxz =(dy·dx·s nz )·dy·1/2 - (dy·dx·s nz )·dy·1/2 Myz =(dy·dx·s nz )·dx·1/2 - (dy·dx·s nz )·dx·1/2 Salvo dz x dy dx (dx·dz·t yz )·dy – (dy·dx·t zy)·dz = 0 S Mx = 0 => snz (dy·dx·t zx )·dz – (dy·dz·t xz )·dz = 0 S My = 0 => (dx·dz·t xx )·dy – (dy·dz·t xy)·dx = 0 S Mz = 0 => Teorema de la reciprocidad de las Tensiones Tangenciales

10 Teorema de reciprocidad de las tensiones tangencialestyz tzy = tyz tzx = txz txy = tyx tzy

11 Vectores tensión en un puntoComo resumen Esfuerzos en X, Y,Z: S Fx = 0 => snx dy dz + tzx dx dy + tyx dx dz = X S Fy = 0 => sny dx dz + tzy dy dx + txy dy dz = Y S Fz = 0 => snz dx dy + txz dy dz + tyz dx dz = Z Tomamos momentos respecto al eje Z, Y, X S Mx = 0 => ( tzy dx dy ) dz - ( tyz dx dz ) dy = 0 S My = 0 => ( tzx dy dx ) dz - ( txz dy dz ) dx = 0 S Mz = 0 => ( txy dy dz ) dx - ( tyx dx dz ) dy = 0 Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales

12 Tensiones principales de un puntosnx t xz txy x y z N dW dSx = dW·a dSy = dW ·b dSz = dW · g

13 Tensiones principales de un puntosnx t xz txy x y z N s2 s3 s1 s = s1+ s2 + s3 s1  s2  s3

14 Condiciones de equilibriosx dW = snx dW a + tyx dW b + tzx dW g sy dW = txy dW a + sny dW b + tzy dW g sz dW = txz dW a + tyz dW b + snz dW g = s x s y s z a b g * snx sny snz txy tyx tzx tzy tyz t xz s cosenos directores [ s  = [ T  * [ u 

15 Matriz de tensiones T = snx sny snz txy tyx tzx tzy tyz t xz s = T * us x s y s z a b g * snx sny snz txy tyx tzx tzy tyz t xz s cosenos directores

16 Tensiones y direcciones principales[ s  = [ T  * [ u  Existe un plano cuya tensión es perpendicular a él: 0 = (snx -s )*a + tyx * b tzx * g 0 = txy * a (sny - s)*b + tzy * g 0 = txz * a tyz * b (snz -s)*g Su determinante es : (snx -s ) tyx tzx txy (sny - s) tzy txz tyz (snz -s) = 0 que desarrollado es -s3 + I1 s2 - I2s + I3 = 0

17 Calculo matricial

18 Calculo matricial

19 Tensiones y direcciones principales[ s  = [ T  * [ u  Ecuación característica o secular -s3 + I1 s2 - I2s + I3 = 0 Tensiones principales : son las raíces de la ecuación donde : I1 = snx + sny + snz I2 = snxsny+snysnz+snzsnx-t2yz-t2zx-t2xy I3 = | T |

20 Tensiones Principales= s 1 s 2 s 3 s = s1 .a .i + s2 .b .j + s3 .g .k s n = dFN dS sn = s . u = s1 . a 2 + s2 . b 2 + s3 . g 2 t = dFt dS t2 = s2 - sn2

21 Tensiones y direcciones principaless1 > s2 > s3 Direcciones principales x = a s1 y = b s2 z = g s3 s 1 s 2 s 3 x y z = a b g => => s s s32 x y z2 + = 1 Elipsoide de Lamé

22 Cambio de sistema de referenciag 3 a 2 b 1 g 1 g 2 b 3 a 3 x y z = x* y* z* x y z s2 s3 s1

23 Unidades utilizadas en Tensiones.Sistema C.G.S. => dynas/cm2 = 0,1 Pa Sistema Internacional => Newton/m2 = 1 Pa Sistema Técnico => 1 Kp/m2 = 9,8 Pa Utilizamos => 1 Kg/cm2 = 9, Pa = 10 4 Kp/m2

