1 Captura i recaptura: un mètode per calcular el nombre de consumidors de drogues Pere Puig Servei d’Estadística de la UAB

2 Quants peixos hi ha en aquest estany ?

3 Mètode per calcular l’abundància de la població n Capturem un nombre determinat de peixos, els marquem i els deixem una altra vegada a l’estany. n Passat un temps prudencial per que els marcats es barregin amb els altres, tornem a fer una segona captura. n Amb aquesta segona captura trobarem que uns peixos ja estan marcats (recapturats) i que d’altres no. Aquesta informació ens permet calcular l’abundància de la població.

4 Capturem uns quants i els marquem

5 Els marcats queden repartits homogèniament entre els altres.

6 Tornem a fer una segona captura Hem capturat 8, dels quals 2 estan marcats.

7 Si n 1 és la quantitat de peixos obtinguts (i posteriorment marcats) a la primera captura, n 2 el nombre de peixos de la segona captura, m la quantitat dels que es troben marcats en aquesta segona captura i N és el nombre total de peixos a l’estany, es verifica Si n 1 és la quantitat de peixos obtinguts (i posteriorment marcats) a la primera captura, n 2 el nombre de peixos de la segona captura, m la quantitat dels que es troben marcats en aquesta segona captura i N és el nombre total de peixos a l’estany, es verifica i, per tant,

8 Pel nostre exemple, Pel nostre exemple, n 1 = 5 n 1 = 5 n 2 = 8 n 2 = 8 m = 2 m = 2 Això és el que es coneix com l’estimador de Lincoln-Petersen de la grandària poblacional.

9 n L’estimador de Lincoln-Petersen no té sentit quan m=0. n És una variable aleatòria. n Té un biaix que es pot corregir utilitzant l’estimador de Chapman (1951): Pel nostre exemple:

10 L’estudi d’aquests estimadors es basa en el fet que, fixats n 1 i n 2, el nombre de peixos de la segona captura m segueix una distribució hipergeomètrica. És a dir, L’estudi d’aquests estimadors es basa en el fet que, fixats n 1 i n 2, el nombre de peixos de la segona captura m segueix una distribució hipergeomètrica. És a dir, Els valors que pot prendre m es troben a l’interval Els valors que pot prendre m es troben a l’interval

11 La seva variància es pot estimar fent servir l’expressió, i això ens permet calcular un interval de confiança aproximat (95%): Pel nostre exemple,

12 La precisió de l’estimació es pot augmentar agafant n 1 i n 2 més grans. El procés de captura i marcatge es pot repetir unes quantes vegades més. A cada pas es verificaria si els individus capturats estan marcats i, en cas contrari, es marcarien abans de deixar-los anar. Estimador de Schnabel (1938)

13 Els divulgadors del mètode

14 Condicions bàsiques del model n La població és tancada. n Cada mostra és aleatòria. n Tots els animals tenen la mateixa probabilitat de ser capturats a cada mostra. n Captura i marcatge no afecten a la probabilitat de recaptura. n Les marques no desapareixen o es perden.

15 Laplace, el 1783, va utilitzar aquest mètode per estimar el nombre d'habitants de França. Un cens incomplet va ser la primera captura ( n 1 ). Els individus d’una enquesta van constituir la segona ( n 2 ). Els individus coincidents en ambdues llistes o fonts varen configurar la quantitat m. El precursor

16 En Ciències Socials i en Epidemiologia els mètodes de captura i recaptura es fan servir analitzant diverses llistes d’individus o fonts i mirant les coincidències. Exemple (àrea de Casale Monferrato 1988) -Llista de pacients de diabetis de centres hospitalaris públics i privats de la regió. Total pacients: 452. -Llista computeritzada de prescripcions d’insulina. Total: 1135. -Individus coincidents en ambdues llistes: 249.

