1 CC3001 Algoritmos y Estructuras de DatosDiseño y Análisis de Algoritmos: Casos de Estudio
2 Casos de estudio Estudiaremos tres problemasSubsecuencia de suma máxima Subsecuencia común más larga Multiplicación de matrices
3 Subsecuencia de suma máximaDados enteros A1, …, An (posiblemente negativos), encontrar el maximo valor de Si todos los números son negativos, la subsecuencia de suma máxima es 0
4 Subsecuencia de suma máximaEjemplo: Secuencia: -2,11,-4,13,-5,-2 Respuesta: 20 Veremos cuatro soluciones distintas para este problema Primera solución (fuerza bruta): Calcular la suma de todas las subsecuencias Quedarse con la suma mayor
5 Subsecuencia de suma máximaSolución 1: Fuerza bruta int maxSum = 0; for( i=0; i
6 Subsecuencia de suma máximaTiempo: O(n3)
7 Subsecuencia de suma máximaSegunda solución (mejora fuerza bruta) Notar que Por lo tanto, el tercer ciclo for se puede eliminar
8 Subsecuencia de suma máximaSolución 2: Mejora a fuerza bruta int maxSum = 0; for( i=0; i
9 Subsecuencia de suma máximaTiempo: O(n2) Solución 3: Usando “dividir para reinar” Idea: dividir el problema en dos subproblemas del mismo tamaño Resolver recursivamente Mezclar las soluciones Obtener solución final
10 Subsecuencia de suma máximaDividiendo el problema Subsecuencia de suma máxima puede estar en tres partes: Primera mitad Segunda mitad Cruza por el medio ambas mitades
11 Subsecuencia de suma máximaDividiendo el problema Ejemplo: Primera mitad Segunda mitad
12 Subsecuencia de suma máximaDividiendo el problema Ejemplo: Suma máxima primera mitad: 6 Primera mitad Segunda mitad
13 Subsecuencia de suma máximaDividiendo el problema Ejemplo: Suma máxima segunda mitad: 8 Primera mitad Segunda mitad
14 Subsecuencia de suma máximaDividiendo el problema Ejemplo: Suma máxima incluyendo último primera mitad: 4 Idem primer elemento segunda mitad: 7 Total: 11 (mayor que máximo en ambas mitades) Primera mitad Segunda mitad
15 Subsecuencia de suma máximaAlgoritmo: Dividir secuencia en dos (izquierda, derecha) Resolver recursivamente las mitades Caso base: secuencia de largo 1 Calcular suma máxima centro (borde izquierdo + borde derecho) Retornar max{izquierda, derecha, centro}
16 Subsecuencia de suma máximaComplejidad del algoritmo: Dos llamadas recursivas de tamaño n/2 Suma máxima centro: O(n) Ecuación de recurrencia:
17 Subsecuencia de suma máximaTiempo: O(n log(n)) Solución 4: Algoritmo eficiente Observaciones: No es necesario conocer donde esta la mejor subsecuencia La mejor subsecuencia no puede comenzar en un número negativo Cualquier subsecuencia negativa no puede ser prefijo de la subsecuencia óptima
18 Subsecuencia de suma máximaSolución 4: Algoritmo eficiente Inducción (reforzada) Se conoce la mejor subsecuencia entre 1 y j Se conoce la mejor subsecuencia que termina en j Algoritmo Se almacenan ambos valores (inicialmente 0) Se incrementa j en 1 Se actualiza mejor subsecuencia si es necesario Si subsecuencia que termina en j es < 0 se puede descartar, volver su valor a 0
19 Subsecuencia de suma máximaSeudocódigo int maxSum = 0, thisSum = 0; for( j=0; j
20 Subsecuencia de suma máximaTiempo de la solución eficiente: O(n)
21 Multiplicación de matricesProblema numérico fundamental A, B matrices de N x N Se desea calcular C = A * B
22 Multiplicación de matricesAlgoritmo simple: // A, B: matrices de N x N int[][] C=new int[N][N]; for( int i=0; i
23 Multiplicación de matricesTiempo algoritmo simple: O(N3) Por largo tiempo se supuso cota W(N3) En los 60’, Strassen mostró como romper la barrera W(N3) Idea del algoritmo de Strassen: Dividir cada matriz en cuatro cuadrantes
24 Multiplicación de matricesDescomposición de AB=C en cuatro cuadrantes
25 Multiplicación de matricesSe realizan 8 multiplicaciones de matrices de N/2 x N/2
26 Multiplicación de matricesTiempo: O(N3) Mejora: disminuir número de subproblemas Estrategia de Strassen:
27 Multiplicación de matricesRespuesta final:
28 Multiplicación de matricesComplejidad ahora satisface la recurrencia
29 Multiplicación de matricesDetalles a considerar: N no es potencia de 2 (detalle menor) En la práctica, algoritmo de Strassen funciona mejor que el algoritmo simple cuando N es “grande” Numéricamente inestable Sin embargo, representa un resultado interesante desde el punto de vista teórico
30 Subsecuencia común más largaProblema: comparar dos secuencias de ADN ADN: secuencia de moléculas llamadas bases Se puede representar como un string (A, C, G, T) Cómo determinar si dos secuencias son similares Una es substring de la otra Costo de transformar una en otra (distancia edición) Encontrar una tercera que se parezca a ambas
