1 Colegio Colombo HebreoS 1 2 3 FuNcIoNeS Por: Melissa Rascovsky, Melissa Sasson y Sergio Garrido Presentado a: Patricia Cáceres Colegio Colombo Hebreo Àrea De Matemàticas Dècimo grado Bogota d.c

2 Funciones crecientes, decrecientes y tasa de cambio¿Qué es una función? Gráficas Funciones crecientes, decrecientes y tasa de cambio Transformaciones Elementos F(x)=3x+2 F(x)=5

3 Es el conjunto de elementos que tienen imagen.¿Qué es una función? Una función es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente un elemento, llamado y, en un conjunto B. El símbolo f(x) es el valor de y en x. El conjunto A, es el conjunto de salida y es el dominio de la función. El rango de la función es el conjunto de valores que se relacionan con la variable x y toma Y. La variable independiente (x) es la que no varia dependiendo de la otra. La variable dependiente (y), pertenece al conjunto B que varia dependiendo de lo que varia x. Dominio Representación para hallar Y se debe reemplazar x con el numero real o cero, y para hallar X, se debe reemplazar Y con cero. Es el conjunto de elementos que tienen imagen. Verbal Algebraica Visual Numérica

4 Elementos de una funciónConjunto de salida Conjunto de llegada dominio rango Función Inyectiva Función Sobreyectiva Función Biyectiva

5 Graficación de funciones definidas por partes Ecuaciones de funcionesGráficas de funciones Graficación Graficación de funciones definidas por partes Ecuaciones de funciones f(x)= mx + b (función lineal) f(x)= b (función constante) varían las formulas dependiendo de la función, distintas en su dominio, dependiendo de la variable independiente,(x). Funciones lineales f(x) = mx + b Funciones exponenciales f(x) = x^n Funciones recíprocas f(x) = 1/x^n Función valor absoluto f(x) = IxI

6 Funciones crecientes y decrecientes, tasa de promedioTasa de cambio promedio Funciones decrecientes La tasa de cambio hace alusión a la pendiente, entre x=a y x=b, es decir: Se dice que es creciente cuando la grafica sube, asciende desde (-00, 00) en Y. Se dice que es decreciente Cuando la grafica baja, desciende de (00, -00) Es decir con respecto a Y. Tasa de cambio promedio = cambio en y / cambio en x

7 Transformaciones de funcionesDesplazamiento vertical Desplazamiento horizontal Desplazamiento(acortar, alargar) vertical Desplazamiento( alargar o acortar) horizontal Sumar una constante a la función vertical: se desplaza hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si es negativa. y= f(x + c) desplaza la grafica c unidades a la izquierda y si se resta desplaza hacia la derecha. y= f (x - c) Para alargar verticalmente una grafica se multiplica por un numero c mayor que 1. Para acortar la grafica se multiplica por un numero a menor que uno pero positivo, entre 1 y 0. Para alargar una grafica se divide por un numero 1/a, a es mayor que 1. Para acortar la grafica se divide por un numero 1/a, cuando a es menor 1, pero positivo.

8 Conjunto de salida Es el conjunto de números que son llamados conjunto A y son las pre imágenes, cada elemento debe estar relacionado una ves con un elemento del conjunto de llegada B y posee una imagen. Por lo general reales. B A 1 2 3 4 5 A B C D E

9 Conjunto de llegada Es el conjunto de números del conjunto B, llamados imágenes, y están relacionados con los elementos del conjunto A. Generalmente son reales. B A 1 2 3 4 5 A B C D E

10 rango Es el conjunto de imágenes, el conjunto de números que se relacionan una ves con los elementos del conjunto A.

11 dominio Es el conjunto de pre imágenes, el conjunto de números que del conjunto A están relacionados una ves con un solo elemento del conjunto B. Generalmente reales. B A 1 2 3 4 5 A B C D E

12 Función inyectiva si todos los elementos del dominio están relacionados una sola vez con un elemento del rango. No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen. cuando f(x) = f(y), x = y. Ejemplo: f(x) = x+5 del conjunto de los números reales es una función Inyectiva A B C D 1 2 3 4 5

13 Función sobreyectiva F(x)=Bsi a cada elemento del dominio le corresponde un elemento del rango. F(x)=B Ejemplo: la función f(x) = 6x del conjunto de los números naturales al de los números pares es Sobreyectiva. 1 2 3 4 5 D F G H i

14 Función biyectiva 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5Todos los elementos del conjunto A tienen una imagen distinta en el conjunto B (Inyectiva), cada elemento del conjunto A le corresponde un elemento del conjunto B (Sobreyectiva). Es Inyectiva y Sobreyectiva a la ves. Ejemplo: La función f(x) = 3x del conjunto de números reales es Inyectiva y Sobreyectiva. Por lo tanto es Biyectiva.

