1 Conceptual revolutions and the history of mathematics: two [+ 2] studies in the growth of knowledge by Joseph Dauben

2 «[…] revolutions can and do occur in the history of mathematics […]»Joseph Dauben «[…] revolutions can and do occur in the history of mathematics […]»

3 Nach französischer Revolution«Revolutionen» 18. Jahrhundert Revolution als Bruch einer stetigen Entwicklung durch grosse Veränderungen Revolution im astronomischen Sinne Nach französischer Revolution Revolution als radikale Veränderung Mit endgültigen Brüchen zur Vergangenheit

4 «Revolutionen» de FontenelleRevolution in Mathematik als Veränderung derartiger Stärke, dass der Status der Mathematik sich dadurch komplett verändert Crowe Revolution beinhaltet Ablehnung bisher akzeptierter Denkmuster

5 Revolutionen in Mathematik als bedeutende TransformationenDauben Revolutionen in Mathematik als bedeutende Transformationen Ohne zwingende Zurückweisung alter Prinzipien Alte Prinzipien verlieren an Bedeutung Neue Prinzipien könnten nicht in alter Umgebung entstehen

6 1. Revolution: Entdeckung der InkommensurabilitätPythagoräer Philosophische Schule von Pythagoras von Samos «Alles ist Zahl»-Auffassung Ganze Zahlen und Verhältnisse bilden Struktur des Universums

7 1. Revolution: Entdeckung der InkommensurabilitätSuche nach den «versteckten Zahlen» Untersuchung von rechtwinkligen Dreiecken Untersuchung von Verhältnissen im Quadrat - Hippasus: Konstruktion eines regulären Pentagon

8 1. Revolution: Entdeckung der InkommensurabilitätErste «Grundlagenkrise» Irrationale Zahlen als «unaussprechlich», «unvorstellbar» Umdenken nötig Führte schliesslich zu Fortschritt

9 1. Revolution: Entdeckung der InkommensurabilitätFortschritt durch Revolution Theodorus: geometrischer Beweis der Inkommensurabilität von Wurzeln Theaitetos: Reformulierung von Verhältnistheorie mit irrationalen Grössen Eudoxus: Entwicklung einer neuen Systematik auf Basis von Theaitetos’ Werk

10 1. Revolution: Entdeckung der InkommensurabilitätAblehnung von pythagoreischem Verhältnis-Verständnis und Beweismuster Akzeptanz von irrationalen Grössen Anstelle Arithmetik, Entwicklung von geometrischer Algebra

11 2. Revolution: Entwicklung der transfiniten MengenlehreGeorg Cantor Widmete sich der Eindeutigkeit von Funktionsdarstellungen durch trigonometrische Reihen. Stiess dabei auf transfinite Zahlen.

12 2. Revolution: Entwicklung der transfiniten MengenlehreEntdeckung der transfiniten Zahlen Trigonometrische Reihe f mit Menge der Nullstellen S Konstruktion einer trigo. Reihe f(1) mit Menge der Nullstellen S(1) als Menge der Häufungspunkte von S Konstruktion einer trigo. Reihe f(k) mit Menge der Nullstellen S(k) als Menge der Häufungspunkte von S(k-1) Schnittmenge der Folge S,S(1) ,S(2) ,… die Menge S(ω) Häufungspunkte der Menge S(ω) bildet die Menge S(ω+1)

13 2. Revolution: Entwicklung der transfiniten MengenlehreWeiteres Werk Cantors 1-zu-1 Abbildung Mächtigkeit der natürlichen Zahlen ≠ Mächtigkeit des Kontinuums Universale Theorie von transfiniten Zahlen Theorie von transfiniten Kardinalzahlen

14 2. Revolution: Entwicklung der transfiniten MengenlehreRezeption vom Unendlichen Einführung des umstrittenen aktual Unendlichen Cantor: Aktual Unendliches sei in Konzeptionen von potenziell Unendlichem implizit enthalten Duale Realität (intrasubjektive und transsubjektive)

15 2. Revolution: Entwicklung der transfiniten MengenlehreFreie Mathematik Fokussierung auf intrasubjektive Realität von Konzepten führt zu Mathematik als «freie Mathematik» Freiheit als Essenz der Mathematik Verhindert Anomalien und Krisen im Sinne Kuhns  Grundlegend neue Sicht auf Mathematik

16 Revolutionen in MathematikKumulativität mathematischen Fortschritts als Widerlegung mathematischer Revolutionen? Dauben: 1. Bedeutungsverlust alter Prinzipien 2. Unmöglichkeit neuer Prinzipien in alter Umgebung (3. Revision von bisherigen Theorien)

17 Revolutionsindikator WiderstandRevolution zeichnet sich neben neuartigen Ideen auch durch Überwinden des damit zusammenhängenden Widerstandes aus.

18 Resolution anstatt Revolution

19 3. Revolution: Cauchy’s mathematische StrengeFehlende Fundamente der Infinitesimalrechnung von Newton und Leibniz Cauchys Lösung strenge Formulierung der Infinitesimalrechnung Insbesondere Grenzwerte, Konvergenz, Stetigkeit, Ableitungen und Integrale

20 3. Revolution: Cauchy’s mathematische StrengeCauchy’s «spirit» System von Definitionen, Theorien und Beweisen Möglichkeit neuartiger Prinzipien

21 3. Revolution: Cauchy’s mathematische StrengeRevolutionsindikator Sprache Einführung von Delta-Epsilon Warum Umformulierung der Infinitesimalrechnung? Bessere Klarheit und Präzision

22 4. Revolution: nonstandard AnalysisAbraham Robinsons nonstandard Analysis Hyperreelle Zahlen Neue Definitionen von Ableitung, Integralen und Grenzwerten

23 4. Revolution: nonstandard AnalysisErrett Bishops Reaktion: Neue Krise Nonstandard Analysis als «formale Finesse» Degradierung der Bedeutung Kurt Gödels Reaktion: Erfolg Erfolgreiches Zusammenbringen von Mathematik und Logik

24 4. Revolution: nonstandard AnalysisGeschichte der nonstandard Interpretationen Imre Lakatos’ Analyse Bishop’s Bedenken Robinson’s Diversität der Zahlensysteme

25 4. Revolution: nonstandard AnalysisBedeutung der nonstandard Analysis Macht der technischen Logik Verkupplung von Mathematik und Logik Revolutionsindikator: Sprache

26 Fazit Neue Konzepte in Mathematik revolutionärGeschichte der Mathematik nicht linear «Revolutions obviously do occur whithin mathematics. Were this not the case, we would still be counting on our fingers.»