1 Congruencia y semejanza de triángulosPPTCANMTGEA03005V3

2 Pregunta oficial PSU

3 1. Figuras congruentes 1.1 DefiniciónDos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos:

4  1. Figuras congruentes 1.2 Triángulos congruentesPara determinar si dos triángulos son congruentes, podemos utilizar los siguientes criterios: 1° Lado, lado, lado (L.L.L.): Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: A C B D F E  8 8 6 6 10 10 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC  Δ DEF

5  1. Figuras congruentes 1.2 Triángulos congruentes2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.):Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: A B C E F D  3 3 a a 5 5 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC  Δ DEF

6  1. Figuras congruentes 1.2 Triángulos congruentes3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A.): Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: A B C E F D  b b 12 12 a a Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC  Δ DEF

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8 2. Figuras semejantes 2.1 DefiniciónPara que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área. G F J I H a b g d e A E D C B a b g d e Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.

9 2. Figuras semejantes 2.1 DefiniciónPor ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG. G F J I H a b g d e A E D C B a b g d e 2 4 6 12 4 8 3 5 6 10 Además, están en razón 1:2.

10   2. Figuras semejantes 2.2 Triángulos semejantesDos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos son proporcionales. E F D a b g Ejemplo: A B C a b g  9 12 4 3 5 15 AB es homólogo a DE Los lados homólogos están en razón: 1:3 = k BC es homólogo a EF AB DE BC EF AC DF 1 3 = = k AC es homólogo a DF Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.

11 2. Figuras semejantes 2.3 Criterios de semejanza 1° Criterio AA.Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes. Ejemplo: A B C 34o 55o E F D Δ ABC ~ Δ DFE por AA Además AB DF BC FE AC DE = k

12 2. Figuras semejantes 2.3 Criterios de semejanza 2° Criterio LLL.Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. A B C 4 E F D 5 6 12 8 10 Ejemplo: Δ ABC ~ Δ FDE por LLL AB FD BC DE AC FE 1 2 = = k Además BAC = DFE, CBA = EDF y ACB = FED

13 3. Figuras semejantes 3.3 Criterios de semejanza 3° Criterio LAL.Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente. A B C 4 E F D 5 12 15 57° Ejemplo: Δ ABC ~ Δ FED por LAL AC FD BC ED = 4 12 5 15 1 3 = = k  Además BAC = DFE y CBA = FED

14 3. Figuras semejantes 3.3 Criterios de semejanza Ejemplo:Determinar la medida del segmento QR de la figura: Q R P a g b 6 A B C a b g 4 10 Solución: Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces: AB PR CB QR AC PQ = = k Con k razón de semejanza Es decir: AB PR 10 QR 4 6 =  10 QR 4 6 =  60 = 4∙QR  15 = QR

15 2. Figuras semejantes 2.4 Razón entre áreas y perímetrosLa razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos. Ejemplo: Q 6 10 hR P R 8 A B 3 4 5 C hC PABC PPQR 12 24 1 2 = = = k

16 3. Figuras semejantes 3.5 Razón entre áreas y perímetrosLa razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos. Ejemplo: A B 3 4 5 C hC Q 6 10 hR P R 8 AB PQ = = k 5 10 1 2 AABC APQR = 6 24 1 4 = k2

17 Pregunta oficial PSU ALTERNATIVA CORRECTA B

18 Triángulos CongruentesSíntesis de la clase Ángulos congruentes Figuras Congruentes Lados congruentes Triángulos Congruentes LLL A C B D F E 3 6 8 A ALA E 3 C B D F 3 LAL C 2 B D 4 4 A E 2 F 4 9 6 Figuras Equivalentes Igual área

19 Síntesis de la clase Figuras semejantes Triángulos semejantesÁngulos respectivos congruentes Lados homólogos proporcionales A B C 4 E F D 5 6 12 8 10 Δ ABC ~ Δ DEF Criterios Elementos homólogos Lados proporcionales AC DF = CB FE AB DE = k = 1 2 Razones Perímetro Área P Δ ABC = k P Δ DEF Á Δ ABC = k2 Á Δ DEF AA LLL LAL

20 Profesora de Matemática Margarita Oyanedel