15 Funciones Polinómicas Constante Grado par Otras Grado impar LinealAfín Identidad Cuadrática Cúbica Trigonométrica Exponencial Racional Logarítmica Valor absoluto

16 Polinómicas Son aquellas funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Dominio= Conjunto de Salida= IR Conjunto de llegada= IR donde es un polinomio en , , es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales.

17 Ejemplo:

18 Funciones de grado par Son funciones que como máximo grado de un término es un número par. Está dada por la ecuación: Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =(depende de la función, de sus máximos y mínimos.) Punto de corte con y= igualando x a 0 Puntos de corte con x= igualando y a 0 Vértice= +-b/2a Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada =IR Rango= máximos y mínimos. F(x) ≥0 en x IR positivos. F(x) ≤0 en x IR negativos Por lo general es la función cuadrática.

19 Funciones de grado imparSon funciones en las cuales el máximo grado de un término es un número impar . Está dada por la ecuación: Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada=IR Rango =IR en la función constante el rango es la variable f(x)=a Función cúbica Punto de corte con y= igualando x a 0 Punto de corte con x= igualando y a 0 Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada =IR Rango= IR F(x) ≥0 en x IR positivos F(x) ≤ 0 en x IR negativos Se divide en función cúbica y lineal.

20 Lineal Un polinomio de primer grado de una variable real es una función matemática de la forma: F(x)= mx + b donde m y b son constantes. La función lineal , pasa por el punto (0,0) como origen a diferencia de la función lineal afín. Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente m es denominada la pendiente de la recta. b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b). Dominio= IR= conjunto de salida Rango= IR= conjunto de llegada Punto de corte con Y= 0 Punto de corte con X= 0

21 Ejemplo: Dominio= IR= conjunto de salida Rango= IR= conjunto de llegada Punto de corte con Y= 0 Punto de corte con X= 0 Y = 5x

22 Afín Una función lineal afín es aquella cuya expresión matemática viene dada por: Y= mx + n donde x e y son variables, m una constante que se denomina pendiente y n otra constante denominada ordenada en el origen. Su gráfica es una recta que corta al eje de ordenadas en . La pendiente m de una recta mide la inclinación de la siguiente manera: Si M>0 la función es creciente. Si M=0 la función es decreciente. Si M<0 la función es constante (recta horizontal). La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera: para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones restando sus coordenadas x e  y   respectivamente.

23 Ejemplo: Dominio= IR= conjunto de salida Rango= IR= conjunto de llegada Punto de corte con y= 2 Punto de corte con x= -2/4 Y=4x+2

24 Identidad Una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento. f(x)=x / f(x)=y La función identidad puede describirse de la forma siguiente: Dominio= IR= conjunto de salida Conjunto de Salida= IR= conjunto de llegada Punto de corte con X= igualando a 0=Y

25 Ejemplo: x 1 2 3 4 y F(x)=x Dominio= IR= conjunto de salida Conjunto de Salida= IR= conjunto de llegada Punto de corte con X= cero Punto de corte con y= 0

26 Constante Se llama función Polinómicas de grado cero o función matemática constante a la que no depende de ninguna variable, se la representa de la forma: F(x)= a donde a es la constante. Dominio= IR= conjunto de salida Rango= a Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con x= no hay Punto de corte con y= a

27 Ejemplo: Dominio= IR= conjunto de salida Rango= 5 Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con x= no hay Punto de corte con y= 5 Y= 5

28 Función cuadrática Una función cuadrática, es una función polinómica de grado par, que tiene como máximo grado el numero 2. se define por la siguiente ecuación: Para hallar el mínimo y máximo relativos, se usa la ecuación: x= -b 2a Conjunto de salida: IR= dominio Conjunto de llegada= IR Rango= (máximos y mínimos de la función) Punto de corte con y= c Pun to de corte con x= Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Dominio= IR Rango= IR Punto de corte con y= C

