1 CÓNICAS

2 CÓNICAS SUPERFICIE CÓNICA. CORTES CON UN PLANO UN POCO DE HISTORIALA CIRCUNFERENCIA LA ELIPSE LA HIPÉRBOLA LA PARÁBOLA PARA QUÉ SE UTILIZAN LAS CÓNICAS (enlace) EJERCICIOS (Enlace) ENLACES

3 SUPERFICIE CÓNICA - CORTES CON PLANOSAl girar una recta g (generatriz) alrededor de otra no paralela a ella e (eje) obtenemos una superficie cónica. Si una superficie cónica se corta por planos en diferentes posiciones, se obtienen las curvas que se llaman cónicas: Elipse Circunferencia Parábola Hipérbola

4 Otras aplicaciones de las cónicasUN POCO DE HISTORIA Cuando en el siglo III a. de C. Apolonio descubrió las cónicas, estaba muy lejos de imaginar que dichas curvas se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes. Durante muchos siglos se consideró que las órbitas de los planetas eran circulares. Fue a comienzos del siglo XVII cuando Kepler enunció sus importantes leyes, una de las cuales asigna órbitas elípticas a dichos cuerpos. Sólo un siglo antes, Copérnico había dado al traste con la concepción geocéntrica del universo, haciendo ver que era la tierra la que giraba alrededor del Sol. Otras aplicaciones de las cónicas

5 Las Cónicas como lugar geométricoParábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (llamado foco) y de una recta llamada directriz. Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante. Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante . La Circunferencia es un caso particular de elipse (F coincide con F’)

6 LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN GENERACIÓN CARACTERÍSTICASECUACIÓN REDUCIDA CIRCUNFERENCIA TRASLADADA POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA POSICIÓN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIAS POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA EJE RADICAL

7 LA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN REDUCIDAgeogebra Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio. P(x,y) r y x Ecuación de la circunferencia de centro (0,0) y radio r Ecuación reducida de la circunferencia

8 LA CIRCUNFERENCIA Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio. P(x,y) y r y-b b C(a,b) x-a Ecuación de la circunferencia de centro (a,b) y radio r a x Tambien:

9 LA ELIPSE DEFINICIÓN GENERACIÓN CARACTERÍSTICAS ECUACIÓN REDUCIDAELIPSE TRASLADADA EXCENTRICIDAD

10 LA ELIPSE. ECUACIÓN REDUCIDAgeogebra Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a). P(x,y) a b a F’ c F Ecuación reducida de la elipse a b c

11 LA ELIPSE. CARACTERÍSTICASElipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a). Ecuación reducida de la elipse B(0,b) a a b Centro: Focos: Vértices: Eje mayor: Eje menor: Ecuación eje mayor: Ecuación eje menor: Excentricidad: C(0,0) A’(-a,0) C(0,0) c A(a,0) F’(-c,0) F(c,0) F(c,0) y F’(-c,0) A(a,0), A’(-a,0), B(0,b) y B’(0,-b) |AA’|=2a B’(0,-b) NOTA: Los focos siempre están en el eje mayor |BB’|=2b y=0 a x=0 b e=c/a (e<1) c

12 EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSEEcuación reducida de la elipse Excentricidad de la elipse: e = 0 c=0 , es decir, los focos coínciden: Se trata de una CIRCUNFERENCIA e = 1 c=a , es decir, los focos coínciden con los vértices: Se trata de un SEGMENTO 0 < e < 1 c < a : Se trata de una ELIPSE propiamente dicha

13 LA ELIPSE. CARACTERÍSTICASElipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (llamados focos) es constante (2a). A(0,a) Ecuación reducida de la elipse F(0,c) a c Centro: Focos: Vértices: Eje mayor: Eje menor: Ecuación eje mayor: Ecuación eje menor: Excentricidad: C(0,0) B’(-b,0) b C(0,0) B(b,0) F(0,c) y F’(0,-c) a A(0,a), A’(0,-a), B(b,0) y B’(-b,0) F’(0,-c) |AA’|=2a NOTA: El eje mayor en este caso está en el eje OY |BB’|=2b A’(0,-a) x=0 a y=0 b e=c/a c

14 ELIPSE TRASLADADA (Ejes paralelos a los ejer de coordenadas)Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante (2a). B(x0,y0+b) Centro: Focos: Vértices: Eje mayor: Eje menor: Ecuación eje mayor: Ecuación eje menor: Excentricidad: C(x0,y0) b a F(x0+c,y0) y F’(x0-c,y0) F’(x0-c,y0) c A(x0+a,y0) A’(x0-a,y0) C(x0,y0) F(x0+c,y0) A(x0+a,y0), A’(x0-a,y0), B’(x0,y0-b) O B(x0,y0+b) y B’(x0,y0-b) |AA’|=2a |BB’|=2b y=y0 x=x0 e=c/a Ecuación de una elipse de C(x0,y0) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas

