1 Cálculo simbólico con GeoGebra David Benítez Mojica Universidad de Caldas Innatituto Geogebra del Tolima

2 Cálculo simbólico con GeoGebra De la versión 4.2. en adelante

3 Cálculo simbólico con GeoGebra

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5 Factorización de números y polinomios. Resolución de ecuaciones. Resolución de sistemas de ecuaciones. Discusión de sistemas. Cálculo diferencial. Cálculo integral. Cálculo de límites. Sumas y productos de series. Simplificación de expresiones trigonométricas. Vectores y matrices. Resolución de ecuaciones diferenciales.

6 Barra de herramientas propia. Las operaciones y resultados aparecen numerados por filas. Vista CAS - Cálculo simbólico

7 Evalúa Enter Conserva entrada Alt-Enter Valor numérico Ctrl-Enter Vista CAS - Cálculo simbólico

8 En una fila en blanco: =Repite la entrada previa. )Repite la entrada previa encerrada entre paréntesis. Barra espaciadoraRepite la salida previa.

9 Establece el número de cifras decimales para los valores numéricos o cálculos aproximados. Vista CAS - Cálculo simbólico

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11 Referencias entre filas Estáticas: # #n ## ##n salida previa salida fila n entrada previa entrada fila n $ $n $$ $$n Dinámicas: salida previa salida fila n entrada previa entrada fila n

12 +-/* espacio ^ Alt - n Operadores matemáticos Alt – iunidad imaginaria Alt – ppiNúmero Pi Alt – eNúmero e

13 Copiar y pegar expresiones

14 Primeras operaciones: factorizar Factoriza(expresión, variable) Factoriza(número) Factoriza(expresión) Factoresprimos(número)

15 Máximo común múltiplo y mínimo común divisor Divisores MCDMáximo común divisor MCMMínimo común múltiplo División{cociente, resto} Divisores ListaDivisores

16 Actividad Con ayuda de un deslizador, determina la lista de divisores de los números menores que 100 para establecer cuáles son primos y cuáles no. EsPrimoPrimoPrevioPrimoSiguiente

17 Números primos EsPrimoPrimoPrevioPrimoSiguiente

18 Primeras operaciones: desarrollo y sustitución Sustituye[expresión, variable, valor] DesarrollaSustituye

19 Actividad Aplica el teorema del resto para determinar las raíces enteras del polinomio: P(x)  x 3  2x 2  x  2 Comprueba los resultados hallando la descomposición en factores del polinomio. Asignación a una variable: := a:=3x-1

20 Actividades 1.Determinar si 1+i, es una raíz del polinomio: 3z 4  5z 3  4z  2 2.Comprobar que a es una raíz del polinomio p(x). a 2 3 5a 2 3 5 p(x)  x 8  40x 6  352x 4  960x 2  576 3. Si a y b son dos números naturales consecutivos, entonces la siguiente expresión es un cuadrado perfecto. a 2  b 2  (a b) 2

21 Resolución de ecuaciones Raíz[polinomio]

22 Resolución de ecuaciones RaízCompleja[polinomio]

23 Resolución de ecuaciones

24  Raíz[ecuación, valor inicial, valor final] Raíces[ecuación, valor inicial, valor final]

25 Resolución de ecuaciones Soluciones[ecuación] Resuelve[ecuación]

26 Resolución de ecuaciones Soluciones[ecuación] Resuelve[ecuación] Resuelve Soluciones[ecuación,variable] Resuelve[ecuación,variable]

27 Actividad Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas: x 3  x 2  7x  7  0x 4  3x 2  4  0

28 Factorización de polinomios Factores Factoriza FactorC FactorizaCI

29 Raíces complejas SolucionesC ResoluciónC

30 Resolución numérica de ecuaciones Resolver la ecuación polinómica x6  x  2  0x6  x  2  0

31 Resolución numérica de ecuaciones SolucionesN ResoluciónN SolucionesN[ ecuación, variable] SolucionesN[ecuación, variable=valor inicial] ResoluciónN[ ecuación, variable] ResoluciónN[ecuación, variable=valor inicial]

32 Resolución de sistemas de ecuaciones Los mismos comandos utilizados en la resolución de ecuaciones. Soluciones[{ecuación 1,ecuación 2,…},{x, y, z, …}] Resuelve[{ecuación 1,ecuación 2,…},{x, y, z, …}]   3x  2 y  3z  1  x  3y  2z   3 4x  y  5z  4 

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34 Actividad Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: x  2 y  3z  1  y  2z   3 x  3y  z  4  x  y  2z  t  2 x  3y  z  3t   2 x  y  z  t  1x  y  z  t  1

35 Actividad Discutir y resolver, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:   a x  y  z  4  x  a y  z  1  x  y  z  a  2 

36 Actividad Discutir y resolver, según los valores de los parámetros a y b, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:  2x  y  b 4x  ay  6 

37 Actividad Resolver los sistemas de ecuaciones siguientes:  x 2  y 2  5 x  y  3   cos x  sen y  1 cos x  2 sen y  0  ¿Puedes resolver alguno de los sistemas anteriores utilizando la Vista algebraica y la gráfica?