29 Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Dominio= IR Rango= IR Punto de corte con y= 2 Punto de corte con x= (x+2)(x+2)=0 x=-2 Eje de simetría: -2 Mínimo en x= -2 Función:

30 Función cúbica Es una función polinómica de grado impar, cuyo grado mayor en el termino de la ecuación es de 3. Se da por la siguiente ecuación: Conjunto de salida= IR=dominio Conjunto de llegada= IR= rango Punto de corte con y= d Punto de corte con x= factorizacion( teorema del factor) Dominio= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Conjunto de Salida= IR Punto de corte con y= D

31 Función= Dominio= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Conjunto de Salida= IR Punto de corte con y= 2 Punto de corte con x= -5,2

32 Función de valor absolutoLa gráfica de la función del valor absoluto consiste en dos rayos que forman la letra V, con su punto inferior en el origen se define por la siguiente ecuación: f(x) = |x| Conjunto de salida: IR = dominio Conjunto de llegada= IR Rango= IR positivos Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= no hay

33 Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, para un mejor análisis.La función se debe igualar a cero, se excluye el valor absoluto y se calculan las raíces. F(x)= /x-3/ ej: (x-3)=0 x=3 2.Con las raíces se forman intervalos y se evalúa la variable dependiendo el signo del intervalo. F(x)={ -(x-3) si x<3 F(x)={x-3 si x> 3 3. En los intervalos en los que x es negativa se le cambia el signo a la función. { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://slideplayer.es/3504569/12/images/33/Las+funciones+en+valor+absoluto+se+transforman+en+funciones+a+trozos%2C+para+un+mejor+an%C3%A1lisis..jpg", "name": "Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, para un mejor análisis.", "description": "La función se debe igualar a cero, se excluye el valor absoluto y se calculan las raíces. F(x)= /x-3/ ej: (x-3)=0 x=3. 2.Con las raíces se forman intervalos y se evalúa la variable dependiendo el signo del intervalo. F(x)={ -(x-3) si x 3. 3. En los intervalos en los que x es negativa se le cambia el signo a la función.", "width": "800" } 34 Función: Cs=dominio= IR Cll= rango= IR Punto de corte con y= 3Punto de corte con x= 3 Función: F(x)= /x-3/ { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://slideplayer.es/3504569/12/images/34/Funci%C3%B3n%3A+Cs%3Ddominio%3D+IR+Cll%3D+rango%3D+IR+Punto+de+corte+con+y%3D+3.jpg", "name": "Función: Cs=dominio= IR Cll= rango= IR Punto de corte con y= 3", "description": "Punto de corte con x= 3. Función: F(x)= /x-3/", "width": "800" } 35 Función logarítmica La función logarítmica es aquella función que va de reales en reales, solamente los positivos, ya que los números negativos y el cero no tiene logaritmo. La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. propiedades Dominio(o,oo)IR+=conjunto de salida Conjunto de llegada=rango=IR Punto de corte con x=1 Punto de corte con y= no hay Asintota vertical= x=0 Creciente y decreciente No hay maximos ni minimos { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://slideplayer.es/3504569/12/images/35/Funci%C3%B3n+logar%C3%ADtmica.jpg", "name": "Función logarítmica", "description": "La función logarítmica es aquella función que va de reales en reales, solamente los positivos, ya que los números negativos y el cero no tiene logaritmo. La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. propiedades. Dominio(o,oo)IR+=conjunto de salida. Conjunto de llegada=rango=IR. Punto de corte con x=1. Punto de corte con y= no hay. Asintota vertical= x=0. Creciente y decreciente. No hay maximos ni minimos.", "width": "800" } 36 Clases de logaritmos: Cambio de base: Logaritmos Decimales:Son los logaritmos que tienen por base el número 10. normalmente no se escribe la base. Logaritmos naturales: Se llaman logaritmos naturales a los logaritmos que tienen por base el número e. Cambio de base: { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://slideplayer.es/3504569/12/images/36/Clases+de+logaritmos%3A+Cambio+de+base%3A+Logaritmos+Decimales%3A.jpg", "name": "Clases de logaritmos: Cambio de base: Logaritmos Decimales:", "description": "Son los logaritmos que tienen por base el número 10. normalmente no se escribe la base. Logaritmos naturales: Se llaman logaritmos naturales a los logaritmos que tienen por base el número e. Cambio de base:", "width": "800" } 37 Desplazamientos: Si a la función logarítmica se le suma en un paréntesis una numero este realiza un desplazamiento horizontal hacia la izquierda, mientras que si se le resta a la variable x dentro del paréntesis hará un desplazamiento horizontal hacia la derecha. Ej: Si a la función se le suma un numero, se desplaza verticalmente hacia arriba y si se le resta a la función un numero esta se desplaza verticalmente hacia abajo. Ej: f(x)= log x+2 { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://slideplayer.es/3504569/12/images/37/Desplazamientos%3A.jpg", "name": "Desplazamientos:", "description": "Si a la función logarítmica se le suma en un paréntesis una numero este realiza un desplazamiento horizontal hacia la izquierda, mientras que si se le resta a la variable x dentro del paréntesis hará un desplazamiento horizontal hacia la derecha. 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Ej :", "width": "800" } 41 Cs=d=IR CLL=IR R=(3,00) P corte con x no hay P corte con y= 4 F(x)>0 xE(IR+) F(x)<0 no hay Asintota vertical en y= 0 { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://slideplayer.es/3504569/12/images/41/Cs%3Dd%3DIR+CLL%3DIR.+R%3D%283%2C00%29+P+corte+con+x+no+hay.+P+corte+con+y%3D+4.+F%28x%29%3E0+xE%28IR%2B%29+F%28x%29%3C0+no+hay..jpg", "name": "Cs=d=IR CLL=IR. R=(3,00) P corte con x no hay. P corte con y= 4. F(x)>0 xE(IR+) F(x)0 xE(IR+) F(x)