31 Subsecuencia común más largaDefiniciones Subsecuencia: la secuencia con cero o más elementos dejados fuera Formalmente: Z es subsecuencia de X si existe secuencia de índices creciente de X tal que
32 Subsecuencia común más largaDefiniciones Z es subsecuencia común de X e Y si es subsecuencia de X y de Y Ejemplos: Problema: encontrar subsecuencia común más larga (LCS) de X e Y
33 Subsecuencia común más largaSolución por fuerza bruta: Enumerar todas las subsecuencias de X Chequear cada una si es también subsecuencia de Y Guardar la subsecuencia común más larga X tiene 2m subsecuencias Tiempo: O(2m)
34 Subsecuencia común más largaIdea: intentar dividir el problema Definición: i-ésimo prefijo de X Subproblemas de LCS: prefijos de X e Y
35 Subsecuencia común más largaTeorema: Subestructura óptima de una LCS X (m) e Y (n) secuencias, Z (k) una LCS de X e Y
36 Subsecuencia común más largaTeorema implica revisar uno o dos subproblemas La solución del subproblema es parte de la solución final (óptima) Nota: Encontrar LCS de casos (2) y (3) del Teorema implica calcular LCS de Xm-1 e Yn-1 Muchos subproblemas comparten otros subproblemas Total subproblemas distintos: m*n
37 Subsecuencia común más largaSolución: Programación dinámica Definición: Matriz C de m x n Algoritmo: llenar tabla en forma bottom-up
38 Subsecuencia común más largaImplementación: m=X.length-1; n=Y.length-1; // indices 1 a m,n for(i=1; i<=m; i++) c[i,0]=0; for(j=0; j<=n; j++) c[0,j]=0; for(i=1; i<=m; i++) for(j=1; j<=n; j++) if (X[i]==Y[j]){ c[i,j]=c[i-1,j-1]+1; b[i,j]=“\”;} else if (c[i-1,j]>=c[i,j-1]){ c[i,j]=c[i-1,j]; b[i,j]=“|”} else{ c[i,j]=c[i-1,j]; b[i,j]=“-”} return {c,b};
39 Subsecuencia común más largaEjemplo: Para imprimir LCS void LCS(b,X,i,j){ if (i==0 || j==0) return; if (b[i,j]==“\”){ LCS(b,X,i-1,j-1); print(X[i]);} else if (b[i,j]==“|”) LCS(b,X,i-1,j); else \\ “-” LCS(b,X,i,j-1); }
40 Selección del k-ésimo Selección (k-ésimo)Problema: dado un arreglo desordenado encontrar el k-ésimo del conjunto Determinar mínimo o máximo: O(n) (cota mínima) Supongamos una especie de torneo entre elementos, x es el primero (máximo) El segundo puede ser cualquiera de los que perdieron directamente con x
41 Selección del k-ésimo Luego, para calcular segundo, tercero, …, toman tiempo: Segundo: n+log2n Tercero: n+2log2n … k: n+(k-1)log2n Esto está bien para k constante, pero para un k genérico (como la mediana) k=n/2: O(n log n)
42 Selección del k-ésimo QuickselectSe basa en el tipo de operaciones de quicksort Se escoge pivote al azar Se particiona el arreglo de acuerdo al pivote escogido Si el pivote cae más allá de la posición k, sólo se ordena la parte izquierda Si el pivote estaba en la posición k, lo encontramos de inmediato
43 Selección del k-ésimo Seudocódigo Quickselect(S,k) { Sea p en SS1 = {x en S, x < p} S2 = {x en S, x > p} Si k <= |S1| return Quickselect(S1,k) Si k = |S1|+1 return p return Quickselect(S2, k-|S1|-1) }
44 Selección del k-ésimo Peor caso: O(n2) (mala elección del pivote)Caso promedio: O(n) En la práctica este algoritmo es muy rápido, pero su peor caso es pésimo Uno quisiera asegurar una garantía de orden lineal para encontrar el k-ésimo Idea: buscar un pivote tal que deje fuera por lo menos una fracción fija del total de elementos
45 Selección del k-ésimo Método de selección linealDividir S en |S/5| conjuntos (cada Si contiene 5 elementos) Obtener las medianas m1, m2, … Obtener p=Select({mi}, (|S|/5)/2) (mediana de las medianas)
46 Selección del k-ésimo Características de pMayor que la mitad de las medianas Menor que la otra mitad de las medianas De los grupos con medianas menores (que fueron obtenidas de entre 5 elementos) 3 elementos son menores que p De los grupos con medianas mayores 3 elementos son mayores que p Esto implica que 3/10 elementos son menores que p y que 3/10 son mayores que p
47 Selección del k-ésimo El pivote p sólo puede ser mayor que el 3/10 menor y menor que el 3/10 mayor de S En el peor caso habrá que buscar recursivamente en un grupo con 7/10 de los elementos Cálculo de mi y particiones + cálculo de mediana de medianas + recursión sobre (7/10)n restantes
48 Selección del k-ésimo Suponiendo solución O(n)
49 Selección del k-ésimo La elección de 5 elementos para los grupos Si se debe a que: Este número debe ser impar para obtener mediana exacta Debe ser mayor o igual a 5 para asegurar linealidad del algoritmo Se escoge 5 porque: Mediana de medianas queda muy a la mitad Para números muy grandes de elementos calcular las medianas toma tiempo mayor