1 Computación CientíficaAlgebra lineal numérica Profesora: Dra. Nélida Beatriz Brignole

2 Matriz Es un arreglo de m x n números Dimensión de A: m x nm: número de filas n: número de columnas Casos particulares: m=n => A es cuadrada (dim A = orden A) n=1 => A es un vector (Notación: a)

3 Vectores

4 Traspuesta Dada la traspuesta es dondeNótese: la traspuesta de un vector columna es un vector fila

5 Ejemplo

6 Identidad La identidad es donde Nótese: AI=IA=A

7 Ejemplo

8 Inversa Dada la inversa de ella es dondeNótese: NO TODAS las matrices admiten inversa

9 Ejemplo

10 MATRICES ESPECIALES Problemas Generales

11 Matrices Triangulares

12 Problemas lineales más comunesResolución de sistemas lineales Resolución problema de autovalores

13 Matriz Diagonal

14 Matriz Triangular Superior

15 Matriz Triangular Inferior

16 Nomenclatura Matrices Tipo reales Simétrica Ortogonal complejasHermítica Unitaria

17 Ejemplos

18 Matrices Unitarias y Ortogonales

19 Matriz Definida Positiva

20 Particionamiento de matrices

21 Ejemplo

22 Permutaciones

23 Matrices de permutaciónEs cualquier matriz que resulta de reordenar (permutar) las filas de I PA permuta filas de A AP permuta columnas de A

24 Matrices de permutación

25 Propiedades

26 Propiedad Si P es matriz de permutación, entonces P tiene inversaP es ortogonal

27 Demostración

28 Operaciones

29 Igualdad A=B si tienen igual dimensión y

30 Suma Dadas dimA=dimB=dimC C=A+B =>

31 Producto Dadas el producto es C=AB tal que:

32 Ejemplo

33 Producto por un escalarDados el producto es

34 Ejemplo

35 Propiedades del productoDadas: No conmutativa Asociativa A(BC)=(AB)C Distributiva A(B+C)=AB+AC

36 Demostración: cqd.

37 Demostración: cqd.

38 Demostración: cqd.

39 FIN PRIMERA PARTE

40 Autovalores

41 Espectro de A

42 Radio espectral

43 Radio Espectral de la Inversa

44 Lema 1 Sea A cuadrada, entonces para cualquier norma consistente y subordinada a una norma de vectores :

45 Demostración

46 Matriz definida positiva

47 Teorema 2 Si A es simétrica, entonces todos sus autovalores son reales

48 Teorema 3 Si A es simétrica y definida positiva, entonces todos sus autovalores son reales y positivos

49 Demostracion

50 Definición

51 Lema 2

52 Teorema 4 Las siguientes proposiciones son equivalentes:

53 Lema 3

54 Lectura obligatoria Libro: Kincaid Cap. 4 : págs