1 Ciągi i szeregi liczbowedr Małgorzata Pelczar
2 Ciągi liczbowe DEFINICJACiągiem liczbowym nazywamy funkcję a: N+ R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych dodatnich w zbiór liczb rzeczywistych. an- wyraz ogólny ciągu - wyrazy ciągu - ciąg - zbiór wyrazów ciągu
3 Monotoniczność ciągówCiąg (an) jest rosnący, jeżeli: Ciąg (an) jest niemalejący, jeżeli:
4 Ciągi monotoniczne Ciąg (an) jest malejący, jeżeli:Ciąg (an) jest nierosnący, jeżeli:
5 Wykres ciągu rosnącegoan 1 n
6 Wykres ciągu niemalejącegoan 1 n
7 Wykres ciągu malejącegoan 1 n
8 Wykres ciągu nierosnącegoan 1 n
9 Badanie monotoniczności:
10 Przykład Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:
11 Ciąg arytmetyczny Ciąg arytmetyczny określony jest wzoramigdzie aR jest pierwszym wyrazem ciągu, rR nazywa się różnicą ciągu arytmetycznego. Dla każdego nN+ i ciągu arytmetycznego (an) zachodzą następujące zależności: an=a+(n-1)r,
12 Ciąg geometryczny Ciąg geometryczny określony wzoramigdzie aR jest pierwszym wyrazem ciągu, qR\{0} nazywa się ilorazem ciągu geometrycznego. Dla każdego nN+ i ciągu geometrycznego {an} zachodzi następująca zależność: an=aqn-1.
13 Ciąg geometryczny Dla każdego nN+ i ciągu geometrycznego {an} zachodzi Jeżeli q<1 to istnieje suma S wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i wynosi ona:
14 Granice ciągów DEFINICJA (granica właściwa, ciąg zbieżny)Ciąg (an) ma granicę właściwą, co zapisujemy Ciąg (an) który ma granicę właściwą nazywamy zbieżnym.
15 Ilustracja granicy właściwej ciągu1 n
16 Granice niewłaściwe ciągówDEFINICJA (granica niewłaściwa, ciąg rozbieżny) Ciąg (an) ma granicę niewłaściwą , co zapisujemy
17 Ilustracja granicy niewłaściwej 1 n
18 Granice niewłaściwe ciągówDEFINICJA (granica niewłaściwa, ciąg rozbieżny) Ciąg (an) ma granicę niewłaściwą -, co zapisujemy Uwaga O ciągach z granicami niewłaściwymi mówimy, że są rozbieżne do lub do -.
19 Podstawowe wzory z teorii granic
20 Przykład Korzystając z definicji granicy ciągu uzasadnić równości:
21 Twierdzenia o arytmetyce granicJeżeli ciągi (an) i (bn) mają granice właściwe, to:
22 Twierdzenia o arytmetyce granic
23 Przykład Obliczyć granice ciągów o wyrazach ogólnych:
24 Twierdzenia o ciągu ograniczonym i monotonicznymJeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony. Jeżeli ciąg (an) jest niemalejący dla oraz ograniczony z góry, to jest zbieżny do Jeżeli ciąg (an) jest nierosnący dla oraz ograniczony z dołu, to jest zbieżny do
25 Twierdzenie o trzech ciągachJeżeli ciągi (an), (bn) i (cn) spełniają warunki: to
26 Określenie liczby e – liczby NeperaStałą matematyczną e definiujemy jako granicę ciągu: Dla dowolnego ciągu (an) dążącego do zera przy n dążącym do nieskończoności mamy: Jest to liczba niewymierna i przestępna e ≈ 2,71828…
27 Przykład Obliczyć granice ciągów o wyrazach ogólnych:
28 Twierdzenia o granicach niewłaściwych
29 Podciąg DEFINICJA Niech (an) będzie dowolnym ciągiem, (kn) rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Podciągiem ciągu (an) nazywamy ciąg (bn) określony następująco:
30 Przykłady Ciąg liczb parzystych (an)= (2,4,6,8,...) jest podciągiem ciągu liczb naturalnych (bn)=(1,2,3,4,5,6,7,...) Ciąg (an)=(1,1,2,2,3,3,4,4,....) nie jest podciągiem ciągu (bn)=(1,2,3,4,...)