38 Aplicaciones al análisis y al cálculo. Derivadas Desde la vista algebraica Derivada[expresión,variable] Derivada[expresión] Derivada[expresión,orden] Derivada[expresión,variable,orden]

39 Aplicaciones al análisis y al cálculo. Derivadas Derivada Derivada[expresión] Derivada[expresión,variable] Derivada[expresión,variable,orden] DerivadaImplícita[f(x,y)] DerivadaImplícita[f(x,y), v dependiente, v independiente]

40 Actividad Estudia la función polinómica: f (x)  x 3  3x 2  12x  5

41 Activi dad ¿Qué relación existe entre los puntos críticos de las funciones f, f’ y f’’? 3 Comprueba los resultados para la función: x 4 f (x)  x 3  x  2

42 Integración Integral Integral[expresión] Integral[expresión,variable] Integral[expresión, valor inicial, valor final] Integral[expresión,variable,valor inicial, valor final]

43 Actividad Calcular: x dx 1 00 0 2  44 xcos 2x dx

44 Actividad Hallar el área encerrada entre las dos curvas siguientes: 6 x2x2 27 x 2  9 y y y y 

45 Actividad Hallar el área encerrada entre las dos curvas siguientes: 6 x2x2 27 x 2  9 y y y y  IntegralEntre[f(x),g(x),a,b]

46 Cálculo de límites Límite[función, valor] Límite[función, variable, valor] x 3  x 2 lim x  1 x 2x  1x 2x  1 x2x2 lim 1  cos 2x x0x0 3x3x x   lim    2  x  2  x  xx

47 Límites laterales Por la izquierda Por la derecha LímiteInferior LímiteSuperior

48 Actividad Hallar los límites laterales de la función f en el punto x = 0, siendo: 1 f(x)= (2  x) x

49 Actividad Hallar los límites laterales de la función f en el punto x = 0, siendo: 1 f(x)= (2  x) x

50 Comando Asíntota[función] Asíntotas

51 Actividades https://examenesacceso.um.es/examenesacceso/indexacceso.seam

52 Actividades

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56 Álgebra matricial Definición de vectores En la vista algebraica En la vista CAS u=(a,b) u:=(a,b)

57 Álgebra matricial Definición de matrices En la vista algebraica A={{a 11,a 12,…},{a 21,a 22,…},…} En la vista CAS A:={{a 11,a 12,…},{a 21,a 22,…},…} ¿Cuál es la diferencia entre las dos opciones anteriores?

58 Álgebra matricial Operaciones con vectores ProductoEscalar ProductoVectorial

59 Actividad Dados los vectores a y b. Hallar k para que sean perpendiculares. a  = (1, k,3) b = (  2,2,1  k) 

60 Actividad Dados los vectores a y b. Hallar k para que sean perpendiculares. a  = (1, k,3) b = (  2,2,1  k) 

61 Álgebra matricial Operaciones con matrices

62 Actividad Calcula A 2, A 3, A 4 y A 5.  011A=  101 110 011A=  101 110 

63 Álgebra matricial Dimensiones de una matriz Matriz identidad de orden n: Determinante de una matriz: Inversa de una matriz: Transpuesta de una matriz: Rango de una matriz Dimensión Identidad[n] Determinante Inversa Traspone RangoMatriz

64 Actividad  Calcula el rango de la siguiente matriz:     1- 3624   1- 493- 13   1 1 - 2- 231 5 5   2 2 - 5- 593 11

65 Actividad  Calcula el rango de la siguiente matriz:     1- 3624   1- 493- 13   1 1 - 2- 231 5 5   2 2 - 5- 593 11 La forma escalonada de la matriz se obtendrá con la función EscalonadaReducida

66 Actividad Determina los valores de x para los cuales la matriz A es singular. Halla la matriz inversa para x=1.   x10   A   1x2   10  1 

67 Actividad  Sean a y b dos números reales. Hallar para que valores de a y b, la matriz A es singular.  Determinar la inversa de A para cada valor de a y de b para los cuales la matriz es invertible. bb 00 11 A   0  0a10b  100b01b0001 0b10b  0a10b  100b01b0001 0b10b 

68 Actividad Para cada número natural n, se define la matriz cuadrada A n. Deduce cuál es el valor del determinante de A n.  0sii  j  1sii  j A n (i, j)  

69 Actividad Calcular el determinante de las matrices: ¿Es posible deducir una fórmula para el determinante de las matrices anteriores de orden n? Comprobar la expresión obtenida para los determinantes de orden 6, 7 y 8.       2 2 x 1x 1 00x00x  x2  1x0xx2  1x0xx 100x x2  1x0xx2  1x0xx 100x   2 2 x  1   x 2  1x000   xx 2  1x00    0xx  1x0   00xx 2  1x    000x

70 Actividades https://examenesacceso.um.es/examenesacceso/indexacceso.seam

71 Actividades

72 Agustín Carrillo de Albornoz Torres [email protected]