45 1) Para m < n,  la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.2) Para m = n, la recta  y = am/bn, es una asíntota horizontal. 3) Para m > n,  no hay asíntotas horizontales.

46 Raices(puntos de corte con xnumerador: x=2,x=-2 Denominador= x=-3/2,x=1 Cs=

47 Funciones trigonométricasGeneralidades, ¿qué son? seno tangente coseno secante cotangente cosecante

48 Características y generalidadesLas funciones trigonométricas, son relaciones angulares, con relación al triangulo. Dependen del circulo goniométrico:  es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0). En el se da un triangulo rectángulo de catetos x y y, cuya hipotenusa tiene longitud 1. la ecuación:

49 Ecuaciones trigonométricas:Identidades reciprocas y ecuaciones:

50 Características Dominio: Sen y cos= IR Tan y cot= IRSec y csc= IR menos n

51 Función seno Máximos en x= (π/2+2n π) Mínimos en x= (3π/2 +2n π)La gráfica de la función seno consiste una línea curva que tiene una curvatura que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación: f(x) = sen x Conjunto de salida: IR = dominio Amplitud: 1 Conjunto de llegada= IR Periodo: 2pi Rango= -1,1 Máximos en x= (π/2+2n π) Mínimos en x= (3π/2 +2n π) Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= [(2k+1). pi/2, k e Z]

52 DESPLAZAMIENTO Conjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IRRango=(-1,1) Puntos de corte con x= πn-(π) Punto de corte con y=0 Periodo=2π Amplitud=1

53 DESPLAZAMIENTO VERTICALConjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango=(1,4) Puntos de corte con x no hay Punto de corte con y=3 Periodo=2π Amplitud=1

54 Ampliación del periodoSi se multiplica por un numero natural, el periodo se hace menor, si se multiplica por un numero entero se hace mayor. Conjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango=(-1,1) Puntos de corte con x= π/2n Punto de corte con y=0 Periodo=π Amplitud=1

55 Función coseno Para la función coseno consta de las siguientes características: Puntos de corte con x en x= Máximos en x = Mínimos= Amplitud= 2 Dominio= IR Rango= (-1,1) Periodo=2 La gráfica de la función seno consiste una línea curva que tiene una curvatura que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación:

56 Alteraciones de la función cosenoDesplazamiento vertical Cambio de amplitud Desplazamiento horizontal Cambio de periodo Desplazamiento vertical Donde b es un número IR. Dominio= IR Rango= (-4,-2) Periodo=2 Puntos de corte con x en x= Máximos en x = Mínimos= Amplitud= 2 En este caso la onda se desplaza hacia abajo, la cantidad “b”

