1

2 Co jest najmądrzejsze? Liczba. Co jest najpiękniejsze? Harmonia. Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią. To słynna sentencja wypowiedziana przez Pitagorasa.

3

4 LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE Liczby zaprzyjaźnione to para liczb naturalnych takich, że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie licząc dzielników przez samą siebie). Gdy zapytano Pitagorasa „ CO TO JEST PRZYJACIEL” – odpowiedział: „Przyjaciel to drugi ja: przyjaźń to stosunek liczb 220 i 280”. Stąd pochodzi nazwa liczb zaprzyjaźnionych, a liczbom 220 i 280 przypisywano znaczenie mistyczne. 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284) 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220) Przykłady par liczb zaprzyjaźnionych: Nie wiadomo czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieją liczby zaprzyjaźnione o różnej parzystości. Dzisiaj znamy prawie 8000 zaprzyjaźnionych par. Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. 220 i 284 1184 i 1210 2620 i 2924 5020 i 5564 6232 i 6368 10744 i 10856 12285 i 14595 17296 i 18416 63020 i 76084 66928 i 66992 67095 i 71145 69615 i 87633

5 Liczba doskonała to liczba naturalna, to taka która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych. Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6 ponieważ 6 = 3 + 2 + 1. Następną jest 28 bo 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1, a kolejne to 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328... Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest liczba, która ma 25 956 377 cyfr. Obecnie znamy 31 liczb doskonałych, wszystkie parzyste. Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą.

6 LICZBY LUSTRZANE Liczby lustrzane to pary liczb, które czytane od tyłu wyglądają tak samo jak liczba z pary czytana normalnie. Na przykład: 28 i 82, 17 i 71, 25 i 52, …, LICZBY PALINDROMICZNE Liczba, palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa. Liczby takie nazywane są także symetrycznymi. Przykłady liczb palindromicznych: 55, 626, 494, 30703, 414, 5115... Ciekawostką matematyczną jest, że każdy palindrom liczbowy w systemie dziesiętnym złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11.

7 LICZBY GNOMICZNE Liczby gnomiczne to liczby postaci 2n+1, które dodane do kwadratu liczby n dają kwadrat liczby następnej. n2n+1n2n2 (n + 1) 2 1314 2549 37916 49 25 5112536 6132649

8 Z liczbami olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiejś wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego. Tabela przedstawia nazwy liczb, ich zapis w postaci dziesiętnej oraz w postaci potęgi liczby 10. jeden110 0 tysiąc1 00010 3 milion1 000 00010 6 miliard1 000 000 00010 9 bilion1 000 000 000 00010 12 biliard1 000 000 000 000 00010 15 trylion1 000 000 000 000 000 00010 18 tryliard1 000 000 000 000 000 000 00010 21 kwadrylion1 000 000 000 000 000 000 000 00010 24 kwadryliard1 000 000 000 000 000 000 000 000 00010 27 kwintylion1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00010 30

9

10

11 LICZBY PITAGOREJSKIE Liczby pitagorejskie to trzy liczby naturalne a, b, c takie, że: a 2 + b 2 = c 2. Nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, w którym boki trójkąta prostokątnego spełniają powyższą zależność. Poniżej kilka przykładów trójek pitagorejskich: Jeśli m i n są liczbami naturalnymi i m > n, to liczby a, b, c równe odpowiednio: a = m 2 - n 2, b = 2mn, c = m 2 + n 2 są trójką pitagorejską. abc 345 51213 6810 72425 81517 91215

