1 CALCULO INTEGRAL (ARQ)Sesión 4: Integración de funciones racionales Integración por fracciones parciales

2 Integrales que contienen polinomios cuadráticosMuchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrático ax2 + b x + c se pueden simplificar mediante el proceso de completar el cuadrado. Por ejemplo y por tanto, con la sustitución u = x + 1, du = dx, se obtiene En general, el objetivo es convertir ax2+bx+c en una suma o en una diferencia de cuadrados para que se pueda usar tablas

3 Integración de Funciones Racionales mediante Fracciones Parciales¿Cómo integrar una función racional? Expresándola como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales Consideremos la función racional:

4 Integración de Funciones Racionales mediante Fracciones ParcialesEs posible expresar f como una suma de fracciones más sencillas, siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. Esa función racional se llama propia. Si f es impropia; esto es, si grad(P(x))  grad(Q(x)), debemos dividir Q entre P hasta obtener un residuo tal que Propia

5 El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia R (x) / Q (x) como una suma de fracciones parciales, de la forma: O bien

6 Caso I: El denominador. Q (x), es un producto de factores lineales distintos.Esto significa que podemos escribir: En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes, A1, A2 , A k tales que

7 Ejercicio: Determine

8 Caso II: Q (x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repitenConsidere que el primer factor lineal se repite r veces; esto es, en la factorización de Q (x) se obtiene Entonces, en lugar del término único Emplearíamos:

9 Por ejemplo: x = -1: B = 4 x = 1: C = 1 x = 0: A = -2

10

11 Ejercicio: Determine

12 Caso III: Q (x) contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repiteSi Q (x) tiene el factor ax2 + b x + c, en donde b2-4ac<0, entonces la expresión R (x) / Q (x) tendrá un término de la forma:

13 Por ejemplo: De la anterior igualdad: A = C = 0 ; B = 1/3 ; D = -1/3

14 * * Ver tabla

15 Obs: El término se puede integrar completando el cuadrado y con la fórmula (tabla)Ejercicio: Determine