1 Confiabilidade EstruturalJorge Luiz A. Ferreira Professor
2 Introdução Como Executar tal Tarefa ?Vamos analisar a seguinte situação: Após ensaiar um lote de lâmpadas incandecente e outro de lampadas fluorecente com o objetivo de avaliar o tempo de falha, os engenheiros da empresa estão interessados em identificar a distribuição de probabilidade que melhor representa o comportamento de falha destes dispositivos. Como Executar tal Tarefa ? Medidas Resumo Lampada (1) (2) Média 1004 9962 Desvio Padrão 103 449 C.V. 10.3% 4.5% 2
3 Algumas Técnicas Existem Diversas Técnicas Disponíveis, Dentre as Quais Podem ser Citadas: Procedimento Heurísticos*: Comparação de Histogramas (Freqüências); Análise Gráfica Diagrama Q-Q Diagrama P-P Testes de Adequação (Aderência) Teste de Chi-Quadrados; Teste de Kolgorov-Smirnov; Teste de Anderson-Darling; Teste de Filliben * Define-se procedimento heurístico como um método de aproximação das soluções dos problemas, que não segue um percurso claro mas se baseia na intuição e nas circunstâncias. 3
4 Algumas Técnicas HeurísticasComparação de Histogramas (Freqüências) Representam-se graficamente, utilizando a mesma escala, a função densidade de probabilidade que supomos estar correta, e um histograma dos dados. Existe coincidência entre os Gráficos ? Dificuldades no uso: Exige uma Quantidade de Dados Experimentais Muito Elevada (Consistência do Histograma) 4
5 Algumas Técnicas HeurísticasAnálise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil ) A construção do gráfico Q-Q baseia-se na hipótese que, após a ordenação crescente dos dados, a i-ésima observação da amostra, Xi, pode ser assumida como uma estimativa do quantil da distribuição, ou seja: Ordenação dos Dados 5
6 Construção da F.O. não foi Justa !!Algumas Técnicas Heurísticas Análise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil ) Assim, tal estimativa do quantil pode ser usada na comparação da probabilidade acumulada, Prob(Xi ≥ x), associada a uma Função de distribuição de probabilidade específica (modelo), F(Xi) , ou seja: Onde F-1 é a função inversa da função de distribuição modelo, xqi é o valor previsto para quantil associado à i-ésima freqüência acumulada observada experimentalmente, identificada por Qi Construção da F.O. não foi Justa !! ? 6
7 Algumas Técnicas HeurísticasAnálise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil ) Para corrigir o efeito da observação amostral sobre o comportamento da cauda várias fórmulas diferentes têm sido usados. Tipicamente, para a determinação dos quantis é utilizada a seguinte fórmula: é i/ (n + 1): onde i é a posição do i-ésimo dado observado após a ordenação da amostra e n é o tamanho da amostra 7
8 Algumas Técnicas HeurísticasAnálise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil ) Na literatura são citadas outras metodologias para a estimativa do valor do quantil. As expressões em geral têm a forma (i - k) / (n+1-2∙k) para algum valor de k na faixa de 0 - 1/2, que dá um intervalo entre i / (n + 1) e (i - 1/2)/n Outras Fórmula que podem ser Utilizadas: 8
9 Algumas Técnicas HeurísticasAnálise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil ) Estimativa do Quantil Q para cada fórmula: 9
10 Algumas Técnicas HeurísticasAnálise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil ) Estimativa do Quantil Q para cada fórmula: 10
11 Algumas Técnicas HeurísticasAnálise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil ) Diferença Percentual Gerada Por cada Metodologia de Estimativa do Quantil: 11
12 Algumas Técnicas HeurísticasAnálise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil - Quantil ) Como Avaliar se os Dados se Ajustam Bem à Função de Distribuição de Probabilidade Modelo ? Uma Possibilidade é Usar o Coeficiente de Explicação !!!! Média: 1004 Desvio Padrão: 113 Média: 1000 Desvio Padrão: 200 12
13 Identificação da Amostra de LampadaAlgumas Técnicas Heurísticas Análise Gráfica – Diagrama Q-Q ( Quantil-Quantil ) Assim, usando o exemplo será possível apresentar os seguintes resultados Identificação da Amostra de Lampada G B J A H C I E D F Vida [Horas] 825 898 913 976 981 1020 1088 1096 1102 1139 Frequencia Observada 6.7% 16.3% 26.0% 35.6% 45.2% 54.8% 64.4% 74.0% 83.7% 93.3% Qxi 4.2% 15.3% 19.0% 39.4% 41.3% 56.2% 79.2% 81.3% 82.9% 90.4% Média: 1003,8 Desvio Padrão: 103,5 13