31 Punkt skupienia DEFINICJALiczba rzeczywista a jest punktem skupienia ciągu jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do a. Symbol - () jest niewłaściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu rozbieżny do - ().
32 Dolna i górna granica ciąguDEFINICJA Niech S oznacza zbiór punktów skupienia ciągu (an). Granicą dolną ciągu (an) jest infimum zbioru S, oznaczaną: Granicą górną ciągu (an) jest supremum zbioru S, oznaczaną:
33 Przykład Znaleźć dolne i górne granice podanych ciągów:
34 Szeregi liczbowe Przez szereg liczbowy nieskończony oznaczony symbolem: rozumiemy ciąg sum:
35 Szeregi liczbowe - wyrazy szeregu - wyraz ogólny szereguwyrazy ciągu sumy cząstkowe
36 Zbieżność szeregu Szereg jest zbieżny jeżeli ciąg sum cząstkowych (sn) jest zbieżny, czyli ma skończoną granicę s. Liczbę s nazywamy wówczas sumą szeregu nieskończonego, co oznaczamy:
37 Warunek konieczny zbieżności szereguTwierdzenie Warunkiem koniecznym zbieżności każdego szeregu jest to, żeby jego wyraz ogólny dążył do zera:
38 Twierdzenie Jeżeli szereg jest zbieżny i jego suma równa się s,a c jest stałą, to:
39 Szereg geometryczny zbieżny, gdy: Wówczas jego suma wynosi:
40 Szereg harmoniczny jest rozbieżny do . jest zbieżny dla rozbieżny dla
41 Szeregi o wyrazach nieujemnychTwierdzenie (kryterium porównawcze) Jeżeli dla szeregu można wskazać taki szereg zbieżny , że począwszy od pewnego miejsca zachodzi to szereg też jest zbieżny.
42 Kryterium rozbieżnościTwierdzenie Jeżeli dla szeregu można wskazać taki szereg rozbieżny że począwszy od pewnego miejsca zachodzi to szereg też jest rozbieżny.
43 Kryterium d’Alemberta zbieżności szeregówTwierdzenie Jeżeli dla szeregu począwszy od pewnego miejsca zachodzi: to szereg jest zbieżny.
44 Kryterium d’Alemberta rozbieżności szeregówTwierdzenie Jeżeli dla szeregu począwszy od pewnego miejsca zachodzi: to szereg jest rozbieżny.
45 Wnioski
46 Przykład Zbadać zbieżność szeregu:
47 Kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregówTwierdzenie Jeżeli dla szeregu istnieje taka liczba p<1, że począwszy od pewnego miejsca zachodzi: to szereg jest zbieżny.
48 Kryterium Cauchy’ego rozbieżności szeregówTwierdzenie Jeżeli dla szeregu począwszy od pewnego miejsca zachodzi: to szereg jest rozbieżny.
49 Wnioski
50 Przykład Zbadać zbieżność szeregu:
51 Szeregi przemienne Szereg nazywamy przemiennym, jeżeli jego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne. Uwaga: W szeregu przemiennym łączenie wyrazów w grupy i zmiana kolejności składników wpływają na zbieżność szeregu.
52 Kryterium Leibniza zbieżności szeregówTwierdzenie Jeżeli dla szeregu przemiennego począwszy od pewnego miejsca zachodzi: to szereg jest zbieżny.
53 Przykład Zbadać zbieżność szeregów:
54 Kryterium bezwzględnej zbieżności szeregówTwierdzenie Jeżeli szereg jest zbieżny, to szereg jest zbieżny. Uwaga: Szereg nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg jest zbieżny.
55 Przykład Zbadać zbieżność szeregu:
56 Dziękuję za uwagę