57 Cambio de amplitud Cambio de periodoEn este caso, si a en mayor que uno, la amplitud aumenta, y si es menor, disminuye. Cambia el rango y la amplitud, en comparación con la función coseno original Ejemplo: Rango= (-2,2) Amplitud= 4 Solo cambio la amplitud y por ende el rango Cambio de periodo En este caso, si a> 1 hay un menor periodo, y si es menor que uno, hay un mayor periodo Ejemplo: Dominio= IR Rango= (-1,1) Periodo= 4 Puntos de corte con x= Amplitud= 2 Máximos en x = Mínimos=

58 Desplazamiento horizontalEn este caso, la onda se desplaza horizontalmente. Si b es positivo, se desplaza a la izquierda, si es negativo se desplaza a la derecha Cambian los puntos de corte con “x” y con “y”, no cambia el periodo, no cambia la amplitud, no cambia el rango, ni dominio, ni conjunto de salida ni llegada. Cambia la ubicación de los máximos y mínimos. Ejemplo: Dominio= IR Rango= (-1,1) Periodo=2 Puntos de corte con x en x= Amplitud= 2 1, es la distancia que se corrió hacia la izquierda Es en la onda no modificada

59 coseno

60 Función tangente La gráfica de la función tangente consiste una serie de líneas curvas en sentido horizontal que tiene una curvatura que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación: f(x) = tan x Conjunto de salida: IR - [(2k+1).pi/2, k e Z] = dominio Conjunto de llegada= IR Periodo: pi rad Rango= IR Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= [k . pi, k e Z]

61 tangente

62 Función cotangente La gráfica de la función cotangente consiste una serie de líneas curvas en sentido horizontal que tiene una curvatura que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación: f(x) = ctg x Conjunto de salida: IR - [(2k+1).pi/2, k e Z] = dominio Conjunto de llegada= IR Periodo: pi rad Rango= IR Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x

63 cotangente

64 Función secante La gráfica de la función secante consiste una serie de parábolas en sentido vertical que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación: f(x) = sec x Conjunto de salida: IR - [(2k+1).pi/2, k e Z] = dominio Conjunto de llegada= IR Periodo: 2pi rad Rango= (− ∞, −1] U [1, ∞) Punto de corte con y= 1 Punto de corte con x= no hay Asíntotas en x= π/2(2n-1) Amplitud=1 Máximos=(2 πn,-1) Mínimos= (π(2n+1),-1)

65

66 DESPLAZAMIENTO HORIZONTALConjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango=IR-(-1,1) Puntos de corte con x no tiene Punto de corte con y no tiene Periodo=2π Amplitud=1

67 DESPLAZAMIENTO VERTICALConjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango=IR-(1,3) Asíntotas en x=π/2(2n-1) Punto de corte con y=3 Periodo=2π Amplitud=1

68 AMPLIACIÓN Conjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IRRango=IR-(-3,3) Puntos de corte con x no hay Punto de corte con y=3 Periodo=2π Amplitud=3

69 DESPLAZAMIENTO HORIZONTALConjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango=IR-(-1,1) Puntos de corte con x no hay Punto de corte con y no hay Periodo=2π Amplitud=1

70 Función cosecante La gráfica de la función secante consiste una serie de parábolas en sentido vertical que se repite por determinado periodo se define por la siguiente ecuación: f(x) = csc x Conjunto de salida: IR - [k . pi, k e Z] = dominio Conjunto de llegada= IR Periodo: 2pi rad Rango= (− ∞, −1] U [1, ∞) Punto de corte con y= no hay Punto de corte con x= no hay Asíntotas en x=n π Amplitud=1 Máximos=(3 π/2+2 πn,-1) Mínimos=(π/2+2 πn,-1)

71 cosecante

72 DESPLAZAMIENTO VERTICALConjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango=IR-(1,3) Asíntotas en x=n π Puntos de corte con x no tiene Punto de corte con y no tiene Periodo=2π Amplitud=1

73 Ampliación Función cosecanteConjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango=IR-(-2,2) Asíntotas en x=nπ Puntos de corte con x no tiene Punto de corte con y no tiene Periodo=2π Amplitud=2

74 Ampliación periodo Función cosecanteConjunto de salida=dominio= IR Conjunto de llegada=IR Rango=IR-(-1,1) Asíntotas en x=π/2(n) Puntos de corte con x no tiene Punto de corte con y no tiene Periodo=π Amplitud=1

75 Referencias de consulta