14 Algumas Técnicas HeurísticasAnálise Gráfica – Diagrama P-P ( Probabilidade - Probabilidade ) A idéia básica na construção do gráfico P-P é similar a que foi proposta para a construção do gráfico Q-Q. A diferença básica entre ambos é que no gráfico Q-Q são plotados os quantiles, enquanto no gráfico P-P são plotadas as freqüências ou probabilidades associadas aos xi, ou seja: Onde F é a função de distribuição a ser testada (modelo), xi é o valor previsto para o i-ésimo dado experimental, e Qxi é o valor previsto pelo Função de distribuição modelo. 14
15 Distribuição de Freqüências HipotéticoTestes de Adequação ou de Aderência Teste de Chi-Quadrados (c2) Karl Pearson †1980 A idéia é comparar as freqüências observadas com as freqüências esperadas. Assim, considerando: Uma tabela contendo as K (K>2) classes e as, respectivas, freqüências O1, ..., Ok ( ), observadas em um processo de amostragem. As probabilidades associadas a distribuição modelo, associadas às k classes, tal que p1 = p01; ... ; pk = p0k As freqüências esperadas: E1; ...; EK , Ek = N∙p0k, tal que: Ok Ek Distribuição de Freqüências Hipotético k-ésima Classe Histograma 15
16 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Chi-Quadrados (c2) A partir destas considerações pode-se admitir duas situações possíveis : Situação A : As probabilidades observadas e modelo são estatisticamente iguais, ou seja: p1 = p01 , p2 = p02, pK = p0K Tal situação será admitida como Hipótese de Nulidade – H0 Situação B : Existe pelo menos em uma das classes a probabilidade observada é estatisticamente diferente da probabilidade modelo. Já esta situação será admitida como Hipótese Alternativa – H1 16
17 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Chi-Quadrados (c2) Com a intenção de construir uma metodologia para avaliar se a admissibilidade da situação 1, será proposta a seguinte estatística: Estatística esta, formada pelas realizações Ok, associadas as k classes e pelos seus respectivos valores esperados de ocorrência de um evento na k-ésima, rk, Ek = E[rk], os quais, se a hipótese nula for verdadeira, são iguais a Npk. Assim, a estatística c2 expressará a soma das diferenças quadráticas entre as realizações das variáveis aleatórias rk e suas respectivas médias populacionais. 17
18 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Chi-Quadrados (c2) Quando N tende para o infinito, a estatística c2, tal como expressa pela equação anterior, segue uma distribuição de Qui-Quadrado, com n = (r-1) graus de liberdade, ou seja: Assim, para grandes valores de N, pode-se, portanto, empregar esse resultado para testar a hipótese nula H0 de que as freqüências relativas esperadas de rk sejam dadas por N∙pk, com pk calculadas pela distribuição de probabilidades proposta. Um valor elevado da estatística de teste revela grandes diferenças entre as freqüências observadas e esperadas, sendo um indicador da pouca aderência da distribuição especificada, sob H0, à amostra. 18
19 Tabela de c2 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Chi-Quadrados (c2) Tabela de c2 19
20 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Chi-Quadrados (c2) Importante: A distribuição limite da estatística de teste não depende de pk, contido em H0. Na prática, o teste de aderência do c2 fornece resultados satisfatórios para N > 50 e para N∙pk ≥ 5, com k =1, 2, ... , K. Se as probabilidades associadas ao modelo, pk , forem calculadas a partir de uma distribuição de P parâmetros, estimados pelas observações amostrais, perde-se P graus de liberdade adicionais. Em outras palavras, o parâmetro n, da distribuição da estatística de teste c2, será n = (K – P - 1). 20
21 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Chi-Quadrados (c2) - Exemplo Considere um conjunto testes realizados em motores monocilíndricos com um certo tipo de combustível. O número de detonações foi gravado durante 30 minutos. Dez destes motores foram testados e os resultados são apresentados a seguir. Avaliar, a um nível de significância de 95%, se os dados amostrais podem ser descritos por uma distribuição de Poisson? 21