12 LICZBY PIERWSZE Liczba pierwsza to liczba naturalna, która dzieli się tylko przez samą siebie i jedynkę. Rodzaje liczb pierwszych: Liczby pierwsze izolowane Liczba pierwsza jest izolowana, jeśli najbliższa jej liczba pierwsza różni się od niej co najmniej o 4. Przykłady: 7, 11, 13, 17,…, 89, 157, 173,… Liczby względnie pierwsze Liczby, które nie mają innych poza jedynką wspólnych dzielników nazywa się względnie pierwszymi. PODZIELNIKZASADA SZUKANIA LICZB PIERWSZYCH 2kiedy jej ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8 3kiedy suma jej cyfr dzieli się przez 3 4kiedy liczba składająca się z dwóch ostatnich cyfr tej liczby dzieli się przez 4 5kiedy jej ostatnia cyfra to 0 lub 5 7 kiedy odejmując od liczby składającej się z trzech jej ostatnich cyfr liczbę powstała z pozostałych jej cyfr i otrzymamy liczbę podzielną przez 7 8kiedy liczba składająca się z trzech ostatnich cyfr tej liczby dzieli się przez 8 9kiedy suma jej cyfr dzieli się przez 9 10kiedy jej ostatnia cyfra to 0 11 kiedy odejmując od liczby składającej się z cyfr stojących na pozycjach parzystych, liczbę składającą się z cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy liczbę podzielną przez 11

13 LICZBY ZŁOŻONE Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1 nie będąca liczbą pierwszą czyli mająca co najmniej jeden naturalny dzielnik różny od jedności i niej samej. Aby rozpoznać liczby naturalne złożone należy stosować cechy podzielności. PODZIELNIKZASADA 2kiedy jej ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8 3kiedy suma jej cyfr dzieli się przez 3 4 kiedy liczba składająca się z dwóch ostatnich cyfr tej liczby dzieli się przez 4 5kiedy jej ostatnia cyfra to 0 lub 5 7 kiedy odejmując od liczby składającej się z trzech jej ostatnich cyfr liczbę powstała z pozostałych jej cyfr i otrzymamy liczbę podzielną przez 7 8 kiedy liczba składająca się z trzech ostatnich cyfr tej liczby dzieli się przez 8 9kiedy suma jej cyfr dzieli się przez 9 10kiedy jej ostatnia cyfra to 0 11 kiedy odejmując od liczby składającej się z cyfr stojących na pozycjach parzystych, liczbę składającą się z cyfr stojących na miejscach nieparzystych otrzymamy liczbę podzielną przez 11

14 ZŁOTA LICZBA Liczba złota, oznaczana symbolem φ jest równa: Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału. Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w archite- kturze. Obecnie złoty podział jest też często stosowany, na przykład wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym sto- sunkowi złotego podziału. Wartość złotej liczby można obliczyć na przykład z następującego ułamka łańcuchowego: Liczba złota ma ciekawe własności: - aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę, - aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć od niej jedynkę.

15 Liczby Fibonacciego Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33,... nazywamy liczbami Fibonaciego. Nazwa pochodzi od imienia Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim, który w 1202 podał ten ciąg. Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (np. drzewa). Róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt spiral. Jeśli obliczymy ilość lewo- i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to liczby z ciągu Fibonacciego. Podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki. Jeśli podzielimy dowolną liczbę ciągu Fibonacciego przez liczbę ją poprzedzającą wówczas otrzymamy iloraz oscylujący wokół 1,61804 - znany w geometrii jako złota proporcja oraz przybliżona wartość złotej liczby.

16 Liczba naturalna postaci, gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą. Nazwano je tak dla upamiętnienia francuskiego matematyka Fermata, który pierwszy badał ich własności. Oto kilka początkowych liczb Fermata: F 0 = 2 1 + 1 = 3 F 1 = 2 2 + 1 = 5 F 2 = 2 4 + 1 = 17 F 3 = 2 8 + 1 = 257 F 4 = 2 16 + 1 = 65537 F 5 = 2 32 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417 F 6 = 2 64 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721 F 7 = 2 128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721 Patrząc na pięć kolejnych liczb Fermat wyraził przypuszczenie, że wszy- stkie liczby tej postaci są pierwsze, jednak Euler w roku 1732 pokazał, że F 5 = 4294967297 = 641 · 6700417 jest złożona.

