1 COMBINANDO FUNCIONES COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓNUNIDAD I FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES A.PR J. Pomales CeL

2 INTRODUCCIÓN En el tema pasado realizamos combinaciones de funciones a través de la suma, resta, multiplicación y división. Hoy, trabajaremos con una quinta combinación llamada composición. Se realizarán en: expresiones algebraicas, tablas y gráficas. Luego definiremos y haremos ejercicios de su operación contraria: descomposición.

3 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

4 ¿QUÉ ES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?De forma sencilla, la composición de funciones es colocar una función dentro de otra y simplificarla. Al igual que con las operaciones básicas, al hacer la composición de funciones (concatenación) generamos una nueva función.

5 ¿QUÉ ES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?Se denota: (f o g)(x) = f [g(x)] Se lee: “ g compuesta con f ” A g se le llama la función interior, o primera función y a f la función exterior, o segunda función en la composición.

6 CARACTERÍSTICAS DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONESCuando se escribe f o g entendemos que g es la primera función que actúa en la cadena, a pesar de que se escribe a la derecha después de f

7 CARACTERÍSTICAS DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?No necesariamente todos los elementos del dominio de g estarán en el dominio de f o g La operación de componer funciones no es conmutativa, es decir que en general: f o g ≠ g o f (aunque puede haber excepciones)

8 DE COMPOSICIÓN DE FUNCIONESEJEMPLOS DE COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

9 HALLA LAS SIGUIENTES COMPOSICIONESSi y halla: SOLUCIÓN Lo que hicimos fue colocar una función dentro de la otra y simplificar:

10 HALLA LAS SIGUIENTES COMPOSICIONESSi y halla: SOLUCIÓN Lo que hicimos fue colocar una función dentro de la otra y simplificar:

11 CREA LA TABLA DE VALORES DE LA SIGUIENTE COMPOSICIÓNHalla Asegúrate de comenzar por la primera función que en este caso es f (x) x f(x) 1 -3 2 3 4 6 5 7 -9 x g(x) 2 10 3 4 -9 -6 1 -3 6 -5 x (g o f)(x)

12 CREA LA TABLA DE VALORES DE LA SIGUIENTE COMPOSICIÓNCUIDADO: No siempre el dominio de la nueva función será el mismo que el dominio de la función original. Halla x f(x) 1 -3 2 3 4 6 5 7 -9 x g(x) 2 10 3 4 -9 -6 1 -3 6 -5 x (g o f)(x)

13 DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE COMPOSICIÓNHalla (m o h)(x) Dato: La composición de dos funciones lineales siempre será otra lineal. Asegúrate de comenzar por la primera función h(x) m(x) 2.5 1.6 -5  -2 -2  2.5 El valor del recorrido lo uso como dominio en la otra función -2  1 1  1.6  Cuando no se conoce qué tipo de gráfica será la composición entonces necesitas encadenar muchas parejas de puntos. 

14 DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE COMPOSICIÓNHalla (m o h)(x) (m o h)(x) -5  -2 -2  2.5 -2  1 1  1.6 Como sabemos que de dos funciones lineales obtenemos la composición de otra función lineal, sólo necesitamos dos puntos para la construcción de la nueva función. ¿Sabes cuáles son estos puntos?

15 DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE COMPOSICIÓNHalla (m o h)(x) (m o h)(x) 2.5 1.6 -5  -2 -2  2.5 -2  1 1  1.6 -5  2.5 -2  1.6 Utilizo el valor del dominio de la primera función junto al valor del rango de la segunda función ¡Y listo! ¿Por qué sólo se utilizaron 2 puntos para construir la nueva gráfica?

16 DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES

17 ¿QUÉ ES DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES?Es identificar cuáles funciones se componen para formar otra. Es el proceso opuesto a componer funciones. Este proceso se estudiará más a fondo en los cursos de Cálculo.

18 ¿QUÉ ES DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES?La descomposición de una función cualquiera no es única, puede incluir dos o más funciones. Es necesario que se establezca el orden en que se deben componer las funciones para obtener la función original.

19 DE DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONESEJEMPLOS DE DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES

20 DESCOMPONER h(x) EN 2 FUNCIONESRecuerda mencionar el orden en que se debe componer la función y comprueba su resultado: COMPROBACIÓN: OTRA SOLUCIÓN PODRÍA SER: ¿Qué ocurre si cambias el orden? No se genera la función original h(x), a menos que intercambies el nombre de las funciones en la solución.

21 REFERENCIAS PRECÁLCULO. Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill

22 RECUERDE VISITAR NUESTRO FORO DE DUDAS AHORA REALIZA LA TAREA ASIGNADAPARA DUDAS O PREGUNTAS RECUERDE VISITAR NUESTRO FORO DE DUDAS AHORA REALIZA LA TAREA ASIGNADA