15 LA HIPÉRBOLA DEFINICIÓN GENERACIÓN CARACTERÍSTICAS ECUACIÓN REDUCIDAHIPÉRBOLA TRASLADADA EXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLA HIPÉRBOLA EQUILÁTERA

16 LA HIPÉRBOLA. ECUACIÓN REDUCIDAgeogebra Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a). P(x,y) Ecuación reducida de la hipérbola

17 LA HIPERBOLA. CARACTERÍSTICASHipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a). B(0,b) Ecuación reducida de la hipérbola b c A(a,0) A’(-a,0) F’(-c,0) a C(0,0) F(c,0) Centro: Focos: Vértices: Eje real: Eje imaginario: Ecuación eje real: Ecuación eje imaginario: Excentricidad: Asíntotas: C(0,0) F(c,0) y F’(-c,0) B’(0,-b) A(a,0), A’(-a,0), B(0,b) y B’(0,-b) |AA’|=2a NOTA: Los focos siempre están en el eje real |BB’|=2b y=0 c x=0 b e=c/a (e>1) a

18 EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLAEcuación reducida de la hipérbola Excentricidad de la hipérbola: e = 1 c=a , es decir, los focos coínciden con los vértices: Se trata de dos SEMIRRECTAS e > 1 c > a : Se trata de una HIPÉRBOLA propiamente dicha

19 LA HIPÉRBOLA. CARACTERÍSTICASHipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (focos) es constante. Ecuación reducida de la hipérbola F(0,c) A(0,a) Centro: Focos: Vértices: Eje real: Eje imaginario: Ecuación eje real: Ecuación eje imaginario: Excentricidad: Asíntotas: C(0,0) c a F(0,c) y F’(0,-c) B’(-b,0) b C(0,0) B(b,0) A(0,a), A’(0,-a), B(b,0) y B’(-b,0) A’(0,-a) |AA’|=2a NOTA: Los focos siempre están en el eje real |BB’|=2b F’(0,-c) x=0 c b a y=0 e=c/a (e>1)

20 HIPÉRBOLA TRASLADADA (Ejes paralelos a los ejer de coordenadas)Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’ es constante. Y B(x0,y0+b) a b c Centro: Focos: Vértices: Eje real: Eje imaginario: Ecuación eje real: Ecuación eje imaginario: Excentricidad: Asíntotas: C(x0,y0) F(x0+c,y0) y F’(x0-c,y0) A’(x0-a,y0) A(x0+a,y0) A’(x0-a,y0), F’(x0-c,y0) A(x0+a,y0), C(x0,y0) F(x0+c,y0) B(x0,y0+b) y B’(x0,y0-b) O X |AA’|=2a B’(x0,y0-b) |BB’|=2b y=y0 x=x0 e=c/a Ecuación de una hipérbola de C(x0,y0) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas

21 HIPÉRBOLA EQUILÁTERA

22 LA PARÁBOLA DEFINICIÓN GENERACIÓN CARACTERÍSTICAS ECUACIÓN REDUCIDAPARÁBOLA TRASLADADA

23 LA PARÁBOLA. ECUACIÓN REDUCIDAParábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2). (2a). p V(0,0) Ecuación reducida de la parábola Vértice (0,0) y eje OX El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz.

24 LA PARÁBOLA. CARACTERÍSTICASParábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2).). Ecuación reducida de la parábola Foco: Vértice: Eje : Directriz: Parámetro: p eje V(0,0) V(0,0) y=0 p>0 El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz.

25 2007(:)María Jesús Arruego BagüésFoco: Vértice: Eje : Directriz: V(0,0) y=0 PARÁBOLAS Foco: Vértice: Eje : Directriz: V(0,0) x=0 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

26 LA PARÁBOLA TRASLADADAParábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (foco) y de una recta llamada directriz . Y Foco: Vértice: Eje : Directriz: Parámetro: V(x0,y0) y=y0 V(x0,y0) O p>0 Ecuación de una parábola de eje paralelo al eje OX El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz.

27 CIRCUNFERENCIA ELIPSE HIPÉRBOLA PARÁBOLA

28 Las cónicas están presente en la naturaleza y también en los inventos del hombre. Por ejemplo las trayectorias que describen el planeta Tierra, el famoso cometa Halley son de forma elíptica. Las antenas parabólicas y las ópticas de los automóviles fueron ideadas con esa forma para utilizar las propiedades de las parábolas, teniendo en cuenta que las ondas y rayos se concentran en el foco, y esto permite un mayor aprovechamiento de los mismos. Es por esto que nos parece importante aprender este tema, ya que esto nos muestra que la matemática está presente y se puede aplicar en la vida cotidiana.

29 ENLACES http://perso.wanadoo.es/j.antonio_cuadrado/ DE TODO.TEORIA Y EJERCICIOS: CÓNICAS: FLASH: Con Geogebra: Con cABRI:

30 http://images. google. es/imgres. imgurl=http://www. xtec