1 Calculo de Limite de Funciones

2 Limites de funciones Algebraicas

3 Propiedades de las funciones1.-si “c” es una constante, el limite de “c” cuando “x” tiende a “a”, es igual a “c”. Ejemplo: 2.- el limite de “x” cuando “x” tiende a “a”, es igual a “a”. Lim c = c X 2 Lim 5 = 5 X2 Lim x = a X a Lim x = 3 X3 Demostración

4 Propiedades 3.- si “c” es una constante y “f” es una función, el limite del producto constante por función cuando “x” tiende a “a”, es igual al producto de la constante por el limite de la función. Lim c f(x) = c Lim f(x) X a X a Lim 4x = 4 Lim x = (4)(2) = 8 X X2 Demostración

5 Propiedades 4.-si “f” y “g” son funciones, el limite de un producto de funciones cuando “x” tiende a “a”, es igual al producto de los limites de las funciones. Lim f(x) g(x) = Lim f(x) Lim g(x) X a X a x  a Demostración

6 Propiedades 5.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de una suma o diferencia cuando “x” a “a”, es igual a la suma o diferencia de los limites de las funciones. Lim [ f(x) ± g (x) = Lim f(x) ± Lim g (x)] xa xa EJEMPLO: Lim (3x²+2x) = Lim 3x² + Lim 2x x x x5 =3 Lim x²+ 2 Lim x = 3(5)²+ 2(5) = 75+10=85 Demostración

7 Propiedades 6.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de un cociente cuando x tiende a “a”, es igual al cociente de los limites de las funciones;siempre y cuando el limite de la función del denominador se diferente de cero. Lim f(x) Lim f(x) = xa Sí Lim g(x) ≠ 0 g(x) Lim g(x) Xa Xa Demostración

8 Casos del calculo de limites de funcionesCaso I.- Si la función dada, esta totalmente simplificada, se sustituye directamente el valor a que tiende la variable independiente en la función, dando lugar al limite buscado.

9 1. Calcular el limite de la función y = x +2x-1 cuando x2 EJEMPLOS: 1. Calcular el limite de la función y = x +2x-1 cuando x2 Lim f(x) = Lim (x + 2x -1)= (2) +2(2) -1 =4+4-1= 7. 2. Calcular el limite de la función y = cuando x1/2 X + 5x 4x - 6 3 Demostración

10 FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO (0/0)Al calcular el cociente se observa que: a).- si el numerador y el denominador tienen el limite distinto de cero, el limite del cociente es igual al cociente de los limites (propiedad 6). b).- si el limite del numerador es cero y el denominador es diferente de cero , el limite del cociente es igual a cero. C).- si el limite del numerador es diferente de cero y el denominador es cero, el cociente no tiene limite y se establece que tiende a mas o menos infinito, según el caso. D) si los limites del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, se tiene la forma (0/0), que se denomina indeterminada ya que cualquier valor numérico que se ponga como cociente cumple con la condición de que multiplicado por el divisor da lugar al dividendo. Ir a propiedad 6

11 Caso II A veces es necesario simplificar la expresión dada antes de sustituir el valor de la variable, si no se hace da la forma indeterminada (0/0). Se factoriza el numerados y el denominador de ser necesario.

12 Ejemplos: y = x + x – 6 cuando x2 Lim = x + x – 6 cuando x2 x -4= Lim (x+3) (x+2) = Lim x+3= 2+3 = 5 X 2 (x+2)(x-2) X 2 x Mas ejemplos

13 Caso III Para calcular el limite de una función dada, es necesario simplificar mediante la racionalización del numerador o del denominador, antes de sustituir el valor de la variable independiente, de no hacerlo se dará la forma (0/0). Ejemplo: x Calcular el limite de f(x) cuando x  0 X Mas ejemplos

14 Infinito en limites Se establece: Lim f(x) = ∞ Xa Lim f(x) = A X∞0 = ∞ c Lim f c = ∞ Positivo Negativo X0 x Lim f cx = 0 C(0) = 0 Lim f(x) = ∞ Lim f(x) = -∞ X0 Xa Xa c = 0 Lim f x = 0 1 1 X0 c Lim f x² = ∞ Lim f ‾ x² = - ∞ ∞ = 0 c Lim f c = 0 X0 X0 X∞ x Lim f cx = ∞ C(∞) = ∞ X∞ Lim f x = ∞ c = ∞ ∞ X∞ c

15 Indeterminadas del tipo ∞Sí el numerador y el denominador son iguales a ∞: Se elimina dividiendo ambos entre la variable de máxima potencia. Ejemplo: Limite de la función y = 49x³-5x²+6 7x-3x²+9x³ Solucionar

