1 CALCULO VECTORIAL VECTORES EN R2 y R3Instituto Tecnológico de Cd. Victoria CALCULO VECTORIAL VECTORES EN R2 y R3

2 VECTORES Definición 1: (Definición geométrica de un vector)Definamos el vector como un segmento de recta dirigido. Sean P y Q dos puntos del espacio. El segmento de recta dirigido PQ, es el segmento de recta que va del punto inicial P al punto final Q. Q P

3 z y x Método del triángulo OPERACIONES CON VECTORESAdición de vectores x z y A B R = A+B Método del triángulo B R = A+B Método del paralelogramo. A

4 VECTORES EN EL PLANO (R2)Definición 2: (Definición algebraica de un vector) Un vector v en el plano XY es un par ordenado de números reales (a,b), donde a y b se llaman componentes del vector. y (a,b) v= (a,b) se llama vector de posición, cuyo punto inicial es el origen (0,0) x

5 Magnitud de un vector: Se denota por vcon: v= (a,b) Dirección del vector (a,b): ángulo medido en radianes, que forma el vector con el semieje positivo de las X (abscisas).

6 EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota por R3. Cada terna ordenada (x; y; z) se denomina punto del espacio numérico tridimensional. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS x y z plano xz plano yz plano xy orígen

7 VECTOR EN R3 módulo de a : p(a1,a2,a3) z a3 a2 y a1x y a1 a2 a3 vector a = (a1,a2,a3) de R3 módulo de a :

8 Vector Tridimensional Operaciones básicasProducto de un escalar con un vector Suma de dos vectores Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido

9 Vectores unitarios: Son aquellos cuya norma es igual a la unidad. Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten representar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores canónicos y se representan por

10 VECTORES UNITARIOS i, j, kLos vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente. x z y i j k

11 Definición Paralelismo de vectoresDos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo: Dado:

12 PRODUCTO ESCALAR Donde: o

13 OBSERVACIONES: 1. El producto escalar de dos vectores es un número real. 2. Si los vectores son perpendiculares el producto escalar es cero y viceversa. 3. a . a = a 2

14 Producto escalar en términos de componentes.Se define: En R2, sean: Se define: En R3, sean:

15 PRODUCTO VECTORIAL Sean y dos vectores cualesquiera que forman un ángulo El producto vectorial se define como un vector que tiene: Magnitud: Dirección: Perpendicular al plano que forman NOTA: Este producto sólo se da para vectores en R3

16 Regla de la mano derecha

17 PRODUCTO VECTORIAL EN TÉRMINOS DE LAS COMPONENTES.Se define al Producto Vectorial como:

18 Existe un recurso nemotécnico para recordar la fórmula del producto vectorial, el cual emplea la notación de determinante: OJO Es decir puede desarrollarse como un determinante Observe que la primera fila contiene vectores y no números reales