17 π ≈ 3,1415926535897932384626433832795028841971 … Już w czasach zamierzchłych starożytni matematycy zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy i jest wielkością stałą, która wynosi w przybliżeniu 3,14. Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość π do milionów miejsc po przecinku. Rodzi się pytanie: jakiego rodzaju to liczba? Ostatecznie w roku 1882 niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann rozstrzygnął podstawowy problem dotyczący liczby π. Liczba π jest więc liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się "byle jak", nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy. Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa "peryferia". Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością do 35 miejsc po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Popularność liczba π zawdzięcza występowaniu we wzorach na pole i obwód koła oraz pola i objętości brył obrotowych

18 LICZBA ZERO Już VII w. p.n.e. Babilończycy stosowali zero w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowała ona samodzielnie. W cywilizacji Majów zero istnia- ło jako liczba już w I w.p.n.e., ale Majowie nie rozprzestrzenili tej idei poza Amerykę Środkową. Liczbę i oznaczającą ją cyfrę zero wprowadzili Hindusi. Całość systemu pozycyjnego o podstawie 10 opisał je, z dziesięcioma cyfra- mi i metodami wykonywania działań została opisana przez Dżainitów w 458r. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagucie, który opisał je w 628r. Zero stosowano w średniowieczu, ale nie miało ono swojej reprezen- tacji w cyfrach rzymskich- stosowano słowo nullae. Nazwa „zero” o podobnym brzmnieniu w większości języków europejskich pochodzi od arabskiego słowa „ sifr” co oznacza pustka. Leonardo z Pizy zwany Fibonaccim używał odpo- wiednika słowa „zephirum” i po jego uproszczeniu weszło w użycie jako słowo „zero” w V w.

19 Liczba Szeherezady Liczba Szeherezady to 1001. Chociaż nie jest ona tak użyteczna, jak liczba 0 lub li- czba π, jednak jest niemniej niż one popularna. Widnieje w tytule nieśmiertelnych bajek,,Z tysiąca i jednej nocy". Z punktu widzenia matematyki ma swoje ciekawe własności. Jest najmniejszą czterocyfrową liczbą naturalną, którą można przedsta- wić w postaci sumy sześcianów dwóch liczb naturalnych: 1001 = 10 3 + 1 3 Liczba 1001 składa się z 77 feralnych trzynastek lub z 91 jedenastek, albo z 143 siódemek. Należy pamiętać, iż siódemka była uważana za liczbę magiczną. Jeżeli przyjmiemy 52 tygodnie za 1 rok, to z 1001 nocy otrzymamy jako roku (52 * 7 + 52 * 7 + 26 * 7 + 13 * 7 = 1001) A więc widzimy, że liczba Szeherezady łączy humanistykę z matematyką. Na własnościach liczby 1001 oparty jest także sposób badania podzielności liczb przez 7, 11 i 13.

20 Magiczna siódemka W starożytności niektórym liczbom przypisywano moc magiczną. Ów mistycyzm liczbo- Wy został zapoczątkowany przez Pitagorasa i jego uczniów. Za ich pośrednictwem rozpo- wszechnił się po całej Grecji i w szczątkowej postaci przetrwał aż do naszych czasów. Stąd na przykład mamy feralną trzynastkę. Jednak największą moc magiczną przypisywano w sta- rożytności liczbie 7. Wiele faktów historycznych i kulturalnych, wiele dzieł rąk ludzkich powiązano z siódemką. Oto niektóre z nich: Siedem cudów świata starożytnego. Siedmiu mędrców starożytności. Siedem kryształowych sfer. Siedem dni w tygodniu. Siedem tonów gamy. Siedem krów tłustych i siedem krów chudych. Siedem sztuk wyzwolonych: artes liberales. Za siedmioma górami, za siedmioma lasami... Siedem pięknych dziewcząt i siedmiu chłopców ateńskich składanych rok rocznie na pożarcie Minotaurowi.

21 Prezentację wykonał uczeń klasy IId Kamil Kaczmarek W projekcie brali udział uczniowie klasy IId i IIc