17 Per aquest exemple, Per aquest exemple, n 1 = 452 n 1 = 452 n 2 = 1135 n 2 = 1135 m = 249 m = 249

18 Problemes al treballar amb llistes Heterogeneïtat : Diferents individus tenen diferents probabilitats de ser “capturats”. Els valors poden dependre del sexe, edat, situació social, etc. Dependència : El fet de que un individu estigui en una llista afecta a la probabilitat de que estigui en una altra.

19 Possibles solucions Heterogeneïtat : Estratificació. Considerar un model independent per cada agrupació o estrat. Dependència : Models més complicats. Per exemple els models log-lineals.

20 Models Log-Lineals Si No Si n 11 n 10 No n 01 n 00 La informació procedent de dues llistes la podem representar en una taula de contingència. Llista 1 Llista 2 n 00 no és observable N= n 11 + n 10 + n 01 + n 00 Grandària de la població:

21 Si No Si 249 203 No 886 n 00 Centres hospitalaris Prescripcions Insulina Per l’exemple dels pacients de diabetis, N= 1338 + n 00 Grandària de la població:

22 La idea dels models log-lineals es basa en suposar que log(E(n ij ))= a + b L 1 + c L 2 + d L 1 L 2, on L 1 i L 2 són variables indicadores de cadascuna de les llistes i a,b,c,d són paràmetres a estimar. El paràmetre que més ens interessa és l’a. El coeficient d mesura la dependència existent entre ambdues llistes.

23 Malauradament aquest model no és estimable per què hi ha massa paràmetres. Quan tenim dues llistes només s’utilitza el model en que es suposa independència, log(E(n ij ))= a + b L 1 + c L 2 Una justificació intuïtiva del model log-lineal la podem fer considerant que en un model multinomial, tindríem

24 Model amb tres llistes. Es vol conèixer la quantitat d’atacs de gossos que hi ha hagut en una determinada ciutat en un cert període de temps. Disposem de tres llistes de registres: C. Animal Hospital Policia N. atacs 1 1 1 1 0 1 1 7 1 0 1 15 0 0 1 326 1 1 0 27 0 1 0 323 1 0 0 91 0 0 0 ?

25 El model log-lineal més general que podem considerar és, log(E(n ij ))= a + b L 1 + c L 2 + d L 3 + e L 1 L 2 + f L 1 L 3 +g L 2 L 3 on L 1, L 2 i L 3 són les variables indicadores de cadascuna de les llistes. El paràmetre d’interès és l’a. No podem incloure una interacció d’ordre 3 ( L 1 L 2 L 3 ) per què el model estaria sobre-parametritzat. Per ajustar el model farem servir un paquet estadístic adient: GLIM, SAS, S-Plus, etc.

26 Programa SAS per ajustar les dades: data a; input l1 l2 l3 n; l12=l1*l2;l13=l1*l3;l23=l2*l3; cards; 1 1 0 1 1 7 1 0 1 15 0 0 1 326 1 1 0 27 0 1 0 323 1 0 0 91 ; proc genmod; model n=l1 l2 l3 l12 l13 l23/d=poisson; estimate 'missing' intercept 1/exp; run;

27 El model s’ha d’afinar eliminant els termes que no siguin rellevants. Pel nostre exemple el submodel més adient ha estat el següent: log(E(n ij ))= a + b L 1 + c L 2 + d L 3 + g L 2 L 3 El nombre estimat d’atacs no registrats (missing) ha estat de 1388. Afegint els registrats, això ens dóna un total de 2178.

28 Criteria For Assessing Goodness Of Fit Criterion DF Value Value/DF Deviance 2 3.8174 1.9087 Scaled Deviance 2 3.8174 1.9087 Pearson Chi-Square 2 3.8535 1.9268 Scaled Pearson X2 2 3.8535 1.9268 Log Likelihood 3514.5195 SAS output 1:

29 SAS output 2: Standard Wald 95% Confidence Chi- Parameter DF Estimate Error Limits Square Pr > ChiSq Intercept 1 7.2358 0.1891 6.8651 7.6065 1463.75