24 Conclusiones Tensiones principalesSolicitaciones sobre un prisma mecánico. s = dF dS s n = dFN t = dFt Componentes Intrínsecas de la Tensión Matriz de tensiones Tensiones principales s1  s2  s3 Cosenos directores s = s1 .a .i + s2 .b .j + s3 .g .k

25 Problema Nº 1 En un punto P de un sólido elástico la matriz de tensiones referida al triedro OXYZ es: T = 2 -1 3 1 Calcular en el punto P el vector correspondiente a un plano cuya normal exterior está definida por un vector que forma ángulos iguales de 45º con los ejes X e Y y siendo positivas sus componentes. Indicar si las tensiones principales son de tracción o de compresión.

26 Problema Nº 1 u = \2 / 2· i + \2 / 2 · j + 0 · k [s] =T = 2 -1 3 1 u = \2 / 2· i + \2 / 2 · j + 0 · k = a b g * snx sny snz txy tyx tzx tzy tyz t xz s x s y s z [s] = = * 2 -1 3 1 \2 / 2 = 3·\2 / 2 2·\2 / 2 s = 3·\2 / 2· i + 0· j + \2 · k

27 Problema Nº 1 s1 = 4 s2 = 2,1 s3 = -2,1 0 = s3 - 4 s2 - 4 s +17 0 =2 0 = s3 - 4 s2 - 4 s +17 s1 = 4 s2 = 2,1 s3 = -2,1

28 Problema Nº 1 s = s1 .a .i + s2 .b .j + s3 .g .k s1 = 4 s2 = 2,1[T] = 2 -1 3 1 s = 3·\2 / 2· i + 0· j + \2 · k s = s1 .a .i + s2 .b .j + s3 .g .k s1 = 4 s2 = 2,1 s3 = -2,1 sn = s . u = s1 . a 2 + s2 . b 2 + s3 . g 2 = 4·(2/4) +2,1·0 –2,1·(1/2) = 1,95 t2 = s2 - sn2 = 9·(1/4) + (1/2) – (1,95) 2 t = -1,05

29 Problema Nº 2 s1  s2  s3 s1 = 50/3.(2 .i + 2 .j + k)Las tensiones principales en un punto P de un sólido elástico, referidas a un sistema cartesiano ortogonal OXYZ y expresadas en MPa son: s1 = 50/3.(2 .i + 2 .j + k) s2 = 20 .i j k s3 = - 20/3.( i - 2 .j k) s1  s2  s3 Calcular la tensión correspondiente a un plano cuya normal exterior forma ángulos agudos iguales con los semiejes positivos del triedro OXYZ. (u1 )2= ( ) (u2 )2 = ( ) (u3 )2 = ( ) (u1 )2 +(u2 )2 +(u3 )2 = 1 u1 = 1/3.(2 .i + 2 .j + k) u2 = 1/3·(2 .i - 1 .j k) u3 = 1/3.(- i + 2 .j k)

30 Problema Nº 2 * * s1  s2  s3 a2 + b2 + g2 = 1 a = b = g = 3-1/2s1 = 50/3.(2 .i + 2 .j + k) s2 = 20 .i j k s3 = - 20/3.( i - 2 .j k) s1  s2  s3 a2 + b2 + g2 = 1 u1 = 1/3.(2 .i + 2 .j + k) u2 = 1/3·(2 .i - 1 .j k) u3 = 1/3.(- i + 2 .j k) a = b = g = 3-1/2 u = a · i + b · j + g · k = 3-1/2· ( i + j + k) a’ = u1·u = 3-1/2 ·1/3·( ) = 5· 3-3/2 x = x*a1 + y*a2 + z*a3 y = x*b1 + y*b2 + z*b3 z = x*g1 + y*g2 + z*g3 b’ = u2·u = 3-1/2 ·1/3·( ) = - 3-3/2 g’ = u3·u = 3-1/2 ·1/3·( ) = - 3-3/2 s 1 s 2 s 3 [s]= a’ b’ g’ * 50 30 20 = 5· 3-3/2 - 3-3/2 * = 250· (3-3/2 )·i - 30·3-3/2 ·j- 20·3-3/2 ·k = 48,61 MPa