22 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Chi-Quadrados (c2) - Exemplo Resultados dos Ensaios de Detonação Solução: Núm Médio de Detonação por Minutos: 0,72 (216/(10*30)) Se x representar a ocorrência de detonações em um intervalo de tempo, o parâmetro da distribuição, l, será igual a 0,72 22
23 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Chi-Quadrados (c2) - Exemplo Implementação do Teste Função Inv.Qui do Excel Conclusão: Considerando que c2 < c21-a,n, a decisão é a de não rejeitar a hipótese de nulidade, H0, ou seja admitir que os dados observados podem ser descritos por uma distribuição de Poisson com média igual a 0,72 23
24 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Kolmogorov-Smirnov Smirnov, V. I. †1974 Kolmogorov, A., N. †1987 Posição (i) Dados Amostrais (X) P(x
25 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Kolmogorov-Smirnov Smirnov, V. I. †1974 Kolmogorov, A., N. †1987 O teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov (KS) é um teste não paramétrico, cuja estatística de teste tem como base a diferença máxima entre as funções de probabilidades acumuladas, empírica e teórica (modelo), de variáveis aleatórias contínuas. D 25
26 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Kolmogorov-Smirnov Smirnov, V. I. †1974 Kolmogorov, A., N. †1987 Considere que X represente uma variável aleatória contínua, de cuja população extraiu-se a amostra {X1, X2, ... , XN}. A hipótese nula a ser testada é H0: P(X < x) =FX(x), onde FX(x) é suposta conhecida, ou seja, seus parâmetros não são estimados a partir da amostra. Para implementar o teste KS, inicialmente, classifique os elementos da amostra {X1,X2, ... , XN} em ordem crescente, de modo a constituir a seqüência {x(1), x(2), ... , x(m) , ... x(N)}, na qual 1 ≤ m ≤ N denota a ordem de classificação. Para cada elemento x(m), a distribuição empírica FN(x(m)) é calculada pela proporção de valores amostrais que não excedam x(m), ou seja, FN = Quantil. 26
27 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Kolmogorov-Smirnov Em seguida, calcule as probabilidades teóricas, segundo FX(x), tendo como argumento os valores x(m). A estatística do teste KS é dada por Assim, DN corresponderá à maior diferença entre as probabilidades empírica e teórica (central, a direita ou a esquerda). 27
28 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Kolmogorov-Smirnov Se a hipótese de nulidade, H0, for verdadeira quando N , a estatística DN irá tender a zero. Por outro lado, se N é um valor finito, a estatística DN deverá ser da ordem de grandeza de e, portanto, a quantidade não irá tender a zero, mesmo para valores muito elevados de N. Smirnov (1948) determinou a distribuição limite da variável aleatória , a qual, sob a premissa de veracidade da hipótese H0, é expressa por: 28
29 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Kolmogorov-Smirnov Valores críticos da estatística DN,a do teste de aderência KS 29
30 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Kolmogorov-Smirnov Importante: A construção da estatística do teste KS parte da premissa que FX(x) é completamente conhecida e, portanto, que seus parâmetros são especificados e, portanto, não são estimados a partir da amostra. Entretanto, quando as estimativas dos parâmetros são obtidas dos elementos da amostra, simulações de Monte Carlo demonstram que o teste KS é conservador quanto à magnitude do erro do tipo I, podendo ocorrer rejeições indevidas da hipótese nula. Com o objetivo de corrigir tal situação, Crutcher (1975) apresenta novas tabelas de valores críticos da estatística DN,a para amostras de tamanhos variáveis, considerando, sob H0, as distribuições exponencial, gama, normal e Gumbel. 30
31 Testes de Adequação ou de AderênciaTeste de Kolmogorov-Smirnov Exemplo: Avaliar se os dados amostrais (A) são N(10,3), a = 95% Conclusão: Considerando que D20 < D20, 95%, a decisão é a de não se rejeitar a hipótese de nulidade, H0, ou seja admitir que os dados observados podem ser descritos por uma distribuição de N(10,3). 31