16 Caso IV Cuando se desea obtener el cociente de polinomios y si la variable independiente tiende al infinito, en este caso es necesario dividir el numerador y el denominador por la variable de mayor exponente, antes de sustituir el valor al que tiende la variable. EJEMPLO: 1.-Calcular el Lim x² Y Lim 3t +2xt²+x²t³ 4-3xt-2x³t³ T∞ X∞ 4x + 8x² Solucionar

17 Limites de funciones Trascendentales

18 Teorema Si “c” es un numero real en el dominio de una función trigonométrica indicada, se cumple las siguientes propiedades. Lim sen (x) = sen (c) X  c Lim cos (x) = cos (c) X  c Lim tan (x) = tan (c) X  c Demostración

19 Propiedad de SENO Ejemplos:Lim senx = 1 X  x Ejemplos: Observe que en este caso el argumento es, por lo que en el denominador se necesita también la expresión , de ahí que se lleve a cabo el siguiente procedimiento:

20 Lim sen 3x X  0 x sen 3x = Lim 3 3x sen 3x = 3 Lim = 3 * 1 = 3 3xDemostración

21 Limite de funciones circulares trigonométricas inversasCotng (Arc Tang) Sec (Arc cos) Cosc (Arc Sen)

22 Limites Trascendentales InversosSon los limites con funciones trigonométricas inversas: Teorema: si “c” es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen las siguientes propiedades…

23 Lim cot (x) = cot (c) X  c Lim sec (x) = sec (c) X  cLim csc (x) = csc (c) X  c Demostración

24 Recuerda las siguientes identidades trigonométricassen (x) En muchas veces para resolver los limites trigonométricos tendremos que utilizar el simplificado de términos, formulas de ángulos dobles, medio ángulo, suma y resta de ángulos. 1) tan (x) = cos (x) cos (x) 1 2) cot (x) = ;o; cot (x) = sen (x) tan (x) 1 3) csc (x) = sen (x) 1 4) sec (x) = cos (x) 2) sen² (x) + cos² (x) = 1

25 Limites de funciones exponenciales y algorítmicasLa función exponencial (propiamente dicha) es una función matemática, que aparece a demás en muchas ecuaciones de la física. Se caracteriza porque los valores de la derivada de dicha función es igual al valor de la propia función. A demás es la inversa del logaritmo natural, esta función se denota equivalentemente como:

26 Donde “е” es la base de los logaritmos naturales. X  е ó x  exp(x). Donde “е” es la base de los logaritmos naturales. En términos generales una función real f(x) es de tipo exponencial si tiene la forma: f(x) = K * a siendo a, “a”, K Є R números reales. x

27 La exponencial es la única función que es igual a su derivada.Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama función exponencial la función definida sobre los reales por x  ℮ . La exponencial es la única función que es igual a su derivada. x

28 Relación adición-multiplicación℮ = ℮ * ℮ a+b a b x Sus limites son: Lim ℮ = 0 X  -∞ 1 Lim ℮ = ∞ x ℮ = -a ℮ a X  +∞ y = exp x Inversa del logaritmo: ℮ a ℮ = a-b X = ln y (y > 0) ℮ b Demostración

29 ℮ = cos t + i * sen t ℮ = ℮ * (cos b + i sen b)La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación: Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler: ℮ = cos t + i * sen t i*t ℮ = ℮ * (cos b + i sen b) a+bi a Demostración

30

31 ? Fin

32 Demostración Regresar

33 Demostración Regresar

34 Demostración Regresar

35 Demostración Regresar

36 Demostración Regresar

37 Demostración Regresar

38 Propiedades 6.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de un cociente cuando x tiende a “a”, es igual al cociente de los limites de las funciones;siempre y cuando el limite de la función del denominador se diferente de cero. Lim f(x) Lim f(x) = xa Sí Lim g(x) ≠ 0 g(x) Lim g(x) Xa Xa Regresar

39 Demostración Regresar

40 Demostración Regresar

41 Demostración Regresar

42 Demostración Regresar

43 Demostración Regresar

44 Demostración Regresar

45 Demostración Regresar

46 Demostración Regresar

47 Demostración Regresar

48 Demostración 1.- Y= Cuando x  ½ 2.- Y= Cuando x 1 X + 5x 4x - 63 1.- Y= X + 5x 4x - 6 Cuando x  ½ 2.- Y= X + 2x - 3 Cuando x 1 X + 1 Regresar